二年級奧數(shù)知識點總結(jié)整理

1、習題一（上）1.計算：（1）18+28+72（2）87+15+13（3）43+56+17+24（4）28+44+39+62+56+212.計算：（1）98+67（2）43+28（3）75+263.計算：（1）82-49+18（2）82-50+49（3）41-64+294.計算：（1）99+98+97+96+95（2）9+99+9995.計算：（1）5+6+7+8+9（2）5+10+15+20+25+30+35（3）9+18+27+36+45+54（4）12+14+16+18+20+22+24+266.計算：（1）53+49+51+48+52+50（2）87+74+85+83+75+77+80+

2、78+81+847.計算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+51.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118（2）87+15+13=（87+13）+15=100+15=115（3）43+56+17+24=（43+17）+（56+24）=60+80=140（4）28+44+39+62+56+21=（28+62）+（44+56）+（39+21）=90+100+60=2502.解：（1）98+67=98+2+65=100+65=165（2）43+28=43+7+21=50+21=71或43+28=41+（2+28）=4

3、1+30=71（3）75+26=75+25+1=100+1=1013.解：（1）82-49+18=82+18-49=100-49=51（2）82-50+49=82-1=81（減50再加49等于減1）（3）41-64+29=41+29-64=70-64=64.解：（1）99+98+97+96+95=100×5-1-2-3-4-5=500-15=485（每個加數(shù)都按100算，再把多加的減去）或99+98+97+96+95=97×5=485（2）9+99+999=10+100+1000-3=1110-3=11075.解：（1）5+6+7+8+9=7×5=35（2）5+1

4、0+15+20+25+30+35=20×7=140（3）9+18+27+36+45+54=（9+54）×3=63×3=189（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=1526.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0=300+3=303（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4=800+4=8047.解：方法1：原式=21+21+21+15=78方法2：原式=21×

5、;4-6=84-6=78方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78習題二（上）數(shù)學需要觀察.大數(shù)學家歐拉就特別強調(diào)觀察對于數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要作用，認為“觀察是一件極為重要的事”.本講數(shù)數(shù)與計數(shù)的學習有助于培養(yǎng)同學們的觀察能力.在這里請大家記住，觀察不只是用眼睛看，還要用腦子想，要充分發(fā)揮想像力.例1 數(shù)一數(shù)，圖21和圖22中各有多少黑方塊和白方塊？解：仔細觀察圖21，可發(fā)現(xiàn)黑方塊和白方塊同樣多.因為每一行中有4個黑方塊和4個白方塊，共有8行，所以：黑方塊是：4×8=32（個）白方塊是：4×8=32（個）再仔細觀察圖2

6、2，從上往下看：第一行白方塊5個，黑方塊4個；第二行白方塊4個，黑方塊5個；第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；但最后的第九行是白方塊5個，黑方塊4個.可見白方塊總數(shù)比黑方塊總數(shù)多1個.白方塊總數(shù)：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（個）黑方塊總數(shù)：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（個）再一種方法是：每一行的白方塊和黑方塊共9個.共有9行，所以，白、黑方塊的總數(shù)是：9×9=81（個）.由于白方塊比黑方塊多1個，所以白方塊是41個，黑方塊是40個.例2 圖23所示磚墻是由正六邊形的特型磚砌成，中間有個“雪花”狀的墻洞，問需要幾塊正六邊形的磚（圖24）才能把它補

7、好？解：仔細觀察，并發(fā)揮想象力可得出答案，用七塊正六邊形的磚可把這個墻洞補好.如果動手畫一畫，就會看得更清楚了.例3將8個小立方塊組成如圖25所示的“丁”字型，再將表面都涂成紅色，然后就把小立方塊分開，問：（1）3面被涂成紅色的小立方塊有多少個？（2）4面被涂成紅色的小立方塊有多少個？（3）5面被涂成紅色的小立方塊有多少個？解：如圖26所示，看著圖，想像涂色情況.當把整個表面都涂成紅色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接觸的面），沒有被涂色.每個小立方體都有6個面，減去沒涂色的面數(shù)，就得涂色的面數(shù).每個小立方體涂色面數(shù)都寫在了它的上面，參看圖26所示.（1）3面涂色的小立方體共有1個；（2

