數(shù)值分析 第2章 插值法part-1

1、計 算 方 法南京大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)系第二章第二章 插值法插值法 ( (Interpolation)Interpolation)2022-4-23 2.0 為什么要研究插值法為什么要研究插值法 插值法是廣泛應(yīng)用于理論和實踐的重要數(shù)值方插值法是廣泛應(yīng)用于理論和實踐的重要數(shù)值方法法, 它是用簡單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型；它是用簡單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型；為非有理函數(shù)提供好的數(shù)值逼近。反映自然規(guī)為非有理函數(shù)提供好的數(shù)值逼近。反映自然規(guī)律數(shù)量關(guān)系的函數(shù)主要有三種方法：律數(shù)量關(guān)系的函數(shù)主要有三種方法： 解析表達式52)(3xxxfyyxsin 圖象法 數(shù)表法 2.0 為什么要研究插值法為什么要研

2、究插值法 許多函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)是用數(shù)表法給出許多函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)是用數(shù)表法給出(如觀測和實驗得到的數(shù)如觀測和實驗得到的數(shù)據(jù)據(jù))。但用離散的函數(shù)值進行理論分析和設(shè)計，是不方便或。但用離散的函數(shù)值進行理論分析和設(shè)計，是不方便或是不可能的。因此需要尋找與已知函數(shù)值相符，并且形式是不可能的。因此需要尋找與已知函數(shù)值相符，并且形式簡單的插值函數(shù)簡單的插值函數(shù)(或近似函數(shù)或近似函數(shù))。 另外一情況是，另外一情況是，函數(shù)表達式給定，但其形式不適宜計算機函數(shù)表達式給定，但其形式不適宜計算機使用使用，一些涉及連續(xù)變量問題的計算需經(jīng)過離散化后才能，一些涉及連續(xù)變量問題的計算需經(jīng)過離散化后才能進行。如數(shù)值積分方法、數(shù)值微分

3、方法、差分方程以及有進行。如數(shù)值積分方法、數(shù)值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必須直接或間接地應(yīng)用到插值理論和方法限元法等，都必須直接或間接地應(yīng)用到插值理論和方法。2022-4-23 插值函數(shù)插值函數(shù) p (x) 作為作為 f (x) 的近似，可以選不同類型的近似，可以選不同類型的函數(shù)的函數(shù), 如如 多項式、三角多項式、有理分式多項式、三角多項式、有理分式；其函數(shù)性其函數(shù)性態(tài)為光滑或分段光滑。其中態(tài)為光滑或分段光滑。其中多項式多項式插值占有重要地位：插值占有重要地位： (a) 結(jié)構(gòu)簡單、計算機容易處理、任何多項式的導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)簡單、計算機容易處理、任何多項式的導(dǎo)數(shù)和積分也易確定。和積分也易確定

4、。(b) Weierstrass逼近定理：定義在閉區(qū)間上的逼近定理：定義在閉區(qū)間上的任何連任何連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù) f(x) , 存在多項式存在多項式p(x)一致逼近一致逼近f(x), 并達到所并達到所要求的精度。要求的精度。本章主要考慮多項式插值問題。本章主要考慮多項式插值問題。內(nèi)內(nèi) 容容2.1 1 引言引言 插值問題的一般提法插值問題的一般提法 2.2 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值2.3 均差與均差與Newton插值公式插值公式2.4 差分與等距節(jié)點插值公式差分與等距節(jié)點插值公式 2.5 埃爾米特插值埃爾米特插值2.6 分段低次插值分段低次插值2.7 三次樣條插值三次樣條插值20

5、22-4-232.1 插值問題的一般提法插值問題的一般提法 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) y = f (x) 復(fù)雜或未知，在區(qū)間復(fù)雜或未知，在區(qū)間a,b內(nèi)的內(nèi)的節(jié)點節(jié)點 a=x0 xn=b 處得函數(shù)值處得函數(shù)值 y0, , yn 其中其中 y0 = f (x0 ) , , yn = f (xn)， 由此構(gòu)造一個簡單的近似函數(shù)由此構(gòu)造一個簡單的近似函數(shù) P (x) f (x)，滿足條件滿足條件: P (xi) = f (xi) (i = 0, n)。 這里的這里的 P (x) 稱為稱為f (x) 的插值函數(shù)。的插值函數(shù)。2022-4-23 插值的幾何意義 從幾何上看，插值就是求一條曲線從幾何上看，插值就是求一條

