第5節(jié)連續(xù)型隨機變量的概率密度

1、上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回2.5 2.5 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度第二章 隨機變量及其分布1上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回2.42.4 連續(xù)隨機變量連續(xù)隨機變量.(2)取這些值時對應(yīng)的概率給出X;) 1 (的全部取值列出X:述離散隨機變量那樣，對于連續(xù)隨機變量 X是試驗的基事件0 xX ,本事件,但在實際的試驗中.)2(的發(fā)生無法檢驗該事件是否真發(fā)生的概率極??；事件)1 (0 xX 規(guī)定：因此,. 0)(0 xXP無法像前面

2、描的分布時描述連續(xù)隨機變量,X2上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回 概率密度函數(shù)的定義概率密度函數(shù)的定義2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度設(shè) 是連續(xù)型隨機變量， 是實數(shù)， . X0 xxxxxXxPx)(lim0則稱此極限為 在 處的概率密度概率密度. Xx: )(xf記作xxxXxPxfx)(lim)(0如果存在，上的平均概率分布密度在區(qū)間為隨機變量稱比值xxxXxxxXxP,)(3上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回xxxXxPx

3、fx)(lim)() 1 (0 xxFxxFx)()(lim0.)()()()2(xdxxfxXPxF 概率密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系概率密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系);(xF2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度4上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回., 02,cos21)(其它；xxxf).(xFX的分布函數(shù)求解：2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度,2時當(dāng) x; 0)()(xdxxfxF,22時當(dāng)x xdxxfxF)()(;2sin1xxdxxfdxxf22)()( xxdx2cos2

4、15上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回.2, 1;22,2sin1;2, 0)(xxxxxF xdxxfxF)()(. 1時，當(dāng)2x xdxxfdxxfdxxf2222)()()( 于是2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度6上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回. 0)(xf即，密度函數(shù)的圖形(分布曲線)位于 軸上方.xX. 1)(dxxfba 概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì),內(nèi)區(qū)間ba則. 1)(dxxf2.62.6 連續(xù)隨機變量

5、的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度7上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回.)()(2121dxxfxXxPxx 用概率密度求概率用概率密度求概率則x)(xfO1x2x)(21xxxP2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度8上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回例例2設(shè)連續(xù)隨機變量X的概率密度.,1)(2xxAxf求：常數(shù)A的值；隨機變量X落在區(qū)間 1 ,0內(nèi)的概率；隨機變量X的分布函數(shù).解：根據(jù)概率密度的性質(zhì)，有, 112dxxA即. 112A

6、xdxA(1)(3)(2)(1)2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度9上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回由此得.1A隨機變量X的概率密度為.,)1(1)(xxxf2于是,所求概率102)1() 10(xdxxP.25. 041(3)(2)隨機變量X的分布函數(shù)xxdxxF)1()(2)2(arctan1x.arctan121x)Cauchy(分布柯西2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度10上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束

7、返回返回1,02( )05(1)2XAxxf xAX例3設(shè)隨機變量 的概率密度為：其他3確定常數(shù) ； （2）求X的分布函數(shù)； （3）求P(2201(1)( )1(1)12f xdxAxdxA解由，得，解得110( )0,xF x（2）當(dāng)時，20102( )( )(1)4xxxF xf t dtAtdtxx 當(dāng)時，2( )1xF x當(dāng)時，上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回252233220,01( ),0241,2351(3)()( )(1)2216xF xxxxxPXf x dxAxdx所以(1)4,0( ),011,111

8、,23()3xxXAexF xBxA exA BXP X例設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為：求（：）的值； （ ） 的概率密度；（ ）12上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回連續(xù)函數(shù)，所以是定義知，）由連續(xù)型隨機變量的（解)(1xF0011lim()lim()lim()lim()xxxxFxFxFxFx0011lim( )lim( )lim( )lim( )1xxxxAF xF xBBF xF xA 即12AB解得13上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回11(2)

9、0( );22xxxf xee當(dāng)時 ，14101,( )0;2xf x當(dāng)時(1)(1)111,( )1.22xxxf xee當(dāng)時(1)1,02( )0,011,12xxexfxxex所以上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回1111(3)()1()1( )3332P XP XF15上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回2.62.6 連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度小小 結(jié)結(jié) 1. 概率密度函數(shù)是描述連續(xù)型隨機變量概率分布的最常用的工具. 2. 概率密度

10、函數(shù)的性質(zhì):非負(fù)性,規(guī)范性. 4. 利用密度函數(shù)計算概率的公式： 3. 概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系.)()(dxxfbXaPba16上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回2.6 2.6 連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)),()( ),( xfxfxfX且的密度函數(shù)為設(shè)隨機變量. )(, , )(有則對任意實數(shù)的分布函數(shù)是aXxF;)(1)()(0adxxfaFA;)(21)()(0adxxfaFB; )()()(aFaFC. 1)(2)()(aFaFD思考題思考題17上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）

11、概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回2.6 2.6 連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)解：則由于),()( xfxf,)(1adxxf)(21(10adxxf. )(210adxxf. )(B從而選擇又adxxfaF)()(adxxf)()()(100adxxfdxxf0)(dxxf0)(dxxf, 21)()0(0dxxfF于是18上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（湘潭大學(xué)）目錄目錄結(jié)束結(jié)束返回返回人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)