8、）4面涂色的小立方體共有4個；（3）5面涂色的小立方體共有3個.例4如圖27所示，一個大長方體的表面上都涂上紅色，然后切成18個小立方體（切線如圖中虛線所示）.在這些切成的小立方體中，問：（1）1面涂成紅色的有幾個？（2）2面涂成紅色的有幾個？（3）3面涂成紅色的有幾個？解：仔細觀察圖形，并發(fā)揮想像力，可知：（1）上下兩層中間的2塊只有一面涂色；（2）每層四邊中間的1塊有兩面涂色，上下兩層共8塊；（3）每層四角的4塊有三面涂色，上下兩層共有8塊.最后檢驗一下小立體總塊數(shù)：2+8+8=18（個）. 1.如圖28所示，數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把壞了的墻補好？2.圖29所示的墻洞，用1號和2號兩種特

9、型磚能補好嗎？若能補好，共需幾塊？3.圖210所示為一塊地板，它是由1號、2號和3號三種不同圖案的瓷磚拼成.問這三種瓷磚各用了多少塊？4.如圖211所示，一個木制的正方體，棱長為3寸，它的六個面都被涂成了紅色.如果沿著圖中畫出的線切成棱長為1寸的小正方體.求：（1）3面涂成紅色的有多少塊？（2）2面涂成紅色的有多少塊？（3）1面涂成紅色的有多少塊？（4）各面都沒有涂色的有多少塊？（5）切成的小正方體共有多少塊？5.圖212所示為棱長4寸的正方體木塊，將它的表面全染成藍色，然后鋸成棱長為1寸的小正方體.問：（1）有3面被染成藍色的多少塊？（2）有2面被染成藍色的多少塊？（3）有1面被染成藍色的多

10、少塊？（4）各面都沒有被染色的多少塊？（5）鋸成的小正方體木塊共有多少塊？6.圖213所示為一個由小正方體堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成綠色，那么當把“塔”完全拆開時，3面被涂成綠色的小正方體有多少塊？7.圖214中的小狗與小貓的身體的外形是用繩子分別圍成的，你知道哪一條繩子長嗎？（仔細觀察，想辦法比較出來）. 1.解：用10塊磚可把墻補好，可以從下往上一層一層地數(shù)（發(fā)揮想像力）：共1+2+2+1+2+2=10（塊）.如果用鉛筆把磚畫出來（注意把磚縫對好）就會十分清楚了，如圖215所示.2.解：仔細觀察，同時發(fā)揮想像力可知需1號磚2塊、2號磚1塊，也就是共需（如圖

11、216所示）1+2=3（塊）.3.解：因為圖形復雜，要特別仔細，最好是有次序地按行分類數(shù)，再進行統(tǒng)計：4.解：（1）3面涂色的有8塊：它們是最上層四個角上的4塊和最下層四個角上的4塊.（2）2面涂色的有12塊：它們是上、下兩層每邊中間的那塊共8塊和中層四角的4塊.（3）1面涂色的有6塊：它們是各面（共有6個面）中心的那塊.（4）各面都沒有涂色的有一塊：它是正方體中心的那塊.（5）共切成了3×3×3=27（塊）.或是如下計算：8+12+6+1=27（塊）.5.解：同上題（1）8塊；（2）24塊；（3）24塊；（4）8塊；（5）64塊.6.解：3面被涂成綠色的小正方體共有16塊

12、，就是圖218中有“點”的那些塊（注意最下層有2塊看不見）. 7.解：分類數(shù)一數(shù)可知，圍成小貓的那條繩子比較長.因為小狗身體的外形是由32條直線段和6條斜線段組成；小貓身體的外形是由32條直線段和8條斜線段組成.習題三（上）例1 數(shù)一數(shù)，圖31中共有多少點？解：（1）方法1：如圖32所示從上往下一層一層數(shù)：第一層 1個第二層 2個第三層 3個第四層 4個第五層 5個第六層 6個第七層 7個第八層 8個第九層 9個第十層 10個第十一層 9個第十二層 8個第十三層 7個第十四層 6個第十五層 5個第十六層 4個第十七層 3個第十八層 2個第十九層 1個總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8

13、+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已學過的知識計算）.（2）方法2：如圖33所示：從上往下，沿折線數(shù)第一層 1個第二層 3個第三層 5個第四層 7個第五層 9個第六層 11個第七層 13個第八層 15個第九層 17個第十層 19個總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學過的知識計算）.1.書庫里把書如圖316所示的那樣沿墻堆放起來.請你數(shù)一數(shù)這些書共有多少本？2.圖317所示是一個跳棋盤，請你數(shù)一數(shù)，這個跳棋盤上共有多少個棋孔？3.數(shù)一數(shù)，