6、曲線 使其通過給定的使其通過給定的 個點個點 ， 并且與已知曲線并且與已知曲線 有一定的近似度。有一定的近似度。( )yP x1n( ,)iix y(0,1, )in( )yf xx 0 y y = p(x) a=x0 x1 x2 x3 xn=b (xi, yi)y = f (x)曲線曲線 P ( x) 近似近似 f ( x) x0 , x1, , xn 插值節(jié)點插值節(jié)點, 函數(shù)函數(shù) P (x) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y=f (x) 的插值函數(shù)，的插值函數(shù)，區(qū)間區(qū)間 a, b 稱為插值區(qū)間。稱為插值區(qū)間。 a,b內(nèi)任一點x處, P(x)可作為f(x)的近似.插值法的適用1.求函數(shù)表上兩值之間未列出

7、的函數(shù)值. x 1.5 1.6 1.7ln(x) 0.405465 0.470004 0.530628需要求出 ln(1.64)如已知 f(x)=ln(x)的函數(shù)表:2. 已知y=f(x)在若干點的函數(shù)值, 求經(jīng)過各點(xi, yi)的簡單函數(shù)P(x). xi 0 0.5 1 yi 1 0.60653 0.36788例如,已知可求2次多項式P(x)=1-0.941757x+0.309636x2滿足P(0)=1, P(0.5)=0.606531, P(1)=0.367879( (yi= f(xi) ) 3. 函數(shù)f(x)難以計算,希望在區(qū)間a,b找到簡單函數(shù)P(x)代替f(x),以便計算.yx0

8、aby=f(x)y=P(x) 例子例子: f(x)=arctan(x), 在在-1,1區(qū)間上區(qū)間上, 可用可用簡單函數(shù)多項式多項式P(x)=0.987733x-0.202335x3 代替代替 f(x)例. (插值問題的一般解法一般解法)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) 有如下數(shù)據(jù)有如下數(shù)據(jù):求求 f(x) 的插值多項式的插值多項式 p(x)，并求并求 f(x) 在在 x=0.5 處的近似值。處的近似值。 插值問題是否可解. 若有解,是否唯一. 如何求插值函數(shù)P(x). P(x)與 f(x)的誤差如何估計. 當(dāng)插值節(jié)點無限加密時, P(x)是否收斂 于f(x).插值法的研究內(nèi)容插值法的研究內(nèi)容 存在唯

9、一性定理：存在唯一性定理：yf(x)在在a,b有定義有定義, 設(shè)設(shè)a=x0 x1 x2 xn=b已知已知f(x)在在xi處的函數(shù)值處的函數(shù)值 yi=f(xi), (i = 0,1, ,n)則存在唯一的多項式則存在唯一的多項式P(x), 使得使得: P(xi)=yi , (i = 0,1, ,n)證明證明: : 設(shè)設(shè) P(x) = a0+a1x+a2x2+.+anxn條件條件P(xi)=yi 代入代入, 得得:nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa22101121211000202010這是關(guān)于未知系數(shù)這是關(guān)于未知系數(shù)a0 , a1,.,an的的n+1階線性方程組階

10、線性方程組插值條件其系數(shù)行列式為Vandermonde行列式行列式njijinnnnnnxxxxxxxxxxx02121102000)(111因此,關(guān)于a0 , a1,.,an的線性方程組有唯一解.即存在唯一的多項式P(x) = a0+a1x+a2x2+.+anxn滿足插值條件.n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求，求101( )Lxaa x=+使得使得111001)(,)(y1x1Ly0 x0L 可見可見 L1(x) 是過是過 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點的直線。兩點的直線。2.2 拉格朗日多項式拉格朗日多項式 Lagrange Polyn

11、omial l0(x)l1(x)線性插值線性插值基函數(shù)基函數(shù)1. 線性插值與拋物插值線性插值與拋物插值:iiiyxlyxxxxyxxxxxxxxyyyxL)()()(101010010100101012022-4-23線性插值與其基函數(shù)示意圖xy0 0( )yy lx1 1( )yy l x0 x1xO10 01 1( )( )( )L xy lxy l x0 x1xxy0y1y( )yf x1( )yL xO2022-4-23顯然顯然, , 是過是過 、 、 三點的一條三點的一條拋物線。拋物線。),(11yx),(22yx已知已知 , , 求求 ，n = 2)(2xL使得使得20021122

