第五章馬爾科夫預(yù)測(cè)法

1、第5章 馬爾科夫預(yù)測(cè)法 第一節(jié)第一節(jié) 馬爾科夫預(yù)測(cè)法的基本原理馬爾科夫預(yù)測(cè)法的基本原理一、馬爾科夫預(yù)測(cè)法概述 馬爾科夫（A.A.Markov）俄國(guó)的數(shù)學(xué)家。 1874年，馬爾科夫考入了神往已久的彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，1878年，馬爾科夫以優(yōu)異成績(jī)畢業(yè)并留校任教，畢業(yè)論文以連分?jǐn)?shù)解微分方程獲得當(dāng)年系里的金質(zhì)獎(jiǎng)。兩年后他完成了關(guān)于雙正定二次型的碩士論文，并正式給學(xué)生開(kāi)課。又過(guò)了兩年，他開(kāi)始考慮博士論文，后以關(guān)于連分?jǐn)?shù)的某些應(yīng)用于1884年通過(guò)正式答辯。o 20世紀(jì)初，馬爾科夫發(fā)現(xiàn)自然界中有一類事物的變化過(guò)程僅與事物的近期狀態(tài)有關(guān)，而與事物的過(guò)程狀態(tài)無(wú)關(guān)。比如，研究一個(gè)商店的累積銷售額，如果現(xiàn)在時(shí)刻的累

2、積銷售額已知，則未來(lái)某一時(shí)刻的累積銷售額與現(xiàn)在時(shí)刻以前的任一時(shí)刻的累積銷售額都無(wú)關(guān)。o 事物的這類特性稱為無(wú)后效性。具有這種特性的隨機(jī)過(guò)程稱為馬爾科夫過(guò)程。o 狀態(tài)轉(zhuǎn)移：狀態(tài)轉(zhuǎn)移：是指事物從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另外一種狀態(tài)的可能性。記為Pij，表示事物從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。o 馬爾科夫預(yù)測(cè)的基本模型：馬爾科夫預(yù)測(cè)的基本模型： Xk+1=XkP Xk:表示趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)對(duì)象在表示趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)對(duì)象在t=k時(shí)刻的時(shí)刻的狀態(tài)向量；狀態(tài)向量；P表示表示一步一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；轉(zhuǎn)移概率矩陣；Xk+1表示趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)對(duì)象在表示趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)對(duì)象在t=k+1時(shí)刻的時(shí)刻的狀態(tài)向量狀態(tài)向量.馬爾科夫過(guò)程：馬爾科

3、夫過(guò)程：以時(shí)間t作參變量的隨機(jī)函數(shù)稱為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程中，有一類具有“無(wú)后效性性質(zhì)”，即當(dāng)隨機(jī)過(guò)程在某一時(shí)刻t0所處的狀態(tài)已知的條件下，過(guò)程在時(shí)刻t t0時(shí)所處的狀態(tài)只和t0時(shí)刻有關(guān)，而與t0以前的狀態(tài)無(wú)關(guān)，則稱這種隨機(jī)過(guò)程為馬爾科夫過(guò)程。馬爾科夫鏈：馬爾科夫鏈：時(shí)間和狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過(guò)程稱為馬爾科夫鏈。例如：蛙跳問(wèn)題：假定池中有N張荷葉，編號(hào)為1,2,3，.N，即蛙跳可能有N個(gè)狀態(tài)（狀態(tài)確知且離散）。青蛙所屬荷葉為它目前所處狀態(tài)；因此它未來(lái)的狀態(tài)，只與現(xiàn)在所處狀態(tài)有關(guān)，而與以前的狀態(tài)無(wú)關(guān)。數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義：數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義：”時(shí)間序列的“無(wú)后效性以上的公式說(shuō)明的隨機(jī)是馬爾科夫鏈。則稱，若：刻