14、圖318中有多少條線段？4.數(shù)一數(shù)，圖319中有多少銳角？5.數(shù)一數(shù)，圖320中有多少個三角形？6.數(shù)一數(shù)，圖321中有多少正方形？ 1.解：方法1：從左往右一摞一摞地數(shù)，再相加求和：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）.方法2：把這摞書形成的圖形看成是由一個長方形和一個三角形“尖頂”組成.長方形中的書 10×11=110三角形中的書 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25總數(shù)：110+25=135（本）.2.解：因為棋孔較多，應找出排列規(guī)律，以便于計數(shù).仔細觀察可知，圖中大三角形ABC上的棋孔的排列規(guī)律是（從上往下數(shù)）：1，2，

15、3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外還有三個小三角形中的棋孔的排列規(guī)律是1，2，3，4，所以棋孔總數(shù)是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（個）.3.解：方法1：按圖322所示方法數(shù)（圖中只畫出了一部分）線段總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28（條）.方法2：基本線段共7條，所以線段總數(shù)是：7+6+5+4+3+2+1=28（條）.4.解：按圖323的方法數(shù)：角的總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28（個）.5.解：方法1：（1）三角形是由三條邊構(gòu)成的圖形.以OA邊為左公共邊構(gòu)成

16、的三角形有：OAB，OAC，OAD，OAE，OAF，OAG，OAH，共7個；以OB邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OBC，OBD，OBE，OBF，OBG，OBH，共6個；以OC邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OCD，OCE，OCF，OCG，OCH，共5個；以OD邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：ODE，ODF，ODG，ODH，共4個；以OE邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OEF，OEG，OEH，共3個；以OF邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OFG，OFH，共2個；以OG邊和OH，GH兩邊構(gòu)成的三角形僅有：OGH1個；三角形總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28（個）.（2）方法2：顯然底邊AH上的每一條線段對應著一

17、個三角形，而基本線段是7條，所以三角形總數(shù)為：7+6+5+4+3+2+1=28（個）.6.解：最小的正方形有25個，由4個小正方形組成的正方形 16個；由9個小正方形組成的正方形 9個；由16個小正方形組成的正方形 4個；由25個小正方形組成的正方形 1個；正方形總數(shù)：25+16+9+4+1=55個.習題四（上）我們把按一定規(guī)律排列起來的一列數(shù)叫數(shù)列.在這一講里，我們要認識一些重要的簡單數(shù)列，還要學習找出數(shù)列的生成規(guī)律；學會把數(shù)列中缺少的數(shù)寫出來，最后還要學習解答一些生活中涉及數(shù)列知識的實際問題.例1 找出下面各數(shù)列的規(guī)律，并填空.（1）1，2，3，4，5，8，9，10.（2）1，3，5，7，

18、9，15，17，19.（3）2，4，6，8，10，16，18，20.（4）1，4，7，10，19，22，25.        （5） 5，10，15，20，35，40，45.注意：自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列也是等差數(shù)列.例2 找出下面的數(shù)列的規(guī)律并填空.1，1，2，3，5，8，13，55，89.解：這叫斐波那契數(shù)列，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和.這是個有重要用途的數(shù)列.8+13=21，13+21=34.所以：空處依次填：例3 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律并填空.1，2，4，8，16，128，256.解：它叫等比數(shù)列，它

19、的后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空處依次填：例4 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空.1，2，4，7，11，29，37.解：這數(shù)列規(guī)律是：后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，這些差是個自然數(shù)列：例5 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空：1，3，7，15，31，255，511.解：規(guī)律是：后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，差的變化規(guī)律是個等比數(shù)列，后一個差是前一個差的2倍.另外，原數(shù)列的規(guī)律也可以這樣看：后一個數(shù)等于前一個數(shù)乘以2再加1，即后一個數(shù)=前一個數(shù)×2+1.例6 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律，并填空.1，4，9，16，25，64，81，100.

20、解：這是自然數(shù)平方數(shù)列，它的每一個數(shù)都是自然數(shù)的自乘積.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，64=8×8，81=9×9，100=10×10.若寫成下面對應起來的形式，就看得更清楚.自然數(shù)列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 自然數(shù)平方數(shù)列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100例7 一輛公共汽車有78個座位，空車出發(fā).第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，車上坐滿乘客？（假定在坐滿以前，無乘客下車，見表四（1）方法2：由上表可知

21、，車上的人數(shù)是自1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，到第幾站后，就加到幾，所以只要加到出現(xiàn)78時，就可知道是到多少站了，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）可見第12站以后，車上坐滿乘客.例8 如果第一個數(shù)是3，以后每隔6個數(shù)寫出一個數(shù)，得到一列數(shù)：3，10，17，73.這里3叫第一項，10叫第二項，17叫第三項，試求73是第幾項？解：從第1項開始，把各項依次寫出來，一直寫到73出現(xiàn)為止（見表四（2）.可見73是第11項.例9 一天，爸爸給小明買了一包糖，數(shù)一數(shù)剛好100塊.爸爸靈機一動，又拿來了10個紙盒，接著說：“小明，現(xiàn)在你把糖往盒子里放，我要求你在第一個盒子里放2塊