12、2( )( )( )L xyL xyL xy=2( )L x00(,)xy210210,yyyxxx2022-4-23顯然顯然, , 是過是過 、 、 三點的一條三點的一條拋物線。拋物線。),(11yx),(22yx已知已知 , , 求求 ，n = 2)(2xL使得使得200211222( )( )( )L xyL xyL xy=仿照線性插值基函數(shù)的構(gòu)造方法，令仿照線性插值基函數(shù)的構(gòu)造方法，令)()()()()()()()()(120210221012012010210 xxxxxxxxxlxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl拋物線基拋物線基函數(shù)函數(shù)2()Lx稱其為拋物線插值基函數(shù)稱其為拋

13、物線插值基函數(shù)(如上右圖所示如上右圖所示)。 2( )L x00( ,)xy210210,yyyxxx)()()()()()()()()(120210221012012010210 xxxxxxxxxlxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl拋物線插值基函數(shù)拋物線插值基函數(shù)于是于是拋物線基函數(shù)拋物線基函數(shù)020112201201021012202120()()()()()()( )()()()()()()( )iiixxxxxxxxxx xxL xyyyxx xxxxxxxxxxl x y=-=+-=推導(dǎo)推導(dǎo)n+1節(jié)點的節(jié)點的Lagrange插值多項式插值多項式推導(dǎo)推導(dǎo)n+1節(jié)點的節(jié)點的Lag

14、range插值多項式插值多項式希望找到希望找到 li (x)，i = 0, , n 使得使得 li (xj) = ij ；然后令；然后令，則顯然有，則顯然有 Pn(xi) = yi 。每個每個 li 有有 n 個根個根 x0 , xi , xn一般情形一般情形)()( )()()()( )()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl ， k = 0, 1 , n ., )()( )()()(110nkkkxxxxxxxxAxl 令令k = 0, 1 , n .0111()()()()knkkkkkAxxxxxxxx() 1,kkl x由由 得得: :0()(

15、)）nnkkkLxfxlx0()()）nnkkkLxfxlx設(shè)設(shè) 函數(shù)表函數(shù)表 則滿足插值條件則滿足插值條件 的多項式的多項式Lagrange插值多項式插值多項式 nkkknxlxfxL0)()( ）( )yf x, , ,(,(,( )(0 1.),ijiixxx f xinij()() (0,1. )，niiLxf xin其中其中, , 0()(0,1,. )njkjkjjkxxlxknxx2022-4-23 x -1 0 1 2f (x) -2 -2 1 2 已知連續(xù)函數(shù)已知連續(xù)函數(shù) f (x) 的函數(shù)表如下：的函數(shù)表如下：求方程求方程 f (x)=0 在在(-1,2)內(nèi)的近似根。內(nèi)的近

16、似根。例題例題2022-4-23解：解：利用利用Lagrange插值法有插值法有 取初值取初值x=0.5，利用牛頓法求解可得，利用牛頓法求解可得 f (x) 在在(-1,2)內(nèi)的近似根內(nèi)的近似根為為0.67433。 32591412 0 xxx解方程解方程x -1 0 1 2f(x) -2 -2 1 2 已知連續(xù)函數(shù)已知連續(xù)函數(shù)f (x)的函數(shù)表如下：的函數(shù)表如下：試求方程試求方程 f (x)=0 在在(-1,2)內(nèi)的近似根。內(nèi)的近似根。例題例題30121122210111201 01 021211122 1 121 20 21xxxxxxL xxx xxx x()()()()()()( )(

17、 )( )()()()()()()() ()() ()( )()()()-+-=-+- - - -+-+-+-+-+-3215914126xxx=-+-以下的問題：如何分析以下的問題：如何分析插值的余項？插值的余項？ (1) (1) 先求先求插值基函數(shù)插值基函數(shù). . (2) (2) 構(gòu)造構(gòu)造插值多項式插值多項式. .構(gòu)造插值多項式的方法：構(gòu)造插值多項式的方法：2022-4-23 ，且，且 f 滿足條件滿足條件 , Lagrange插值法插值余項插值法插值余項設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截斷誤差考察截斷誤差:)()()(xLxfxRnn , baCfn bxxxa

