概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--第三章

1、第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量第二節(jié) 邊緣分布第三節(jié) 條件分布第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量定義.),(,維隨機(jī)變量稱(chēng)為二維隨機(jī)向量或二則上的兩個(gè)隨機(jī)變量是定義在樣本空間設(shè)YXYX函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù), yx( , ),F x yP Xx Yy或稱(chēng)為隨機(jī)的分布函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量,),(YX.的聯(lián)合分布函數(shù)和變量YX的看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)若將二維隨機(jī)變量),(),(YXYX落在以點(diǎn)就表示隨機(jī)點(diǎn)則分布函數(shù)的坐標(biāo)),(),(,YXyxF.),(矩形域內(nèi)的概率為頂點(diǎn)的左下方的無(wú)限yx(x,y)yxo落入任一矩形點(diǎn)這時(shí)

2、),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性質(zhì)求得 如下圖1212,P xXxyYy22122111(,)(,)(,)(,).F xyF x yF xyF x y分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)： ）（ 10( , )1F x y且, y對(duì)任意固定的(, )0Fy，對(duì)任意固定的x( ,)0F x (,)0F (,)1F 的不減函數(shù)或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x yF x yF x y）（3）對(duì)任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xy

3、F x yF xyF x y有只有有限對(duì)可能取的值如果二維隨機(jī)變量),(),(iiyxYX.),(,是二維離散型隨機(jī)變量則稱(chēng)或可列無(wú)限對(duì)YX記, ,1 , 2,ijijP Xx Yypi j滿足下列條件：其中ijp0ijp ）（ 1）（2111ijijp(, )X Y并稱(chēng)為二維離散型隨機(jī)變量的分布律聯(lián)合分布律.XY或稱(chēng)為隨機(jī)變量 和 的下表表示：它們的聯(lián)合分布律可用和離散型隨機(jī)變量,YX它們的聯(lián)合分布函數(shù)則由下面式子求出： ( , )iji jxx yyF x yp .121111ipppy.222122ipppy.21ixxx.21ijjjjpppy.yx例1 一箱子裝有5件產(chǎn)品，其中2件正

4、品，3件次品每次從中取1件產(chǎn)品檢驗(yàn)質(zhì)量，不放回地抽取，連續(xù)兩次如下：和定義隨機(jī)變量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品.),(的分布律試求YX解得：按概率的乘法公式計(jì)算及對(duì)：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示為),(YX如果存在的分布函數(shù)是設(shè)二維隨機(jī)變量),(),(YXFYX有使得對(duì)于任意的非負(fù)的函數(shù)yxyxf,),( , )( , )d d

5、yxF x yf u vu v (, )X Y則稱(chēng)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量XY或稱(chēng)為隨機(jī)變量 和 的聯(lián)合概率密度( , )(, )f x yX Y函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量的概率密度具有以下性質(zhì)：概率密度),(yxf( , )0f x y ）（ 1( , )d d1f x yx y ）（2）（3內(nèi)的概率為）落在（上的區(qū)域是平面設(shè)GYXxoyG,(, )( , )d dGPX YGf x yx y）（4連續(xù)，則有在點(diǎn)若),(),(yxyxf2( , )F x yx y ( , )f x y例2由概率的性質(zhì) ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x yG

6、A其它以上式為概率密度，如果一個(gè)二維隨機(jī)變量),(YX.),(上的均勻分布服從區(qū)域則稱(chēng)GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它設(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A二維隨機(jī)變量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一個(gè)點(diǎn)都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度為3例具有概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX( , )f x y(2)2e,0 ,00,x yxy其他1( , )2F x yP XY試求:( )分布函數(shù)( )解）（ 1( , )( , )d dyxF x yf x yx y (2)002ed d ,0,00,yxx yx y xy 其他.2(1 e)(1 e),0,0

7、( , )0,xyxyF x y其他.即有）（2XOYG把把位位于于平平面面的的直直線線y y= =x x上上方方的的區(qū)區(qū)域域記記為為于是( , )( , )d dGP XYPx yGf x yx y(2)022ed d3x yxy x 定義個(gè)隨機(jī)變量上的是定義在樣本空間設(shè)nXXXn,21則12(,)nXXXnn稱(chēng)為 維隨機(jī)向量或 維隨機(jī)變量個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)于任意n12,nx xx函數(shù),12( ,)nF x xx1122,nnP Xx XxXx維隨機(jī)變量稱(chēng)為n12(,)nXXX的分布函數(shù)或.,21的聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)變量nXXX第二節(jié) 邊緣分布(, ),X YXY對(duì)于二維隨機(jī)變量隨機(jī)變量 和 各自的(,

8、 )X YXY分布函數(shù)稱(chēng)為關(guān)于 和 的邊緣分布函數(shù)( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( ,)lim( , )yF xF x y 其中同理( )( , )YFyFy( , )lim( , )xFyF x y其中( ),( )(, )XYFx FyX Y故邊緣分布函數(shù)可由的分布函數(shù)所確定( ),( )XYFx Fy記為(, )( , )X YF x y若二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知，則則有的分布率為設(shè)離散型隨機(jī)變量,),(ijpYX的分布律為X1,ii jiijP XxpP Xxp記為1,2,i 的分布律為Y1ji jjjiP YypP Yyp，記為1,2,j 分別稱(chēng)ip(1,2,)