22、，第二個盒子里放4塊，第三個盒子里放8塊，第四個盒子里放16塊，照這樣一直放下去.要放滿這10個盒，你說這100塊糖夠不夠？”小朋友，請你幫小明想一想？解：小朋友，你是不是以為100塊糖肯定能夠放滿這10個紙盒的了！下面讓我們算一算，看你想得對不對（見表四（3）.表四（3）放滿10個盒所需要的糖塊總數(shù)：可見100塊糖是遠遠不夠的，還差1946塊呢！這可能是你沒有想到的吧！其實，數(shù)學中還有很多很多奇妙無比的故事呢.1.從1開始，每隔兩個數(shù)寫出一個自然數(shù)，共寫出十個數(shù)來. 2.從1開始，每隔六個數(shù)寫出一個自然數(shù)，共寫出十個數(shù)來.3.在習題一和習題二中，按題目要求寫出的兩個數(shù)列中，除1以外

23、出現(xiàn)的最小的相同的數(shù)是幾？4.自2開始，隔兩個數(shù)寫一個數(shù)：2，5，8，101.可以看出，2是這列數(shù)的第一項，5是第二項，8是第三項，等等.問101是第幾個數(shù)？5.如圖41所示，“階梯形”的最高處是4個正方形疊起來的高度，而且整個圖形包括了10個小正方形.如果這個“階梯形”的高度變?yōu)?2個小正方形疊起來那樣高，那么，整個圖形應包括多少個小正方形？ 6.如圖42所示，把小立方體疊起來成為“寶塔”，求這個小寶塔共包括多少個小立方體？ 7.開學的第一個星期，小明準備發(fā)起成立一個趣味數(shù)學小組，這時只有他一個人.他決定第二個星期吸收兩名新組員，而每個新組員要在進入小組后的下一個星期再吸

24、收兩名新組員，求開學4個星期后，這個小組共有多少組員？8.圖43所示為細胞的增長方式.就是說一個分裂為兩個，再次分裂變?yōu)?個，第三次分裂為8個，照這樣下去，問經(jīng)過10次分裂，一個細胞變成幾個？9.圖44所示是一串“黑”、“白”兩色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，問 （1）盒子里有多少珠子？（2）這串珠子共有多少個？1.解：可以先寫出從1開始的自然數(shù)列，再按題目要求刪去那些不應該出現(xiàn)的數(shù)，就得到答案了：即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28可以看出，這是一個等差數(shù)列，后面一個數(shù)比前面一個數(shù)大3.2.解：仿習題1，先寫前面的幾個數(shù)如下：可以看出，1，8，15，22，也是一

25、個等差數(shù)列，后面的一個數(shù)比前面的一個數(shù)大7.按照這個規(guī)律，可以寫出所有的10個數(shù)：1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.3. 解：觀察習題一和習題二兩個數(shù)列：可見兩個數(shù)列中最小的相同數(shù)是22.4.解：經(jīng)仔細觀察后可以看出，這是一個等差數(shù)列，后一個數(shù)比前一個數(shù)大3，即公差是3.下面再多寫出幾項，以便從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（表四（4）再仔細觀察可知：第二項=第一項+1×公差，即52+1×3；第三項=第一項+2×公差，即8=2+2×3；第四項=第一項+3×公差，即11=2+3×3；第五項=第一項+4×公差，即14=2+4

26、×3；由于101=2+33×3；可見，101是第34項，即第34個數(shù).5.解：仔細觀察可發(fā)現(xiàn)，這個“階梯形”圖形最高處是4個小正方形時，它就有4個臺階，整個圖形包括的小正方形數(shù)為：1+2+3+4=10.所以最高處是12個小正方形時，它必有12個臺階，整個圖形包括的小正方形數(shù)為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（個）.6.解：從上往下數(shù)，小寶塔共有六層.仔細觀察可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律（表四（5）：所以六層小立方體的總數(shù)為：1+3+6+10+15+21=56（個）.7.解：列表如下：4個星期后小組的總?cè)藬?shù)：1+2+4+8=15（人）.8.解：列表如下：一個細胞

27、經(jīng)過10次分裂變?yōu)?024個.9.解：仔細觀察可知，這串珠子的排列規(guī)律是：白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 1, 1,1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1,在盒子里有：4+1+4=9（個）.這一串珠子總數(shù)是：1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）=28+8=36（個）.習題五（上）本講的習題，大都是關(guān)于自然數(shù)列方面的計數(shù)問題，解題的思維方法一般是運用枚舉法及分類統(tǒng)計方法，望同學們能很好地掌握它.例1 小明從1寫到100，他共寫了多少個數(shù)字“1”？解