4、的狀態(tài)。表示現(xiàn)在時(shí)刻以前各時(shí)表示未來(lái)時(shí)刻狀態(tài)，表示現(xiàn)在時(shí)刻狀態(tài)，），都是正整數(shù)且或者無(wú)窮可列集合。為有限集合空間是一個(gè)隨機(jī)序列，狀態(tài)設(shè)1,2,.n;/,./,.)2 , 1 , 0(iE1-n,.2 , 1 , 0(,E,.3 , 2 , 1;n0011 -nkijnmnnnmnknPijpiiijpkjikijinmno 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 設(shè)系統(tǒng)有N個(gè)狀態(tài)，描述各種狀態(tài)下向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率矩陣： p11 p12 p1n p21 p22 p2n ： pn1 pn2 pnn 該N階方陣描述了t時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)i到t+1時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)的變化規(guī)律性。它具有兩個(gè)性質(zhì)

5、：（1）pij=0 (2) pij=1穩(wěn)定性假設(shè)：穩(wěn)定性假設(shè)： 若系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不隨時(shí)間變化，即轉(zhuǎn)移矩陣在各個(gè)時(shí)刻都相同，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這個(gè)假設(shè)稱為穩(wěn)定性假設(shè)。后面的問(wèn)題均假定滿足穩(wěn)定條件。k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：經(jīng)過(guò)K步轉(zhuǎn)移有狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率記為：P（Xi+k=j/Xt=i）=Pij(k) I,j=1,2,3,4.N定義：k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：PK=P11(k)， P12(k)，. P1N(k)：Pn1(k) , Pn2(k), PNN(k)當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時(shí)： PK=Pk=PP.P 其中P為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 即當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)的時(shí)候，k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)

6、移矩陣的k次方。t時(shí)刻的絕對(duì)分布：設(shè)馬爾科夫鏈在初始時(shí)刻和t時(shí)刻的概率分布為：則馬爾科夫鏈在t時(shí)刻的絕對(duì)分布等于初始分布與t步轉(zhuǎn)移概率矩陣的乘積。)().,().,(0030201321tPppppppppntnttt固定概率向量：固定概率向量： 設(shè)P為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。如果存在概率向量u使得U*P=U，則稱u為P的固定概率向量。正規(guī)概率矩陣：正規(guī)概率矩陣：若一個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣P，存在某一個(gè)正整數(shù)m，使Pm的所有元素均為正數(shù)（Pij），則該矩陣均為正規(guī)概率矩陣。o 若若P為為n階的正規(guī)概率矩陣，則有階的正規(guī)概率矩陣，則有o （1）P有且只有一個(gè)固定概率向量U，且U的所有元素均為正數(shù)。o

7、（2）P的各次方組成的序列P1，P2，P3.趨于方陣T，且T的每一個(gè)行向量都是固定概率U。這個(gè)方陣U稱為穩(wěn)態(tài)概率矩陣。o 這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明無(wú)論系統(tǒng)出于何種狀態(tài)，在經(jīng)過(guò)足夠多的狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，均達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)。（3）任一概率向量與穩(wěn)態(tài)概率矩陣的乘積為固定概率向量。第二節(jié)第二節(jié) 馬爾科夫法在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用馬爾科夫法在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用一、馬爾科夫預(yù)測(cè)法的假設(shè)一、馬爾科夫預(yù)測(cè)法的假設(shè)（1）轉(zhuǎn)移矩陣必須逐期保持不變，即不隨時(shí)間的變化而變化。（2）預(yù)測(cè)期間狀態(tài)的個(gè)數(shù)必須保持不變。（3）狀態(tài)的轉(zhuǎn)移僅受前一期的影響。二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例例例1、為了了解顧客對(duì)A、B、C三種不同品牌洗衣粉的購(gòu)買傾向，市場(chǎng)調(diào)查小組進(jìn)