9、i jp(1,2,)j 為(, )X Y和關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布律。Y(, )( , ),X Yf x y對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)的概率密度為于是( )( ,)( , )d dxXFxF xf x yy x 其概率密度是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量則,X( )( , )dXfxf x yy其概率密度量也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變,Y( )( , )dYfyf x yx( )(, )XfxX YX稱(chēng)為關(guān)于 的邊緣概率分布( )(, )YfxX YY稱(chēng)為關(guān)于 的邊緣概率分布1例把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)郵筒內(nèi),設(shè) .),(,2 , 1,的分布律及邊緣分布律求個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目分別表示投入第YXYX解)2 , 2()

10、,1 , 2(),2 , 1 (),(. 2 , 1 , 0,取由題設(shè)，各自的取值為YXYX均不可能，因而相應(yīng)的概率均為02110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由對(duì)稱(chēng)性求得再由古典概率計(jì)算得 ：所有計(jì)算結(jié)果列表如下 ：(, )XYX Y和 的邊緣分布律可由的分布律確定( X,Y )關(guān)于Y的邊緣分布律( X,Y )關(guān)于X的邊緣分布律919494910091294092921949192910210ijijppXY例例2 2在區(qū)域設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX, 10| ),(2xyxxyxG( )( )XYfx

11、fy上服從均勻分布，求邊緣概率密度，解(, )X Y不難得到的概率密度他，, 0, 10, 6),(2其xyxxyxf則226d6(),01,( )( , )d0,.xxXyxxxfxf x yy其他6d6(),01( )( , )d0,.yyYxyyyfyf x yx其他(, ),X YG雖然的聯(lián)合分布是在 上服從均勻分布但是它們的邊緣分布卻不是均勻分布。第三節(jié) 條件分布其分布律為：是二維離散型隨機(jī)變量設(shè),),(YX,1,2,.iji jP Xx Yypi j的邊緣分布律分別為：和關(guān)于關(guān)于YXYX),(1,1,2,iii jjP Xxppi1,1,2,.jji jiP Yyppj設(shè)0jp由條

12、件概率公式可得,|,1,2,i jijijjjpP Xx YyP Xx YyiP Yyp的條件分布律條件下隨機(jī)變量上式稱(chēng)為在XyYj若同樣,地0ip|iiP YyXx,ijiP Xx YyP Xxijipp1,2,j 的條件分布律條件下隨機(jī)變量上式稱(chēng)為在XxXj不難驗(yàn)證以上兩式均滿足分布律的基本性質(zhì)1例把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)郵筒內(nèi),設(shè)的條件分布律。條件下隨機(jī)變量求在個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目分別表示投入第XYYX0,2 , 1,解的條件分布律為的條件下在XY00|0P XY0,00P XYP Y1949141|0P XY2949122|0P XY1,00P XYP Y2,00P XYP Y1

13、94914.)()(),(),(的邊緣概率密度和分別是關(guān)于和的概率密度為設(shè)YXyfxfyxfYXYX( )0Yfy 若則,|P Xx Yy( , )d( )xYf x yxfy記為的條件分布函數(shù)條件下稱(chēng)為在,XyY |( | )X YFx y的條件概率密度為時(shí)故XyY |( | )X Yfx y( , )( )Yf x yfy類(lèi)似可定義|( | )Y XFy x( , )d( )yXf x yyfx|( | )Y Xfy x( , )( )Xf x yfx2例具有概率密度和設(shè)隨機(jī)變量YX2211( , )0,xyf x y，其他|( | )X Yfx y求解( )Yfy( , )df x y

14、x22 1| 10,yy，其他對(duì)符合| | 1x有的一切x221,1,( , )()2 1( )0,X YYxyf x yfx yyfy其他.第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義分別是二維隨機(jī)變量及設(shè))(),(),(yFxFyxFYX有所有若對(duì)函數(shù)的分布函數(shù)及邊緣分布yxYX,),( yYPxXPyYxXP ,即)()(),(yFxFyxFYX.是相互獨(dú)立的和則稱(chēng)隨機(jī)變量YX分別是連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè))(),(),(,),(yfxfyxfYXYX獨(dú)立條件等價(jià)于的相互和則密度的概率密度和邊緣概率為YXYX,),()()(),(yfxfyxfYX( , ),( ),( )XYf x yfxfy在的一切公共連續(xù)