28、：分類計算：“1”出現(xiàn)在個位上的數(shù)有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10個；“1”出現(xiàn)在十位上的數(shù)有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10個；“1”出現(xiàn)在百位上的數(shù)有：100共1個；共計10+10+1=21個.例2 一本小人書共100頁，排版時一個鉛字只能排一位數(shù)字，請你算一下，排這本書的頁碼共用了多少個鉛字？解：分類計算：從第1頁到第9頁，共9頁，每頁用1個鉛字，共用1×9=9（個）；從第10頁到第99頁，共90頁，每頁用2個鉛字，共用2×90=180（個）；第100頁，只1頁共用3個鉛字，所以排100頁書的頁碼共用

29、鉛字的總數(shù)是：9+180+3=192（個）.例3 把1到100的一百個自然數(shù)全部寫出來，用到的所有數(shù)字的和是多少？解：（見圖51）先按題要求，把1到100的一百個自然數(shù)全部寫出來，再分類進行計算：如圖51所示，寬豎條帶中都是個位數(shù)字，共有10條，數(shù)字之和是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10=45×10=450.窄豎條帶中，每條都包含有一種十位數(shù)字，共有9條，數(shù)字之和是：1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10+8×10+9×10=（1+2+3+4

30、+5+6+7+8+9）×10=45×10450.另外100這個數(shù)的數(shù)字和是1+0+0=1.所以，這一百個自然數(shù)的數(shù)字總和是：450+450+1=901.順便提請同學們注意的是：一道數(shù)學題的解法往往不只一種，誰能尋找并發(fā)現(xiàn)出更簡潔的解法來，往往標志著誰有更強的數(shù)學能力.比如說這道題就還有更簡潔的解法，試試看，你能不能找出來？ 1.有一本書共200頁，頁碼依次為1、2、3、199、200，問數(shù)字“1”在頁碼中共出現(xiàn)了多少次？2.在1至100的奇數(shù)中，數(shù)字“3”共出現(xiàn)了多少次？3.在10至100的自然數(shù)中，個位數(shù)字是2或是7的數(shù)共有多少個？4.一本書共200頁，如果頁碼的每個數(shù)字

31、都得用一個單獨的鉛字排版（比如，“150”這個頁碼就需要三個鉛字“1”、“5”和“0”），問排這本書的頁碼一共需要多少個鉛字？5.像“21”這個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字“2”大于個位數(shù)字“1”，問從1至100的所有自然數(shù)中有多少個這樣的兩位數(shù)？6.像“101”這個三位數(shù)，它的個位數(shù)字與百位數(shù)字調(diào)換以后，數(shù)的大小并不改變，問從100至200之間有多少個這樣的三位數(shù)？7.像11、12、13這三個數(shù)，它們的數(shù)位上的各個數(shù)字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.問自然數(shù)列的前20個數(shù)的數(shù)字之和是多少？8.把1到100的一百個自然數(shù)全部寫出來，用到的所有數(shù)字的和是多少？9.從1到1000的一千個

32、自然數(shù)的所有數(shù)字的和是多少？1.解：分類計算，并將有數(shù)字“1”的數(shù)枚舉出來.“1”出現(xiàn)在個位上的數(shù)有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共20個；“1”出現(xiàn)在十位上的數(shù)有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19110，111，112，113，114，115，116，117，118，119共20個；“1”出現(xiàn)在百位上的數(shù)有：100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，1

33、19，120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，190，191，192，193，1

34、94，195，196，197，198，199共100個；數(shù)字“1”在1至200中出現(xiàn)的總次數(shù)是：20+20+100=140（次）.2.解：采用枚舉法，并分類計算：“3”在個位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10個；“3”在十位上：31，33，35，37，39共5個；數(shù)字“3”在1至100的奇數(shù)中出現(xiàn)的總次數(shù)：10+5=15（次）.3.解：枚舉法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18個.4.解：分段統(tǒng)計，再總計.頁數(shù) 鉛字個數(shù)19共9頁 1×9=9（個）（每個頁碼用1個鉛字）109

35、0共90頁 2×90=180（個）（每個頁碼用2個鉛字）100199共100頁 3×100=300（個）（每個頁碼用3個鉛字）第200頁共1頁 3×1=3（個）（這頁用3個鉛字）總數(shù)：9+180+300+3=492（個）.5.解：列表枚舉，分類統(tǒng)計：10 1個20 21 2個30 31 32 3個40 41 42 43 4個50 51 52 53 54 5個60 61 62 63 64 65 6個70 71 72 73 74 75 76 7個80 81 82 83 84 85 86 87 8個90 91 92 93 94 95 96 97 98 9個總數(shù)1+2+3