8、行了購(gòu)買傾向的調(diào)查。在本月購(gòu)買A、B、C品牌的顧客中分別調(diào)查了100人，150人和120人，了解他們下月購(gòu)買傾向，調(diào)查結(jié)果用矩陣表示：40 30 3060 30 60 60 30 30 要求：（1）寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣（2）求購(gòu)買C品牌的顧客在未來(lái)第二個(gè)月購(gòu)買A品牌和B品牌的概率。例例2、已知A產(chǎn)品在2004-2008年60個(gè)月的銷售情況數(shù)據(jù)，試計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣。第一步：首先確定銷售狀態(tài)的個(gè)數(shù)。差；一般；中等；很好。o 第二步：確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。作業(yè)：作業(yè)：已知某種商品的銷售狀態(tài)劃分為暢銷和滯銷，分別用1和2表示，要求：計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。市場(chǎng)占有率有關(guān)的例題例例3：現(xiàn)已知某地區(qū)經(jīng)銷甲、乙、

9、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的味精。經(jīng)過(guò)調(diào)查8月份該地區(qū)共有1600戶，其中購(gòu)買甲、乙、丙味精的戶數(shù)分別為480，320，800。9月份發(fā)生一些變化，購(gòu)甲味精的戶數(shù)有48戶轉(zhuǎn)買乙味精，有96戶轉(zhuǎn)買丙味精；8月份購(gòu)買乙味精的顧客有32戶轉(zhuǎn)買甲味精，有64戶轉(zhuǎn)買丙味精；8月份購(gòu)買丙味精的顧客有64戶轉(zhuǎn)買甲味精，有32戶轉(zhuǎn)買乙味精。要求：預(yù)測(cè)9月份、10月份的市場(chǎng)占有率。例例4: 假定市場(chǎng)上主要的手機(jī)品牌有諾基亞、摩托羅拉、三星及其他品牌，分別有四類不同的銷售商進(jìn)行銷售。同時(shí)假定這些品牌目前的市場(chǎng)占有率分別為35%，25%，20%，20%。2009年上半年某課題組的問(wèn)卷調(diào)查表明，2010年使用諾基亞手機(jī)的學(xué)生中，

10、有65%的人將繼續(xù)使用諾基亞手機(jī)，10%的人將改用摩托羅拉手機(jī)，20%的人將使用三星手機(jī)，5%的人將改用其他品牌手機(jī)；使用摩托羅拉手機(jī)的學(xué)生中，有50%的人將繼續(xù)使用摩托羅拉手機(jī)，25%的人將改用諾基亞手機(jī)，15%的人將改用三星手機(jī)，10%的人將改用其他品牌手機(jī)；使用三星手機(jī)的學(xué)生中，有70%的人將繼續(xù)使用三星手機(jī)，15%的人改用諾基亞手機(jī)，10%o 的人將改用摩托羅拉手機(jī)，5%的人將改用其他品牌的手機(jī)。使用其他品牌手機(jī)的學(xué)生中，有50%的人將繼續(xù)使用其他品牌手機(jī)，20%的人將改用諾基亞手機(jī)，15%的人將改用摩托羅拉手機(jī)，15%的人將改用三星手機(jī)。預(yù)測(cè)2010年、2011年這些品牌的市場(chǎng)占有率

11、、長(zhǎng)期市場(chǎng)占有率，并分析為提高占有率企業(yè)可能采取的策略。第一步：確定一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Po 第二步：確定初始市場(chǎng)占有率。o S(0)=0.35 0.25 0.20 0.20o 2010年市場(chǎng)占有率： S(1)= S(0)*Po 2011年市場(chǎng)占有率：S(2)= S(1)*P注意：矩陣相乘：MMULT回車鍵：ctrl+shift+enter長(zhǎng)期市場(chǎng)占有率的計(jì)算：長(zhǎng)期市場(chǎng)占有率是穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率，可設(shè)采用解方程的辦法。設(shè)長(zhǎng)期的市場(chǎng)占有率為：s=（x,y,z,w)其中X+Y+Z+W=1o 則：S*P=S，解四個(gè)方程。o 營(yíng)銷策略的分析（略）o 作業(yè)：北京地區(qū)銷售的鮮奶是由3個(gè)廠家提供的。該地區(qū)客戶總數(shù)