18、n 102022-4-23 Lagrange插值法的插值余項插值法的插值余項 ，且，且 f 滿足條件滿足條件 ,設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在 , 截斷誤差截斷誤差(或插值余項或插值余項):, baCfn bxxxan 10(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfRxf xLxxn,( , )a b2022-4-23 Lagrange插值法的插值余項插值法的插值余項 ，且，且 f 滿足條件滿足條件 ,設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在 , 截斷誤差截斷誤差(或插值余項或插值余項):, baCfn bxxxan 10(1)1( )( )( )(

19、 )( )(1)!nnnnfRxf xLxxn,( , )a b證明：由已知條件得到：證明：由已知條件得到：()0,0,1,nkR xkn于是有：于是有：011( )( )()()( )()( )nnnR xk x x xx xx xkxx其中其中 是與是與 x 有關(guān)的待定函數(shù)。有關(guān)的待定函數(shù)。( )k x2022-4-23任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察01( )( )( )( )()()()nntf tL tk x txtxtx根據(jù)插值條件及余項定義，可知根據(jù)插值條件及余項定義，可知( ) t在點在點01,nxxxx故故處均為零，處均為零，在在( ) t ,

20、 a b上有上有n+2個個零點，根據(jù)個個零點，根據(jù) Roll 定理定理 在在 的每兩個零點間至少有一個零點，故的每兩個零點間至少有一個零點，故在在 內(nèi)至少有內(nèi)至少有 n+1個零點，對個零點，對 再用再用Roll 定理，可定理，可知知 在在 內(nèi)至少有內(nèi)至少有 n 個零點，依此類推，個零點，依此類推， 在在 內(nèi)至少有一個零點，記為內(nèi)至少有一個零點，記為( ) t( ) t( ) t , a b( ) t( ) t , a b(1)( )nt , a b( , )a b使得使得:1110nnfnk x ()()( )( )()! ( )11nfk xa bn ()()(),( ,)()! 2022-

21、4-23由于由于 不能確定，因此不能確定誤差的大小不能確定，因此不能確定誤差的大小但如能求出但如能求出 ，那么用，那么用 逼近逼近 的截斷誤差限是：的截斷誤差限是：( )nL x( )f x11nnaxbm axfxM()()11()()(1)!nnnMRxxn 2022-4-23230120211( )( )( )( )()()(),66,R xfxfxxxxxxx x 當(dāng)當(dāng)n=2 時時,12010111( )( )( )( )()(),22R xfxfxxxxxx 當(dāng)當(dāng)n=1時，時，當(dāng)當(dāng) f (x) 為任一個次數(shù)為任一個次數(shù) n 的多項式時，的多項式時， , 可知，可知，即即n+1個節(jié)點的

22、插值多項式對于次數(shù)個節(jié)點的插值多項式對于次數(shù) n 的的多項式是精確的。多項式是精確的。0)()1( xfn0)( xRn注意注意2022-4-23 給定給定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪個是下面哪個是 l2(x) 的圖像？的圖像？問題問題2022-4-23算例算例1 1LagrangeLagrange插值法插值法已知已知 ， ，用線性插值及拋物線插值計算用線性插值及拋物線插值計算 的值并估計截斷誤差。的值并估計截斷誤差。sin0.320.314567sin0.340.333487sin0.360.352274sin0.33672022-4-23算例算

23、例1 1LagrangeLagrange插值法插值法已知已知 ， ，用線性插值及拋物線插值計算用線性插值及拋物線插值計算 的值并估計截斷誤差。的值并估計截斷誤差。sin0.320.314567sin0.340.333487sin0.360.352274sin0.33670120.320.340.36xxx0120.3145670.3334870.352274yyy線性插值時取線性插值時取 解解: :010.32,0.34xx1sin0.3367(0.3367)0.3367 0.320.3367 0.340.3145670.3334870.34 0.320.32 0.340.330365L202

24、2-4-23其截斷誤差為：其截斷誤差為：其中其中, , 因為因為可取可取于是：于是： 2101( )()() ,2MR xxxxx012max( )xx xMf ( )sin ,( )sinf xx fxx0121max sinsin0.3335xx xMxx 115sin0.3367(0.3367)10.3335 0.0167 0.00332(0.3367)0.92 10RL2022-4-23用拋物線插值時，取所有節(jié)點，得到用拋物線插值時，取所有節(jié)點，得到2sin0.3367(0.3367 0.34)(0.3367 0.36)(0.3367 0.32)(0.3367 0.36)0.31456