36、+4+5+6+7+8+9=45（個）.6.解：枚舉法，再總計：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10個.7.解：分段統(tǒng)計（見表五（1），再總計：總的數(shù)字相加之和：45+45+10+2=102.8.解：按題意，試著寫出從1到100的自然數(shù)中的頭、尾和中間的幾部分：1，2，3，48，49，50，51，96，97，98，99，100.仔細觀察可知：若再補個0（并不影響題目的答案）還可以寫出一個類似的算式：0+99=99；因此共得出50個99.而一個99的數(shù)字和是：9+9=18；50個99的數(shù)字和是：18×50=900，再加上100這個數(shù)的數(shù)字和

37、是1+0+0=1，就得出從1到100的所有自然數(shù)的數(shù)字之和為901.照以上方法列出算式就非常簡潔：（9+9）×50+1=901.9.解：（見圖52）寫出11000的自然數(shù)列的頭、尾和中間的幾部分，并在1的前面加個“0”；又因為9+9+9=27，1+0+0+0=1，所以從11000的所有自然數(shù)的所有數(shù)字之和為：27×500+1=13501.習題六（上）1.觀察圖64中的點群，請回答：（1）方框內(nèi)的點群包含多少個點？（2）第10個點群中包含多少個點？（3）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？ 2.觀察下面圖65中的點群，請回答： （1）方框內(nèi)的點群包含多少個點

38、？（2）推測第10個點群中包含多少個點？（3）前10個點群中，所有點的總數(shù)是多少？3.觀察圖66中的點群，請回答：（1）方框內(nèi)的點群包含多少個點？（2）推測第10個點群包含多少個點？（3）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？ 4.圖67所示為一堆磚.中央最高一摞是10塊，它的左右兩邊各是9塊，再往兩邊是8塊、7塊、6塊、5塊、4塊、3塊、2塊、1塊.問：（1）這堆磚共有多少塊？（2）如果中央最高一摞是10O塊，兩邊按圖示的方式堆砌，問這堆磚共多少塊？ 5.圖68所示為堆積的方磚，共畫出了五層.如果以同樣的方式繼續(xù)堆積下去，共堆積了10層，問：（1）能看到的方磚有多少塊？（2）

39、不能看到的方磚有多少塊？ 1.解：（1）數(shù)一數(shù)，前四個點群包含的點數(shù)分別是：1，5，9，13.不難發(fā)現(xiàn)，這是一個等差數(shù)列，公差是4，可以推出，第5個點群包含的點數(shù)是：13+4=17（個）.（2）下面依次寫出各點群的點數(shù)，可得第10個點群的點數(shù)為37.（3）前十個點群的所有點數(shù)為：2.解：（1）數(shù)一數(shù)，前4個點群包含的點數(shù)分別是：1，4，9，16.不難發(fā)現(xiàn)，這是一個自然數(shù)平方數(shù)列.所以第5個點群（即方框中的點群）包含的點數(shù)是：5×5=25（個）.（2）按發(fā)現(xiàn)的規(guī)律推出，第十個點群的點數(shù)是：10×10=100（個）.（3）前十個點群，所有的點數(shù)是：3.解：（1）數(shù)一數(shù)

40、，前四個點群包含的點數(shù)分別是：4，8，12，16.不難發(fā)現(xiàn)，這是一個等差數(shù)列，公差是4，可以推出，第5個點群（即方框中的點群）包含的點數(shù)是：16+4=20（個）.（2）下面依次寫出各點群的點數(shù)，可得第10個點群的點數(shù)為40.（3）前十個點群的所有的點數(shù)為：4.解：從最簡單情況入手，找規(guī)律：按著這種規(guī)律可求得：（1）當中央最高一摞是10塊時，這堆磚的總數(shù)是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10=100（塊）.（2）當中央最高一摞是100塊時，這堆磚的總數(shù)是：1+2+3+98+99+100+99+98+3+2+1=100×10

41、0=10000（塊）.5.解：（1）數(shù)一數(shù)，前五層中各層可見的方磚數(shù)是：1，3，5，7，9不難發(fā)現(xiàn)，這是一個奇數(shù)列.照此規(guī)律，十層中可見的方磚總數(shù)是：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（塊）.（2）再想一想，前五層中，各層不能看到的方磚數(shù)是：第一層 0塊； 第二層 1塊； 第三層 4塊；第四層 9塊； 第五層 16塊；不難發(fā)現(xiàn)，1，4，9，16是自然數(shù)平方數(shù)列，按照此規(guī)律把其余各層看不見的磚塊數(shù)寫出來（如下表）：則看不見的磚塊總數(shù)為：習題七（上）1.仔細觀察圖714，找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？2.仔細觀察圖715，找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空

