第五章(第4,5節(jié))多自由度系統(tǒng)的振動

1、自由振動初始條件的響應自由振動初始條件的響應 系統(tǒng)自由振動的微分方程是系統(tǒng)自由振動的微分方程是n個二階的常微個二階的常微分方程組，其矩陣形式為分方程組，其矩陣形式為 ttMqkq0(5.4-1)式中式中q(t)為廣義坐標為廣義坐標qi(t)(i=1,2,n)的向量。的向量。 如果給定如果給定2n個初始條件個初始條件(即初始位移向量即初始位移向量q(0)=q0和初始速度向量和初始速度向量 ) ，就完全確，就完全確定了方程的一組特解，定了方程的一組特解，這組特解就是系統(tǒng)對初始這組特解就是系統(tǒng)對初始條件的響應。條件的響應。 00 qq 數(shù)學上稱這類問題為微分方程組的初值問題。數(shù)學上稱這類問題為微分方

2、程組的初值問題。求解初始條件響應的方法求解初始條件響應的方法 一般來說，式一般來說，式(5.4-1)是耦合是耦合( (彈性耦合或慣性耦彈性耦合或慣性耦合合) )方程，這樣在給定方程，這樣在給定2n個初始條件下，要求解聯(lián)立方個初始條件下，要求解聯(lián)立方程組。程組。 顯然理想的情況是把方程解耦，使每一個方程中顯然理想的情況是把方程解耦，使每一個方程中只有一個待求的坐標，方程之間無耦合，如同單自由度只有一個待求的坐標，方程之間無耦合，如同單自由度系統(tǒng)一樣，每個方程可以獨立求解。系統(tǒng)一樣，每個方程可以獨立求解。 前面已經(jīng)闡述了方程的耦合不是系統(tǒng)本身固有的前面已經(jīng)闡述了方程的耦合不是系統(tǒng)本身固有的屬性，而

3、是由坐標系的選擇所決定的。屬性，而是由坐標系的選擇所決定的。 借助于固有振型或正則振型進行坐標變換，就可借助于固有振型或正則振型進行坐標變換，就可以找到使方程解耦的一組廣義坐標，避免求解聯(lián)立方程，以找到使方程解耦的一組廣義坐標，避免求解聯(lián)立方程，這就是這就是振型疊加法振型疊加法的長處。的長處。 求解公式的推導求解公式的推導 解方程解方程(5.4-1)的特征值問題，求得系統(tǒng)的振型矩陣的特征值問題，求得系統(tǒng)的振型矩陣u，取，取u為坐標變換矩陣，可以將方程為坐標變換矩陣，可以將方程(5.4-1)解耦。令解耦。令稱稱 (t)為固有坐標向量。為固有坐標向量。 式式Mr為模態(tài)質(zhì)量矩陣，為模態(tài)質(zhì)量矩陣，Kr

4、為模態(tài)剛度矩陣，它們都是對為模態(tài)剛度矩陣，它們都是對角矩陣。角矩陣。 ttqu(5.4-2) 將式將式(5.4-2)代入方程代入方程(5.5-1)后，得后，得 ttMuku0 ttrrM K 0(5.4-3)由正交性得解耦的方程為由正交性得解耦的方程為用用uT左乘方程兩邊，得左乘方程兩邊，得 TTttu Muu ku0求解公式的推導求解公式的推導 若取正則振型矩陣若取正則振型矩陣u為坐標變換矩陣，有為坐標變換矩陣，有稱稱 (t)為正則坐標向量。為正則坐標向量。 同樣將式同樣將式(5.4-4)代入方程代入方程(5.4-1)后，并用正則振型后，并用正則振型矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置uT左乘方程兩邊，由正

5、交性條件得解耦方程左乘方程兩邊，由正交性條件得解耦方程為為式中式中uTMu=I為單位矩陣，為單位矩陣，uTKu= 為對角元素是各階固為對角元素是各階固有頻率平方的對角矩陣。有頻率平方的對角矩陣。 ttqu(5.4-4) tt0(5.4-5) 正則坐標下的運動方程具有單位模態(tài)質(zhì)量矩陣和正則坐標下的運動方程具有單位模態(tài)質(zhì)量矩陣和由由n階固有頻率平方組成的模態(tài)剛度矩陣。階固有頻率平方組成的模態(tài)剛度矩陣。 求解公式的推導求解公式的推導由此可見，由固有坐標和正則坐標表達的運動微分方程由此可見，由固有坐標和正則坐標表達的運動微分方程(5.4-3)和和(5.4-5)在形式上與單自由度系統(tǒng)是一樣的，所在形式上