25、70.333487(0.32 0.34)(0.32 0.36)(0.34 0.32)(0.34 0.36)(0.3367 0.32)(0.3367 0.34)0.352274(0.36 0.32)(0.36 0.3(0.4)0.3133674567)L4440.7689 103.89 100.5511 100.3334870.3522740.00080.00040.0000.3303 487余項討論：余項討論：其中：其中：32012( )()()() ,6MRxxxxxxx0120max( )cos0.828xx xMfxx 226(0.3367)sin 0.3367(0.3367)10.82

26、80.01670.0330.023360.17810RL2022-4-23算例算例2 2LagrangeLagrange插值法插值法利用利用 100，121 的開方計算的開方計算 .由于由于: 解解: :115利用利用Lagrange插值法有插值法有 1110012110010121100121)(1xxxL于是于是, 71428.101110012110011510121100121115)115(1151 L115的精確值為的精確值為 10.72380529, 因此因此, 近似值近似值 10.71428 有有3 位有效數(shù)字位有效數(shù)字. ReturnReturn2022-4-23第二章 習(xí)題

27、P. 42 第2題 第2題改用L二次 插值計算.P.42 第3題（線性插值用x=0.5, 0.6兩點；二次插 值用x=0.5, 0.6, 0.7三點）,估計誤差P.42 第4題 第6題 第8題p.43 第19題 2022-4-23ln 0.54()0.6202186()4.0321030.040.062 0.50.54.8103()()()()( ),()()()()011011nkkkknkkkkkx xx xx xx xl xxxxxxxxxk = 0, 1 , , n .上次： Lagrange插值xx0 x1.xnyy0y1.yn設(shè) y = f (x) , 已知：0()nnkkkLxy

28、lx）Lagrange插值公式：插值余項插值余項:111()()()()()()()!nnnnfRxfxLxxn( , )a b 2022-4-23x2345y1.43.35.58.0f(x)=xlnx， 已知2次插值多項式求f(4.5)，用余項公式估計誤差2.3 差商與差商與Newton插值公式插值公式 Lagrange 插值雖然易算，但若要增加節(jié)點時，插值雖然易算，但若要增加節(jié)點時， 全部基函數(shù)全部基函數(shù) li (x) 都需重新計算。都需重新計算。2022-4-23x00 x11.5x23y0f x0()y1f x1()y2f x2()L2 x( )y0 xx1()xx2()x0 x1()

29、x0 x2()y1xx0()xx2()x1x0()x1x2()y2xx0()xx1()x2x0()x2x1()x0 0 x1 1.0 x2 2.0 x3 3.0y0 fx0( ) y1 fx1( ) y2 fx2( ) y3 fx3( )L3x () y0 x x1() x x2() x x3()x0 x1() x0 x2()x0 x3()y1x x0() x x2()x x3()x1x0() x1x2()x1x3()y2x x0() x x1()x x3()x2x0() x2x1()x2x3()y3x x0() x x1()x x2()x3x0() x3x1()x3x2()x0 0 x1 1

30、.0 x2 2.0 x3 3.0 y0f x0( ) y1f x1( ) y2f x2( ) y3f x3( )L3x( )y0 x x1() x x2() x x3()x0 x1() x0 x2()x0 x3()y1x x0() x x2()x x3()x1 x0() x1 x2()x1 x3()y2x x0() x x1()x x3()x2 x0() x2 x1()x2 x3()y3x x0() x x1()x x2()x3 x0() x3 x1()x3 x2()增加節(jié)點需要重新計算基函數(shù),給計算帶來不便看2次和3次L插值公式,在0,3求f(x)的插值函數(shù):尋求如下形式的插值多項式：尋求如

31、下形式的插值多項式：01020101( )()()()()()nnnP xaa xxa xxxxa xxxx 其中其中 為待定系數(shù)，由插值條件確定為待定系數(shù)，由插值條件確定.ia由線性代數(shù)知識可知：任一由線性代數(shù)知識可知：任一n次多項式都可以表示成次多項式都可以表示成n+1 個線性無關(guān)多項式的線性組合。個線性無關(guān)多項式的線性組合。那么，可以將這那么，可以將這 n+1 個多項式作為插值基函數(shù)個多項式作為插值基函數(shù).011()()()nx xx xx x1,0,x x01()(), ,x x x x而 ,線性無關(guān))()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP設(shè)插值多

