第五講波動(dòng)理論

1、1波動(dòng)理論（淺水運(yùn)動(dòng)中的平面波）2一 平面波的基本概念 頻散關(guān)系 相速度和群速度 頻散波和非頻散波)(0)(0ReReitlykxiee3頻散關(guān)系 頻散關(guān)系是指波動(dòng)的頻率和波數(shù)之間的關(guān)系，它代表了某種波動(dòng)的特征，任何一種特定的波動(dòng)都有其特定的頻散關(guān)系，因而頻散關(guān)系也是確定波動(dòng)性質(zhì)的非常有效的工具。4相速度和群速度CgC5頻散波和非頻散波 如果一種波動(dòng)的相速度和群速度一樣，就稱為非頻散波；如果一種波動(dòng)的相速度和群速度不一樣，就稱為頻散波。22lkkckcxlcyjciccgygxgkcgxlcgy6頻散波和非頻散波的特點(diǎn)非頻散波頻散波7二 淺水運(yùn)動(dòng)中的小振幅波動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方程 f=0（無旋轉(zhuǎn)）下平面

2、無限等深流體內(nèi)的波動(dòng) 淺水重力波 f=C（f平面）下平面無限等深流體內(nèi)的波動(dòng) Poincare（邦加萊）波 f=C（f平面）下水平有界等深流體內(nèi)的波動(dòng) Kelvin（開爾文）波 f不為常數(shù)下的波動(dòng)Rossby（羅斯貝）波81 運(yùn)動(dòng)方程 淺水中的線性化方程，非線性平流項(xiàng)已經(jīng)去掉，由上述方程組消去u，v，就可以得到水位方程xgfvtuygfutv0)()(00vHyuHxt9水位方程0),()()(020222HgfJcftt020gHc 10定常運(yùn)動(dòng) 如果運(yùn)動(dòng)為定常的淺水小振幅運(yùn)動(dòng)即為如果運(yùn)動(dòng)為定常的淺水小振幅運(yùn)動(dòng)即為地轉(zhuǎn)流地轉(zhuǎn)流 yfguxfgv11非定常運(yùn)動(dòng)波動(dòng) 對(duì)波動(dòng)而言波動(dòng)的主控動(dòng)力學(xué)方

3、程是相同的，對(duì)波動(dòng)而言波動(dòng)的主控動(dòng)力學(xué)方程是相同的，不同主要是邊界條件的不同，不同的邊界條不同主要是邊界條件的不同，不同的邊界條件（強(qiáng)迫）決定了不同的波動(dòng)的頻散關(guān)系件（強(qiáng)迫）決定了不同的波動(dòng)的頻散關(guān)系（頻散關(guān)系即頻率和波數(shù)之間的關(guān)系，它決（頻散關(guān)系即頻率和波數(shù)之間的關(guān)系，它決定波動(dòng)的特性），也就決定了不同性質(zhì)的波定波動(dòng)的特性），也就決定了不同性質(zhì)的波動(dòng)下面我們就在不同的邊界條件下討論不動(dòng)下面我們就在不同的邊界條件下討論不同性質(zhì)的波動(dòng)同性質(zhì)的波動(dòng) 122 f=0（無旋轉(zhuǎn)）下平面無限等深流體內(nèi)的波動(dòng) 淺水重力波是二列方向相反，頻率大小相同的波動(dòng) ，這是一種非頻散波。Kc00ccttc2xx 0,c

4、 gH13淺水重力波x0u=(g/H)1/2=0Cott=0t=t1t=t214淺水重力波x0t=0u=0, =0t=t3t=t20/2wavewakewavefrontt=t10/2153 f=C（f平面）下平面無限等深流體內(nèi)的波動(dòng) 無限平面等深波是二列方向相反，頻率大小相同的波動(dòng)。在海洋上這種長(zhǎng)波稱為邦加萊波（Poincare）。在氣象上，這種長(zhǎng)波稱為慣性重力波，即在地球旋轉(zhuǎn)影響下的重力波。旋轉(zhuǎn)（地轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)（地轉(zhuǎn)）使波速增大使波速增大。頻率大于f，周期小于地轉(zhuǎn)周期的一半。即頻率大大地超過大尺度大氣海洋緩慢地運(yùn)動(dòng)頻率。 212202Kcf16邦加萊波特點(diǎn) 其中R為Rossby變形半徑=C0/