12、為100萬(wàn)戶，假定廠家從每個(gè)客戶哪里平均每年獲利50元。廠家2的市場(chǎng)調(diào)查顯示，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.4 0.3 0.30.6 0.3 0.10.6 0.3 0.1o 均衡狀態(tài)下的市場(chǎng)占有率分別為50%，25%和25%，廠家2認(rèn)為應(yīng)該采取積極的營(yíng)銷策略，提高自己的市場(chǎng)占有率，為此設(shè)計(jì)了兩套方案。o 方案一：旨在吸引老客戶，該方案實(shí)施需要花費(fèi)約450萬(wàn)元，實(shí)施方案后，估計(jì)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為要求：試選擇最佳方案。o 0.4 0.3 0.3o 0.3 0.7 0o 0.6 0.1 0.3方案2：希望吸引廠家1和廠家2的顧客，方案的實(shí)施需要花費(fèi)大約400萬(wàn)元，實(shí)施該方案后，估計(jì)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.3

13、0.5 0.20.6 0.3 0.10.4 0.5 0.1人力資源管理預(yù)測(cè)1、某高校為了編制師資發(fā)展規(guī)劃，需要預(yù)測(cè)未來(lái)教師隊(duì)伍的結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在對(duì)教師狀況進(jìn)行如下分類：青年、中年、老年和流退（流失和退休）。根據(jù)歷史資料，各類教師（按一年為一期）的轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 0.8 0.15 0 0.05 0 0.75 0.2 0.05 0 0 0.8 0.2 0 0 0 1目前青年教師400人，中年教師360人，老年教師為300人。試分析3年后教師的結(jié)構(gòu)以及為保持編制不變，3年內(nèi)應(yīng)進(jìn)多少碩士和博士畢業(yè)生充實(shí)教師隊(duì)伍。o 解：設(shè)目前的教師結(jié)構(gòu)為（400,360,300,0）o 一年后的教師結(jié)構(gòu)o （400,36

14、0,300,0）*P=320 330 312 98o 這種結(jié)構(gòu)說(shuō)明一年后流退人員為98人，所以為保持編制不變應(yīng)該進(jìn)98人。則人員結(jié)構(gòu)變?yōu)椋簅 （320+98，330,312 0）=（418,330,312,0）o 兩年后的教師結(jié)構(gòu)變?yōu)椋簅 334 310 316 100o 這種結(jié)構(gòu)說(shuō)明再一年后流退人員為100人，所以為保持編制不變應(yīng)該進(jìn)100人。則人員結(jié)構(gòu)變?yōu)椋簅 434 310 316 0o 3年后的教師結(jié)構(gòu)變?yōu)閛 347 298 315 100o 這種結(jié)構(gòu)說(shuō)明第三年后流退人員為100人，所以為保持編制不變應(yīng)該進(jìn)100人。o 因此3年內(nèi)共進(jìn)298名博士和碩士畢業(yè)生充實(shí)隊(duì)伍。期望利潤(rùn)預(yù)測(cè)1、利

15、潤(rùn)矩陣設(shè)市場(chǎng)狀態(tài)空間為s=1,2,3，n,轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=pij,當(dāng)市場(chǎng)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j時(shí)，廠家的利潤(rùn)為Qij,則稱由Qij構(gòu)成的的n階方陣為利潤(rùn)矩陣 Q11 Q12Q1nQ21 Q22Q2n.Qn1 Qn2Qnn2、期望利潤(rùn)公式設(shè)Vi（k）為從狀態(tài)i開(kāi)始，經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)所獲得的期望利潤(rùn)，i=1,2,n。記Vi（K）=（V1（k），V2（k）， Vn（k） ）T,并規(guī)定V（0）=0由數(shù)學(xué)期望的定義知，當(dāng)k=1時(shí)，Vi（1）= Qi1pi1+ Qi2pi2+ Qinpin當(dāng)K1時(shí)， Vi（k）等于由狀態(tài)i開(kāi)始，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)所獲得的期望利潤(rùn)Vi（1）再加上經(jīng)一步轉(zhuǎn)移后所到達(dá)的各狀