32、項式設(shè)插值多項式P(x)具有如下形式：具有如下形式：(),0,1,iiP xfin)()(011011xxaafxP00fa 01011xxffa22012022021()()()()P xfaa xxaxxxx12010102022xxxxffxxffa 再繼續(xù)再繼續(xù), ,形式更復(fù)雜形式更復(fù)雜, ,為此引入為此引入差商和差分差商和差分的概念的概念. .P(x)應(yīng)滿足插值條件：應(yīng)滿足插值條件：000()P xfa有：有：2.3.1 差商（也稱均差）的及其性質(zhì)從零階差商出發(fā)，歸納地定義各階差商從零階差商出發(fā)，歸納地定義各階差商:稱稱 為函數(shù)為函數(shù) 關(guān)于點關(guān)于點 的的一階差商一階差商.( )f x

33、111 ,iiiiiif xf xf x xxx1,iix x 一般地，一般地， 關(guān)于關(guān)于 的的 k 階差商階差商:( )f x1,iii kx xx12111, , , , , ,iii kiii kiii ki kif xxxf x xxf x xxxx 記函數(shù)記函數(shù) 在在 的值的值 ，稱稱 為為 關(guān)于關(guān)于 的的零階差商零階差商。( )f xix ( )iif xf x if xix( )f x 一般，一般， 關(guān)于關(guān)于 的的 n 階差商階差商:( )f x01, ,nx xx12011010,nnnnf x xxf xxxf xxxxx n 階差商的概念2022-4-23012011011

34、,nnnnnnf x xxxf x xxf x xxxx或差商的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1：差商可表示為函數(shù)值的線性組合，即：差商可表示為函數(shù)值的線性組合，即：fx0,x1,xk=c0 f(x0)+c1 f(x1)+ck f(xk)()()(1110kjjjjjjjxxxxxxxxc其中,010011(),()()()()njnjjjjjjjnf xf xxxxxxxxxxx因此,差商差商f x0,x1,xn 與節(jié)點x0,x1,xn次序無關(guān). 從而有從而有:011010,nnnnf xxxf x xxf xxx性質(zhì)性質(zhì)2：差商與所含節(jié)點次序無關(guān)差商與所含節(jié)點次序無關(guān)性質(zhì)性質(zhì)3：ijkjjkiixx

35、xxxxfxxxxf,110110性質(zhì)性質(zhì)4：設(shè)設(shè)f(x)在在a,b 存在存在 n 階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且 ，則，則 使得使得:( )01( ),!nnff xxxn( , )a b 01, , nx xxa b例例. f(x)=3x4-5x3+4x-8, 則 f0,1,2,3,4f1,2,3,4,5,6=f(4)/4! =3,= f(5)/5! =0差商的計算一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商四階差商四階差商ix0 x1x2x3x4x23,f x x34,f x x012,f x x x123 ,f x x x234,f x x x0123,f x x x x1234 ,f x

36、x x x01234 , , ,f x x x x x2022-4-23差差 商商 表表4()f x()if x1()f x2()f x3()f x0()f x01,f x x12 ,f x x已知已知ix()if x計算三階差商計算三階差商1 , 2 , 4 , 7 f解：列表計算解：列表計算 ix()ifx算例算例 1 , 2 , 4 , 7 1 / 2f2022-4-23 2.3.2 牛頓插值公式根據(jù)差商的定義，把根據(jù)差商的定義，把 x 看成看成 a, ,b 上的一點，上的一點，可得：可得：000( )() ,()f xf xf x xxx001011 , ,()f x xf x xf

37、x x xxx010101 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxxx2022-4-23 牛頓插值公式000( )() ,()f xf xf x xxx001011 , ,()f x xf x xf x x xxx 010101 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxxx0010( )(),()f xf xf x xxx01201,()()f x x xxxxx0101,()()nnf x xxxxxx011 ,( )( )( )nnnnf x x xxxNxR x 把后一式把后一式代入前一式代入前一式根據(jù)差商的定義，把根據(jù)差商的定義，把 x 看成看成a,b上的