6、與單自由度系統(tǒng)是一樣的，所以應有與無阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動方程相類似的解，以應有與無阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動方程相類似的解，即即 把方程把方程(5.4-5)寫成分量的形式為寫成分量的形式為 02ttrrr ), 2 , 1(nr(5.4-6) tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nr(5.4-7)式中式中r0和和 (r=1,2,n)為正則坐標的初始位移和初始速為正則坐標的初始位移和初始速度，它由給定的原坐標的初始條件度，它由給定的原坐標的初始條件q(0)=q0和和 來來確定。確定。 0 0qq0r求解公式的推導求解公式的推導為了避免求逆矩陣的繁瑣運算，可以在方程為了避免求逆矩

7、陣的繁瑣運算，可以在方程(5.4-4)兩邊兩邊同時左乘同時左乘uTM，有，有由式由式(5.4-4)得得 1ttu q(5.4-8) TTttu Mqu Mu Tttu Mq(5.4-9)這里必須注意的是這里必須注意的是u為正則振型矩陣。這樣正則坐標向為正則振型矩陣。這樣正則坐標向量的初始條件為量的初始條件為TT,0000u Mqu Mq(5.4-10) ttqu求解公式的推導求解公式的推導所以正則坐標的初始位移所以正則坐標的初始位移r0和和 初始速度可以表示為初始速度可以表示為r0由式由式(5.5-4)求出原坐標求出原坐標q(t)的普遍表達式為的普遍表達式為 TT ,(1,2, )rrr0r0

8、rn00uMquMq(5.4-11) 11TT1cossin1cossinnnrrr0rr0rrrrrnrrrrrrrttttttt00quuuuuMquMq(5.4-12)上式表達了系統(tǒng)對初始位移向量上式表達了系統(tǒng)對初始位移向量q0和初始速度向量和初始速度向量 的響應，是由的響應，是由n個簡諧運動疊加而成。個簡諧運動疊加而成。0q 振型疊加法總結振型疊加法總結振型疊加法：振型疊加法： 采用振型矩陣作為坐標變換矩陣；采用振型矩陣作為坐標變換矩陣； 將原廣義坐標下耦合的運動微分方程變換將原廣義坐標下耦合的運動微分方程變換為固有坐標或正則坐標表示的相互獨立的運動微為固有坐標或正則坐標表示的相互獨立

9、的運動微分方程；分方程； 廣義坐標的響應是固有坐標或正則坐標表廣義坐標的響應是固有坐標或正則坐標表示的各階固有振型的線形組合；示的各階固有振型的線形組合； 振型疊加法的理論基礎為展開定理。振型疊加法的理論基礎為展開定理。例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.5-1) 例例5.4-1 考慮圖考慮圖5.4-1所示的兩自由度系統(tǒng)。所示的兩自由度系統(tǒng)。若給定初始條件若給定初始條件q1(0)=q2(0)=0， ， ，求系統(tǒng)的響應。求系統(tǒng)的響應。 010vq 002q 解：解：系統(tǒng)的運動系統(tǒng)的運動微分方程為微分方程為0023212222212111qkkqkqmqkqkkqm MqK

10、q0寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為式中式中 12212232002,0022kkkmmkkkkkmmkkMK圖 5.4-1例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.4-1)2KuMu特征值問題為特征值問題為03622222242222kkmmmkkkmk特征方程為特征方程為123110.796226233111.53818823kkmmkkmm求得固有頻率為求得固有頻率為例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.4-1) 02202221212rrrrrrumkkukuumk為了求出固有振型，把固有頻率代入特征值問題，有為了求出固有振型，把固有頻率代入特征值問

11、題，有為了確定系統(tǒng)對初始條件的響應，還需把振型向量進行為了確定系統(tǒng)對初始條件的響應，還需把振型向量進行正則化。為此，假定正則化振型向量具有如下形式正則化。為此，假定正則化振型向量具有如下形式 12121.0000001.000000,1.3660250.366025uu 121.0000001.000000,1.3660250.366025uu解得固有振型為解得固有振型為式中式中1和和2為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.4-1)第一階主振型第一階主振型第二階主振型第二階主振型例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.4-1)

12、事實上，根據(jù)正則化方法，有事實上，根據(jù)正則化方法，有 T11T21211.00000001.0000001.366025021.3660254.7320491mmm uMu T22T22221.00000001.0000000.366025020.3660251.2679491mmm uMu120.4597010.888074 ,mm得到常數(shù)得到常數(shù)例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.4-1) 120.4597010.88807411 ,0.6279630.325057mmuu由此得正則化振型為由此得正則化振型為組成系統(tǒng)的振型矩陣組成系統(tǒng)的振型矩陣u，有，有 122 2

13、2 2 uuu取取u為坐標變換矩陣，即為坐標變換矩陣，即 ttqu代入系統(tǒng)的運動微分方程，并用正則振型矩陣的轉(zhuǎn)置代入系統(tǒng)的運動微分方程，并用正則振型矩陣的轉(zhuǎn)置uT左乘方程兩邊，由正交性條件得解耦方程為左乘方程兩邊，由正交性條件得解耦方程為 201,2,rrrttrn t t0例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.4-1) 00cossin(1,2, )rrrrrrtttrn其解為其解為正則坐標向量和原坐標向量的初始條件變換關系為正則坐標向量和原坐標向量的初始條件變換關系為 TT,(1,2, )rrr0r0rn00uMquMq TT11cossinnrrrrrrrtttt0