5、f 短波： 旋轉(zhuǎn)的影響相對(duì)于重力的影響是次要的 長(zhǎng)波：慣性振蕩，重力的影響是次要的 2221)(KRf1RKRKf1RKf174 f=C（f平面）下水平有界等深流體內(nèi)的波動(dòng)考慮一個(gè)平行于考慮一個(gè)平行于x軸的寬度為軸的寬度為L(zhǎng)的通道。的通道。 引入邊界條件：引入邊界條件：y=0，l時(shí)，時(shí)，v=0 ，代入動(dòng)力方程。)()(Retkxiey18頻散關(guān)系 離散的邦加萊波 Kelvin波 慣性震蕩 地轉(zhuǎn)流19離散的邦加萊波 此波特點(diǎn)是類似于無限平面等深淺水中的平面波，亦是向正，反兩個(gè)方向傳播的，不同之處在于y方向的波數(shù)l只是特定的值，l不可能任意取值，這恰恰是由邊界條件的特性決定波動(dòng)的特性，只有特定頻率

6、的波才滿足一定的邊界條件。此波也是Poincare波，是一種特定條件下離散的Poincare波。 212222202)(Lnkcfn20Kelvin波 波動(dòng)傳播的x方向滿足地轉(zhuǎn)平衡，由于y方向存在邊界限制，波動(dòng)在y方向不滿足地轉(zhuǎn)平衡，整個(gè)波動(dòng)是非地轉(zhuǎn)的。由于y方向存在邊界限制，只有y方向上有波動(dòng)振幅的變化且隨y的變化呈指數(shù)衰減 。開爾文波的傳播方向和邊界位置有關(guān)，對(duì)于一個(gè)面向波轉(zhuǎn)播方向的觀察者來說，在北半球，邊界位于其右側(cè)，而在南半球，邊界位于其左側(cè)。 kc021特殊的Kelvin波赤道Kelvin波 Kelvin波作為一種邊界波，需要邊界的存在?？剖蠀?shù)f在赤道為0，形成了一種特殊的邊界，產(chǎn)

7、生了赤道Kelvin波。22慣性振蕩 和地轉(zhuǎn)流 慣性震蕩的解代入原式求解，解也為開爾文波 。 等深渠道中波解的完全譜包括Poincare波，kelvin波，地轉(zhuǎn)流 。f0235 f不為常數(shù)下的波動(dòng)Rossby（羅斯貝）波 如果絕對(duì)渦度的梯度不為0，即存在行星渦度梯度和環(huán)境渦度梯度，就會(huì)產(chǎn)生一種特殊的波動(dòng)Rossby波，這是一種低頻的緩慢的波動(dòng)，與前述的快波不同。24三 準(zhǔn)地轉(zhuǎn)Rossby波 Rossby波是大洋調(diào)整中最重要的波動(dòng)，是大洋中信息的攜帶者。本節(jié)將重點(diǎn)講解有關(guān)Rossby波的知識(shí)。251 Rossby波的動(dòng)力方程準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程 Rossby波的產(chǎn)生和位渦密切相關(guān)，位渦梯度的存在是Ro

8、ssby波的恢復(fù)機(jī)制。2222000()0BfffyhtHgxyyxHHg2200gBffyhHHg ( ,)0ggJt26考慮基本流和地形作用BDhDfLyfq0220q q q U(y)dy U0yyhB y h022fgHLD27位渦方程變形為q f0y 2LD2f0D(y h0)qx 0,qyyyUULD2f0D,qt 0q 2LD20022xDxtxxt)L)(U.(e . iq)U(28定常情況 有地形存在而不存在行星渦度梯度下，流動(dòng)沿等深線；不存在地形而存在行星渦度梯度下，流動(dòng)沿緯線。J(,Q) 029非定常情況Rossby波 此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)地形、海面起伏（環(huán)境渦度梯度）和科氏參數(shù)