38、一點，上的一點，010120122 , ,()f x xxf xx xf x xx xxx 顯然顯然Nn(x)滿足插值條件，且次數(shù)不超過滿足插值條件，且次數(shù)不超過n, ,它就它就是插值多項式，第是插值多項式，第i 次項系數(shù)為：次項系數(shù)為： 0010( )(),()nNxf xf xxxx01201,()()f x x xxxxx0101,()()nnf x xxxxxx01101( )()()(1( )( )( ) ,( )!nnnnnnR xf xNxf x x xxxfxxxxn 01,iiaf x xx0,1,in其中其中0011(),( )nkkkf xf xxxx( )nNx我們稱我

39、們稱 為牛頓插值多項式為牛頓插值多項式.( )f x 已知已知 的函數(shù)表，求的函數(shù)表，求4 次牛頓插值多項式次牛頓插值多項式, , 并求并求算例算例(0.596).f2022-4-23從表中可以看到從表中可以看到4 階差商階差商幾乎為幾乎為0 0，故取，故取4 4次插值多項式即可，次插值多項式即可，于是：于是：0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330

40、.524930.228630.03126-0.00012解：列表計算解：列表計算 4( )(0.4)(0.4)(0.55)(0.4)(0.55)(0.60.41075 1.1665)(0.4)(0.55)(0.65)(0.8)0.280.197330.03134N xxxxxxxxxxx 已知已知f (x)的函數(shù)表，求的函數(shù)表，求4 次牛頓插值次牛頓插值 多項式多項式, ,并求并求f (0.596).算例算例: :4(0.596)(0.596)0.63192fN0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.

41、275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012解：列表計算解：列表計算 已知已知 的函數(shù)表，求的函數(shù)表，求4 次牛頓插值多項式次牛頓插值多項式, , 并求并求算算例例(0.596).f( )f x截斷誤差為：截斷誤差為：44905( ) ,3.63 16)0(0.59R xf x xx4( )(0.4)(0.4)(0.55)(0.4)(0.55)(0.60.41075 1.1665)(0.4)(0.55)(0.65)(0.8)0.2

42、80.197330.03134N xxxxxxxxxxx4(0.596)(0.596)0.63192fN2.4 差分與等距節(jié)點插值公式 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在等距節(jié)點上的值在等距節(jié)點上的值 fi= f (xi)為已知，為已知，這里這里h為常數(shù)，稱為步長。為常數(shù)，稱為步長。0(0,1, )ixxih in 下面來討論差分的定義。下面來討論差分的定義。2022-4-23 在前面的討論中，節(jié)點是任意分布的，但實際上在前面的討論中，節(jié)點是任意分布的，但實際上經(jīng)常遇到等距節(jié)點的情況，這時插值公式可以得到簡經(jīng)常遇到等距節(jié)點的情況，這時插值公式可以得到簡化化，為此，我們先介紹差分的概念。，為此，我們先介

43、紹差分的概念。差分的定義1iiifff1iiifff1122()()22iiiiihhff xf xff 符號符號 、 、 分別稱為向前差分算子、向后差分算子、分別稱為向前差分算子、向后差分算子、中心差分算子中心差分算子.2022-4-23記號記號稱為稱為f (x)在在xi 處以處以h 為步長的為步長的向前差分、向后差分、中心差分向前差分、向后差分、中心差分一般地可定義一般地可定義 m 階差分：階差分：21212iiiiiiffffff 111 ,mmmiiifff 111mmmiiifff 121 ,iiifff 121 ,iiifff 11222iiifff 用一階差分可以定義二階差分用一

44、階差分可以定義二階差分高階差分中心差分定義為中心差分定義為:以此類推以此類推.不變算子 I、移位算子 E1 , kkkkIffEff定義：1()kkkkkkfffEfIfEI f可得，, EI 因而1IE 因而，1122EE因而，111()kkkkkkfffIfEfIEf同理，111122221122()kkkkkkfffE fEfEEf又有，由差分的定義及不變算子和移位算子有如下性質(zhì)由差分的定義及不變算子和移位算子有如下性質(zhì):差分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1：各階差分均可用函數(shù)值表示，如：各階差分均可用函數(shù)值表示，如：00()( 1)( 1) nnnnjjnjjjkknknk njjjfEIfC E