14、0quuuMquMq 由此多自由度系統(tǒng)對于初始條件的一般響應為由此多自由度系統(tǒng)對于初始條件的一般響應為根據(jù)初始條件根據(jù)初始條件q1(0)=q2(0)=0， ， ，所以響，所以響應為應為 010vq 002q 2T11sinrrrrrtt0quuMq 例題：求解初始條件的響應例題：求解初始條件的響應（例（例5.4-1)其中其中 T11T0010.4597010110.6279630200.7962260.577350mvmk mmmvk 0uMq T22T0010.8880740110.3250570201.5381880.577350mvmk mmmvk 0uMq 例題：求解初始條件的響應例題

15、：求解初始條件的響應（例（例5.4-1)于是，得其響應為于是，得其響應為 00000.45970110.577350sin0.7962260.6276930.88807410.577350sin1.5381880.3250570.265408sin0.7962260.3625550.512730sin1.538180.187672mvkttmmkmvktmmkmkvtkmmvkq8ktm瑞利商法的提出意義瑞利商法的提出意義 設設r和和u(r)(r=1,2,n)為特征值問題的全部解，即滿為特征值問題的全部解，即滿足足 在有些情況下，并不需要知道特征值問題的全部在有些情況下，并不需要知道特征值問題

16、的全部解，而只要估算系統(tǒng)的固有頻率，特別是解，而只要估算系統(tǒng)的固有頻率，特別是求出基頻就足求出基頻就足夠了，這種估算可以用瑞利商法來實現(xiàn)。夠了，這種估算可以用瑞利商法來實現(xiàn)。用用u(r)T左乘方程左乘方程(5.5-1)的兩邊，并用標量的兩邊，并用標量u(r)TM u(r)去除，去除，得到得到 2,(1,2, )rrrrrrnMuKu(5.5-1) T2TrrrrrruKuuMunr, 2 , 1(5.5-2)瑞利商法的原理瑞利商法的原理若用任選的向量（或者說假設的振型向量）若用任選的向量（或者說假設的振型向量）w代入式代入式（5.5-2）中的固有振型向量中的固有振型向量u(r) ，得到，得到式

17、中式中R（w）是一個標量，稱為是一個標量，稱為瑞利商瑞利商，它的值不僅決定，它的值不僅決定于矩陣于矩陣M和和K，而且也決定于向量，而且也決定于向量w。瑞利商具有非常重。瑞利商具有非常重要的性質(zhì)，值得很好地探討。要的性質(zhì)，值得很好地探討。 很清楚，如果這個任意的向量很清楚，如果這個任意的向量w與系統(tǒng)的某個特征向量相與系統(tǒng)的某個特征向量相一致，那么瑞利商就化為相應的特征值。一致，那么瑞利商就化為相應的特征值。(5.5-3) T2TRw Kwww Mw瑞利商法的原理瑞利商法的原理 因此，因此，瑞利商永遠不會低于第一特征值，瑞利商永遠不會低于第一特征值，而第一特而第一特征值也就是瑞利商所能取的極小值。

18、根據(jù)這一點，可以征值也就是瑞利商所能取的極小值。根據(jù)這一點，可以說：瑞利商的一個實際應用就是估算系統(tǒng)的基本頻率。說：瑞利商的一個實際應用就是估算系統(tǒng)的基本頻率。在一般情況下，在一般情況下，i1（ ），可見可見ni, 2 1wR（5.5-4） 例題：瑞利商法估算系統(tǒng)的固有頻率例題：瑞利商法估算系統(tǒng)的固有頻率（例（例5.5-1） 例例5.5-1 如圖如圖5.5-1所示的三自由度扭振系統(tǒng)中，假所示的三自由度扭振系統(tǒng)中，假設各盤的轉(zhuǎn)動慣量分別為設各盤的轉(zhuǎn)動慣量分別為I1=I2=I，I3=2I，而各軸段的扭而各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度分別為轉(zhuǎn)剛度分別為k1=k2=k，k3=2k，軸本身的質(zhì)量略去不計。，軸本身的質(zhì)量略去不計。用瑞利商方法估算系統(tǒng)的基頻。用瑞利商方法估算系統(tǒng)的基頻。 解：解：系統(tǒng)的質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別矩陣和剛度矩陣分別為為 100210010 ,132002022IkMK圖 5.5-1例題：瑞利商法估算系統(tǒng)的固有頻率例題：瑞利商法估算系統(tǒng)的固有頻率（例（例5.5-1）如果取靜變形模式作為假設振型，即取如果取靜變形模式作為假設振型，即取 T355.5w方程方程(5.5-5)中的矩陣三重積的值為中的矩陣三重積的值為 T2103355.5132513.50225.5kkw Kw