9、變化（行星渦度梯度）是等價(jià)的，即如果只存在地形的話就可以產(chǎn)生地形Rossby波；只存在行星渦度梯度的話也可以產(chǎn)生Rossby波。DfLUUqDyyy02302 Rossby波的頻散關(guān)系 Rossby波的頻率及相速度都依賴于波數(shù)，因此是頻散波。 Rossby波是低頻波 。 Rossby 波僅當(dāng)有位渦梯度存在時(shí)才能發(fā)生，即位渦梯度是產(chǎn)生Rossby波的必要條件。 UkkKLD22313 Rossby波的形成機(jī)制 位渦守恒和位渦梯度的存在是Rossby波形成的機(jī)制。xwestwardf, so y324 Rossby波的相速度和群速度 假定U=0，不存在基本流的作用，Rossby波的相速度都是向西的

10、，反映了旋轉(zhuǎn)的存在導(dǎo)致的東西不對(duì)稱；Rossby波的群速度長(zhǎng)波也都是向西的，短波可以向東。kLKLlkcDDgx222222)()(22DLKkc335 緯向基本流中的Rossby波 西向波 東向波 駐波 以上體現(xiàn)了基本流的多普勒效應(yīng)ckUKLD22346 長(zhǎng)波的非多普勒效應(yīng) 長(zhǎng)Rossby波的一個(gè)特殊性質(zhì)就是非多普勒效應(yīng)，產(chǎn)生這個(gè)情況的原因是平流的多普勒效應(yīng)和平流產(chǎn)生的環(huán)境位渦梯度效應(yīng)相互抵消，因而長(zhǎng)Rossby波的波速是不變的，假定不考慮地形效應(yīng)，長(zhǎng)Rossby波的波速為kLD22c U K2 LD2U LD2 f0DLD22DxLcDfLUUqDyyy0235觀測(cè)到的長(zhǎng)Rossby波波速

11、367 Rossby波的能量傳播圖 波矢必須位于k-l平面的一個(gè)圓上 圓心： 半徑：2DLF022kFlkFlk222242)0 ,2(2122)4(F37能量傳播圖klCgK/(-2), 0(a, 0)Where a=/(-2)-(/(-2)2-LD-21/2388 有界區(qū)域中的Rossby波反射、Rossby波的Normal Mode 由于邊界的存在，波動(dòng)的波數(shù)不再是連續(xù)的了，與前述離散的邦加萊波類似，此時(shí)的Rossby波的波數(shù)也只能取離散的特定值。39反射的示意圖40在能量圖中的表現(xiàn)41反射波形成的Normal ModeK1CgK2CgIncident wavereflectedwave

12、lkK2K142Y方向Normal Mode的推導(dǎo)1111Re()A ei k x l ytx12|yY 0A2eil2Y A1eil1Y 0k1k12 l12 LD212 k1k12 l22 LD2l2 l1 0l2 l1 0A2 A1e2il1Y2121111 Re()A eei k x l ytil YReResin( ()()()AeeeAeel yYi k xtil yil yil Yil Yi k xt121111111111243Normal Mode的特點(diǎn) Normal Mode是一個(gè)系統(tǒng)固有的本征的波動(dòng)模態(tài)，在一個(gè)有邊界條件約束的系統(tǒng)中，穩(wěn)定波動(dòng)狀態(tài)下只有Normal Mod