42、白格內(nèi)填一個什么樣的圖？3.仔細觀察圖716，找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？4.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”處應填什么圖？5.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”處應填什么圖？6.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”應填什么圖？7.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”應填什么圖？8.仔細觀察下列圖形的變化，請先回答：在方框（4）中應畫出怎樣的圖形？再按（1）、（2）、（3）、的順序數(shù)下去，第（10）個方框是怎樣的圖形？9.仔細觀察下列圖形的變化，請先回答：在方框（4）中應畫出怎樣的圖形？再按（1）、（2）、（3）、的順序數(shù)下去，第

43、（10）個方框是怎樣的圖形？1.答：（見圖723）.2.答：（見圖724）.3.答：（見圖725）.4.答（見圖726）.5.答：（見圖727）.6.答：（見圖728）.7.答：（見圖729）.8.答：（見圖730）.先按（1）、（2）、（3）、的順序仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)：在（1）中，*在左上角，在（2）中它在右上角，在（3）中它在右下角，可見它在沿順時針方向轉(zhuǎn)動.其他三個小圖形，即、，也和*一樣都在沿著順時針方向轉(zhuǎn)動.發(fā)現(xiàn)規(guī)律：因方框中的每個小圖形的位置的變化都是按順時針方向旋轉(zhuǎn)，可以說，方框連同內(nèi)部的小圖形及整體在按順時針方向旋轉(zhuǎn).進一步猜想，根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進一步推測可知，第（4）個方框中

44、的圖形的樣子.按（1）、（2）、（3）、的順序仔細觀察，進一步還可發(fā)現(xiàn)，圖形的變化是有“周期性”的，也就是說，每過4個方框后，完全同樣的圖形又重新出現(xiàn)，如第（1）、（5）、（9）個圖形是完全一樣的.因為244=10，所以第（10）個方框內(nèi)的圖形與第（2）完全相同.9.答：（見圖731）第七講 找規(guī)律（二）例1 仔細觀察下面的圖形，找出變化規(guī)律，猜猜在第3組的右框空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？解：仔細觀察圖71，可知：第1組左邊是個大菱形，右邊是個小菱形.第2組左邊是個大三角形，右邊是個小三角形.其規(guī)律是：每組中左右兩邊圖形的形狀相同，大小不同.都是左邊的圖形大，右邊的圖形小.猜出答案：第3組中右邊

45、空白格內(nèi)應填個小長方形.（如圖73）.仔細觀察圖72可知：第1組左邊是個圓，而且左半圓涂有陰影線.右邊是左邊的陰影半圓順時針旋轉(zhuǎn)后放置的.第2組左邊是個等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有陰影線，右邊是左邊陰影直角三角形順時針旋轉(zhuǎn)后放置的.其規(guī)律是：每組的右邊格內(nèi)的圖形都是左邊圖形左邊的一半，順時針旋轉(zhuǎn)放置后成為右邊圖形.猜出答案：第3組中右框內(nèi)應填個陰影小長方形.如圖74示.例2 按順序仔細觀察圖75、76的形狀，猜一猜第3組的“？”處應填什么圖？解：圖75的？處應填.注意觀察第1組和第2組，每組都是由三對小圖形組成；而每對小圖形都是由一個“空白”的和一個“黑色”的小圖形組成；而且它倆的

46、排列順序都是“空白”的在左邊，“黑色”的在右邊.再按著第1、第2、第3組的順序觀察下去，可發(fā)現(xiàn)每對小圖形在各組中的位置的變化規(guī)律：它們都在向左移動，當一對小圖形移動到最左邊后，下一步它就回到了最右邊.按這個移動規(guī)律，可知圖75中第3組“？”處應填：.圖76的？處應填0.仔細觀察可發(fā)現(xiàn)第1組和第2組中間的部分都是由三個小圖形構(gòu)成的.構(gòu)成的規(guī)律是：當你按照第1、第2、第3組的順序觀察時，6個小圖形都在向左移動，而且移動的同時又在重新分組和組合，但排列順序保持不變，當某一個小圖形移動到了最左邊時，下一步它就回到了最右邊.按這個規(guī)律可知圖76中第3組中間“？”處是：0.例3 觀察圖77的變化，請先回答