15、點(diǎn)上成立相互獨(dú)立的條件等價(jià)于和是離散型隨機(jī)變量設(shè)YXYX,),(),(的),(iiyxYX取值的所有可能對(duì)于 iiiiyyPxxPyyxxP,即., 2 , 1, 2 , 1,.jipppjiij1例的分布律如下表所示設(shè)二維離散型隨機(jī)變量),(YX解的邊緣分布律分別為YX,則有相互獨(dú)立和若,YX 1111,212()939P XYP XP Y.91,92解得均成立對(duì)所有此時(shí)iijiijyxppp,.相互獨(dú)立和即YX 1111,313()18318P XYP XP Y313121ipX1819121321kpY2例一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在812時(shí)，他的秘書(shū)到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在79

16、時(shí)設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間是相互獨(dú)立的，求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過(guò)5分鐘（1/12小時(shí)）的概率 解達(dá)辦公室的時(shí)間，則分別是負(fù)責(zé)人和秘書(shū)到和設(shè)YX其他，, 0,128,41)(xxfX其他，, 097,21)(yyfY的概率密度為由獨(dú)立性得),(YX1,812, 79,( , )( )( )80,.XYxyf x yfx fy其他依題意求概率121YXP畫(huà)出區(qū)域：121 yx以及長(zhǎng)方形97;128yx它們的公共部分是BCCBG 四邊形記為：小時(shí)。故所求的概率為超過(guò)不兩人到達(dá)的時(shí)間相差才內(nèi)取值于僅當(dāng)12/1,),(GYX121YXPGGdxdyyxf的面積）(81),(GABCABC 的面積的面

17、積的面積6112112112132122）（）（481121YXP于是即負(fù)責(zé)人和他的秘書(shū)到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過(guò)5分鐘的概率為 1/48維隨機(jī)變量的情況推廣到隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以n設(shè)), 2 , 1()(),(21nixFxxxFiXni維隨機(jī)變量分別是n),(21nXXX的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù))()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn是相互獨(dú)立的。則稱(chēng)nXXX,21相互獨(dú)立的充要條件是故連續(xù)型隨機(jī)變量nXXX,21)()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn相互獨(dú)立的充要條件是離散型隨機(jī)變量nXXX,21 nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP22

18、112211,12,nx xx若對(duì)任意實(shí)數(shù)有下面定理說(shuō)明獨(dú)立的隨機(jī)變量的函數(shù)仍然是獨(dú)立的。下面定理說(shuō)明獨(dú)立的隨機(jī)變量的函數(shù)仍然是獨(dú)立的。定理定理1 設(shè)設(shè)X和和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，h(x)和和 g(y)是實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)，則是實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)，則h(X)和和 g(Y)也是相互獨(dú)也是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。立的隨機(jī)變量。定理定理2 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xm)和和(Y1,Y2,Yn)是相互獨(dú)立，則是相互獨(dú)立，則Xi (i=1,2, ,m)和和Yj (j=1,2, ,n)相互獨(dú)立。又若相互獨(dú)立。又若h，g是是連續(xù)函數(shù)，則連續(xù)函數(shù)，則h(X1,X2,Xm)和和 g(Y1,Y2,Y

19、n)也相互獨(dú)也相互獨(dú)立。立。第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的分布（一）YXZ的分布律為設(shè)二維隨機(jī)變量),(YXijjipyYxXP, 2 , 1i, 2 , 1jYXZ若jikyxz則由上式及概率的加法公式，有 ijjikyYxXPzZP,iikixzYxXP,jjjkkyYyzXPzZP,或者1例的分布律為設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的分布律試求YXZ解,1012X YZ由可能取的值知 的可能值為:， ， ， ，且有1 . 01, 01YXPZP5 . 03 . 02 . 01, 10, 00YXPYXPZP2 . 01 . 01 . 00, 11, 01YXPYXPZP2 . 01, 12Y

20、XPZP的分布律為Z),(),(,yxfYX的概率密度為若對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則YXZ( )( , )d dZx y zFzP Zzf x yx y 左下方的半平面積分區(qū)域是位于直線zyx( )( , )d dzyZFzf x yxy令yux( , )d(, )dz yzf x yxf uy yu于是( )(, )d dzZFzf uy yu y (, )d dzf uy yy u 求導(dǎo)上式兩邊對(duì)z( )(, )dZfzf zy yy的對(duì)稱(chēng)性由YX,( )( ,)dZfzf x zxx有卷積公式相互獨(dú)立時(shí)和當(dāng),YX( )()( )dZXYfzfzy fyy( )( )()dZXYfz

21、fx fzxx或者2例其概率密度為正態(tài)分布都服從變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)和設(shè)),1 , 0(,NYX221( )e2xXfxx221( )e2yYfyy的概率密度求YXZ 解由卷積公式( )( )()dZXYfzfx fzxx22()221eed2xz xx22()421eed2zzxx2zxt令2224411( )eede22 zztZfzt則分布服從即)2 , 0(NZ的分布（二）XYZ 3例在矩形域設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX10 , 20|,yxyxG,上服從均勻分布)(sfSYX的概率密度的矩形面積和試求邊長(zhǎng)為解的概率密度為由已知),(YX., 0,21,其他Gyxyxf則的分布函數(shù)為令,)(SsF sxyyxyxfsSPsFdd,；時(shí)當(dāng)0)(,0sFs；