13、e存在。 大洋Rossby波的Normal Mode是大洋調(diào)整的波動(dòng)周期，也是大洋記憶的一種表現(xiàn)444546479 強(qiáng)迫Rossby波 與自由波不同，強(qiáng)迫波的波數(shù)和頻率已經(jīng)由外強(qiáng)迫所確定，振幅未知。 所得的解一般不滿足初始條件。)(22)(tmxioxDteFL)(0tmxie)(2200mLmiFD48共振的發(fā)生 此時(shí)發(fā)生共振，一般情況下共振的發(fā)生都是在外強(qiáng)迫的頻率和系統(tǒng)Normal Mode的頻率一致時(shí)發(fā)生的。22DLmm049四 斜壓Rossby波的初步知識(shí) 垂直方向的層結(jié)，相當(dāng)于增加了垂直方向的邊界，因而斜壓Rossby波實(shí)際上就是垂直方向的邊界產(chǎn)生的Normal Mode波動(dòng)，因而也

14、將斜壓Rossby波的各個(gè)模態(tài)稱為Baroclinic Mode。501 一層半模式及第一斜壓模Rossby波 一層半模式又稱為約化重力模式z1, u1zB2, u2 051一層半模式的一個(gè)重要結(jié)論：海面起伏和次表層溫躍層起伏方向相反，量級(jí)相差3個(gè)左右。z12p2z zBzzB -zB5253正壓模和斜壓模A t w o - b a l l system2 “baroclinic” mode 1 21, “barotropic” mode54第一斜壓模在大洋中的例子5556第一斜壓模波速的多普勒效應(yīng)572 兩層半模式及第二斜壓模Rossby波 表現(xiàn)為溫躍層厚度的變化，可以從溫度異常信號(hào)的傳播上

15、發(fā)現(xiàn)該波動(dòng)，這種波動(dòng)和平流的方向基本一致，因而被稱為平流模態(tài)。58591971-731974-761977-79北太平洋熱異常信號(hào)（北太平洋熱異常信號(hào)（第二斜壓模態(tài)第二斜壓模態(tài)RossbyRossby波波）的）的“潛沉潛沉”從北向南；從上向下；從東向西。斜壓第二模態(tài)斜壓第二模態(tài)Rossby波不僅可以通過波不僅可以通過“內(nèi)內(nèi)部通道部通道”直接到達(dá)赤道太平洋（研究的成果很多），還可以通過向南、向西的傳播，直接到達(dá)赤道太平洋（研究的成果很多），還可以通過向南、向西的傳播，到達(dá)西邊界到達(dá)西邊界 （如何影響黑潮幾乎沒人研究）。（如何影響黑潮幾乎沒人研究）。溫度和平均流 50-300mZhang R-H

16、等2001603 連續(xù)層化模式及各個(gè)垂直模態(tài)Rossby波61根據(jù)層結(jié)流體準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦守恒方程其中將其線性化：222210ssytx yy xxyzsz 222210sstxyzszx22220sNDsfL2ssg dNdz 62邊界條件： 側(cè)向無界 垂向 ：限于 之內(nèi) 當(dāng)z1時(shí)， （海面剛蓋） 當(dāng)z=0時(shí)， （忽略地形 加熱 底摩 擦等）01z20t z 20tz 63設(shè)位渦方程的解為：其中 為垂直結(jié)構(gòu)函數(shù)將波解帶入位渦方程，得到：其中 ()Rei kx lytezz1ssdddzsdz 22kkl 64邊界條件轉(zhuǎn)化為：當(dāng) z=0 時(shí) (海底）當(dāng) z=1 時(shí) （海面）0dd z0dd z65假

17、設(shè)海洋從上到下的密度是常數(shù),那么代入邊界條件解得:ddsdzdz cos n z 01,2,n ，1ssdddzsdz 660.17680.17680.1768-800-600-400-2000barotropic mode-0.500.5-800-600-400-2000 mode1-0.500.5-800-600-400-2000 mode2-0.500.5-800-600-400-2000depth mode3-0.500.5-800-600-400-2000 mode4-0.500.5-800-600-400-2000 mode5-0.500.5-800-600-400-2000vertical functiondepthmode6-0.500.5-800-600-400-2000vertical functionmode7-0.500.5-800-600-400-2000vertical functionmode8 密度為常數(shù)67差分格式：jj1j212sjN12j