16、態(tài)j再經(jīng)k-1步轉(zhuǎn)移到達(dá)各狀態(tài)所獲得的期望利潤(rùn)Vj（k-1）的數(shù)學(xué)期望：即Vi（k）= V1（k）+ Vj（k-1）pij寫成矩陣的形式：o V1（k）o V2（k）o =o Vn（k）V1（1）V2（1）.Vn（1）P11 p12 . p1nP21 p22 .p2nPn1 Pn2 PnnV1（k-1）V2（k-1）Vn（k-1）設(shè)一生產(chǎn)廠家的產(chǎn)品每月市場(chǎng)狀態(tài)有暢銷和滯銷兩種，用1表示暢銷，用2表示滯銷，假設(shè)從暢銷到暢銷可獲利30萬(wàn)元；從暢銷轉(zhuǎn)為滯銷可獲利10萬(wàn)元，從滯銷轉(zhuǎn)向暢銷可獲利20萬(wàn)元，從滯銷到滯銷將虧損10萬(wàn)元?，F(xiàn)有30個(gè)月的市場(chǎng)銷售記錄如下表所示要求：（1）求銷售市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩

17、陣。 （2）分別預(yù)測(cè)下個(gè)月和未來(lái)3個(gè)月的期望利潤(rùn)解：n11=6 n12=8 n21=8 n22=7 因此銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：688 70.43 0.570.53 0.47由已知條件知利潤(rùn)矩陣為：30 10 20 -10由于本月是暢銷狀態(tài)，所以下個(gè)月的期望利潤(rùn)為V1（1）=0.43*30+0.57*10=18.6又因?yàn)閂2（1）=20*0.53-10*0.47=5.9(萬(wàn)元）o 所以V（1）= 18.6o 5.9由遞推公式得：V（2）= V（1）+P* V（2-1）=18.65.90.43 0.570.53 0.4718.65.929.9618.53V（3）= V（1）+P*

18、V（3-1）=18.65.90.43 0.570.53 0.4729.9618.5318.65.924.1224.8342.7230.73由于本月是暢銷，由計(jì)算結(jié)果可以看出，下個(gè)月的期望利潤(rùn)為18.6，未來(lái)3個(gè)月的期望利潤(rùn)為42.72萬(wàn)元。有關(guān)決策的案例例：某汽車維修公司在北京市有甲乙丙3個(gè)維修廠。由于公司注重對(duì)員工的技術(shù)培訓(xùn)，樹(shù)立顧客至上、信譽(yù)第一的理念，采用先進(jìn)的管理模式，所以本公司在本行業(yè)中具有良好的形象，形成了一定規(guī)模的、穩(wěn)定的客戶群。對(duì)客戶的調(diào)查顯示，客戶在甲乙丙3個(gè)維修廠之間轉(zhuǎn)移的概率矩陣為 0.8 0.2 0 0.2 0 0.8 0.2 0.2 0.6o 由于資金原因，公司目前只打算對(duì)其中的一個(gè)維修廠進(jìn)行改造，并擴(kuò)大規(guī)模，試分析應(yīng)該選擇那個(gè)維修廠？o 解穩(wěn)定方程得：o 穩(wěn)定后的市場(chǎng)占有率為：o 1/2，1/6,1/3由此可以看出，長(zhǎng)期趨勢(shì)表明，當(dāng)公司的客戶在3個(gè)維修廠之間轉(zhuǎn)移達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí)，大約有50%的客戶在甲維修廠，大約16.67%的客戶在乙維修廠，大約33.33%的客戶在丙維修廠。因此應(yīng)該選擇甲維修廠進(jìn)行投資。例2：設(shè)有三個(gè)自行車工廠A，B，C，生產(chǎn)同一型號(hào)的自行車。已知市場(chǎng)變化依下列轉(zhuǎn)移矩陣而發(fā)生，試對(duì)A廠的經(jīng)營(yíng)進(jìn)行決策。0