47、：在方框（4）中應畫出怎樣的圖形？再答按（1）、（2）、（3）、的順序數(shù)下去，第（10）個方框中是怎樣的圖形？解：先按（1）、（2）、（3）、的順序仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)：方框中的箭頭是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的；方框中的其他小圖形，如、和也都是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的.也就是說，方框連同內(nèi)部的所有小圖形作為一個整體在按逆時針方向旋轉(zhuǎn).  因此，方框（4）中的小圖形應畫成圖78狀.再按已找到的規(guī)律，進一步可發(fā)現(xiàn)圖形的變化是有“周期性”的，也就是說，每過4個方框后，同樣的圖形又重新出現(xiàn)一次.如，你可看到第（1）和第（5）是完全一樣的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）個圖形應當

48、是完全一樣的.即第（10）個方框中的圖形應是圖79所示的樣子.例4 觀察圖710的變化，請先回答：第（4）、（8）個圖中，黑點在什么地方？第（10）、（18）個圖中，黑點在什么地方？ 解：（1）按圖710中（1）、（2）、（3）、的順序仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)黑點位置的變化規(guī)律：在（1）中，黑點在最上面第一條橫線上；在（2）中，黑點下降了一格，在上面第二條橫線上；在（3）中，黑點又下降了一格，在中間一條線上了.按黑點位置的這種變化可推測出：在（4）中，黑點又下降一格，它的位置應如圖711所示. 繼續(xù)觀察下去：在（5）中，黑點下降到最下面的一條橫線上；在（6）中，黑點開始往上升一格；

49、 在（7）中，黑點再上升一格，按著黑點位置的這種變化可推測出：在（8）中，黑點又上升一格，它的位置應如圖712所示.（2）進一步仔細觀察圖710（1）（9），可發(fā)現(xiàn)黑點位置變化的“周期性”規(guī)律：也就是說，每隔8個小圖，黑點又回到原來的位置.因為2+8=10，2+8+8=18. 所以第（10）、（18）個小圖中，黑點的位置應與第（2）個小圖相同，見圖713所示.習題八（上）1.如圖86所示，直線上有13個點，任意兩點間的部分都構(gòu)成一條線段，問共構(gòu)成多少條線段？2.如圖87所示，兩條直線最多有一個交點，三條直線最多有三個交點，四條直線最多有六個交點，問十三條直線最多有幾個交點？

50、3.圖88所示為切大餅示意圖，已知切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，問切12刀最多切成多少塊？4.如圖89所示，將自然數(shù)從小到大沿三角形的邊成螺旋狀，排列起來，2在第一個拐彎處，4在第二個拐彎處，7在第三個拐彎處，問在第十個拐彎處的自然數(shù)是幾？5.如圖810所示為切大餅的示意圖.切一刀只有一種切法，切兩刀有2種切法，切三刀有4種切法，問切十一刀有多少種切法（規(guī)定：三刀或三刀以上不能切在同一點上，如圖811所示）？1.解：利用例1得到的規(guī)律可知：一條直線上有若干點時，線段的條數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比點數(shù)小1.1+2+3+4+5+6+7+8+9

51、+10+11+12=78（條）.2.解：利用例2得到的規(guī)律可知，有若干條直線相交時，最多的交點數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比直線條數(shù)小1.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（個）.3.解：利用例3得到的規(guī)律可知，把一張大餅切若干刀時，切成的最多塊數(shù)，等于從1開始的一串自然數(shù)相加之和加1，其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù).1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=1+78=79（塊）.4.解：方法1：觀察圖812，仔細分析找規(guī)律.第一個拐彎處 2=1+1第二個拐彎處 4=1+1+2第三個拐彎處 7=1+1+2+3第四個拐彎處 11=1+1

52、+2+3+4第五個拐彎處 16=1+1+2+3+4+5發(fā)現(xiàn)規(guī)律：拐彎處的數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和再加1，在第幾個拐彎處，就加到第幾個自然數(shù).所以第十個拐彎處的數(shù)是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56.方法2：由于此題比較簡單，把圖形畫出來（圖812），按要求把自然數(shù)排列在三角形的邊上，答案也是56.5.解：對簡單的情況，仔細觀察、分析，大膽猜想，找出規(guī)律，用于解決復雜的情況.如圖813所示：切一刀，1種切法：1=1切兩刀，2種切法：2=1+1切三刀，4種切法：4=1+1+2大膽猜想，切四刀的切法數(shù)應為：1+1+2+3=7種切法.進行驗證（實際切切看）：應用得到的規(guī)律，求得切十一刀的不同切法數(shù)為：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+55習題九（上）1.在圖915，916中，只能用圖中已有的三個數(shù)填滿其余的空格，并要求每個數(shù)字必須使用3次，而且每行、每列及每條對角線上的