45、fC f2022-4-2300()nnnnjjjjn kkknknkjjfE fIfCfCf性質(zhì)性質(zhì)2：某點的函數(shù)可用各階差分來表示：某點的函數(shù)可用各階差分來表示：性質(zhì)性質(zhì)3 3：差商與差分有如下關(guān)系：差商與差分有如下關(guān)系：111,(1,2, )!mkkk mkmf xxxfmnm h111,(1,2, )!mkkk mkmf xxxfmnm h( )( ),(,)nnnkkk nfh fxx2022-4-23性質(zhì)性質(zhì)4 4：差分與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：差分與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：差分的計算kf( ) 22() 33() 44() 0f1f2f3f4f23()ff34()ff01()ff12()ff222

46、4()ff2202()ff2213()ff3314()ff3303()ff4404()ffReturnReturn2022-4-23等距節(jié)點的Newton公式0011( )(),( )nnkkkNxf xf x xxx等距節(jié)點前插公式000200000,0,1,., .,01,(1)()2!(1)(1)!innNewtonxxkh knxxf xxxthtt tNxthft fft ttnfnNewton 將公式中各階差商用相應(yīng)差分代替，就可得到各種形式的等距插值公式，這里僅給出前插與后插公式。如果節(jié)點要計算 附近點的函數(shù)（ )的值，可令則得稱為前插公式。等距節(jié)點后插公式102,., 10,(

47、1)()2!(1)(1)!nnnnnnnnnnnxxxxxxthtt tNxthft fft ttnfnNewton 如果要計算點 附近的函數(shù)值f(x),此時插值點應(yīng)按的次序排列，這時作變換則得稱為后插公式。2022-4-23 和和 均是均是 n 次多項式次多項式, ,且均滿足插值條件且均滿足插值條件: : 由多項式的唯一性由多項式的唯一性, , ,因而因而, ,兩個公式兩個公式的余項是相等的的余項是相等的, ,即即 當(dāng)插值多項式從當(dāng)插值多項式從 n-1 次增加到次增加到 n 次時次時, ,拉格朗日型插值必須重新計算所有的基本插值多項式拉格朗日型插值必須重新計算所有的基本插值多項式; ;而對于

48、牛頓型插值而對于牛頓型插值, ,只需用表格再計算一個只需用表格再計算一個 n 階差商階差商, , 然后加上一項即可。然后加上一項即可。牛頓插值公式和Lagrange插值公式比較( )nL x( )nNx ()()(), 0,1,niniiL xNxf xin ( )( )nnLxNx(1)01( ) ,( )( )(1)!nnnnff x x xxxxn ReturnReturn2022-4-23例.已知f(x)=sinx在0.5,0.6,0.7,0.8的值,分別用 二次, 三次Newton插值求sin0.57891.解: 節(jié)點等距, 先求差分表差分表令 x= x0+ t h =0.57891

49、, 則 t=0.7891 22000(1)sin 0.57891(0.57891)2!t tNftff 0.4794260.7891 0.085216( 0.083211) ( 0.005640) =0.547139實際誤差: sin0.57891- 0.547139 = -2.713E-51)二次插值 取x0=0.5, x1=0.6, x2=0.7 h=0.1 2)三次插值 取 x0=0.5, x1=0.6, x2=0.7, x3=0.8, h=0.1, t = 0.7891 3320sin0.57891(0.57891)(1)(2)(0.57891)3!Nt ttNf0.5471390.0

50、33587 ( 0.000798)0.547112 實際誤差: sin0.57891-0.547112=1.3287E-7 2.5 埃爾米特 (Hermite) 插值拉格朗日和牛頓均只保證函數(shù)插值；拉格朗日和牛頓均只保證函數(shù)插值；實際問題有時需要導(dǎo)數(shù)也插值；實際問題有時需要導(dǎo)數(shù)也插值；滿足這種需要的插值稱為埃爾米特插值滿足這種需要的插值稱為埃爾米特插值. .2022-4-23埃爾米特插值的一般提法為：埃爾米特插值的一般提法為： 設(shè)函數(shù)在節(jié)點設(shè)函數(shù)在節(jié)點 的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值為：的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值為：其中其中 是正整數(shù)，是正整數(shù)，尋求一個次數(shù)盡可能低的多尋求一個次數(shù)盡可能低的多項式項式 ，滿足：，滿足：埃爾米特插值的一般提法01,nxxx( ),iif xf( ),iifxf,(1)(1)( ),iimmiifxf0,1,in01,nm mm( )H x( )( )( ),kkiiHxf0,1,in0,1,1;ikm2022-4-23