第四章-部分相干理論

1、 1. 1.研究部分相干的意義研究部分相干的意義 a.a.相干光與非相干光是兩種理論狀態(tài)下的光相干光與非相干光是兩種理論狀態(tài)下的光源描述。源描述。 b.b.時(shí)間相干性、空間相干性是極限判斷依據(jù)。時(shí)間相干性、空間相干性是極限判斷依據(jù)。 c.c.部分相干光是實(shí)際光源的特征描述。部分相干光是實(shí)際光源的特征描述。 d.d.以以能見度能見度（或（或?qū)Ρ榷葘Ρ榷龋﹣碜鳛槊枋霾糠窒啵﹣碜鳛槊枋霾糠窒喔晒獾馁|(zhì)量。干光的質(zhì)量。 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 a.a.單色信號的復(fù)表示。單色信號的復(fù)表示。 對單色信號對單色信號 : : 關(guān)于時(shí)間的傅里葉變換：關(guān)于時(shí)間的傅里葉變換： 由：由：

2、有：有：)( )exp()()(o ov vj jA At tu uF FU U 比較可知：比較可知：u ur r(t)(t)變到復(fù)信號變到復(fù)信號u(t)u(t)在頻域可理解為：在頻域可理解為： )cos()( t tA At tu uo or r2)exp()exp()(exp)(t tj jj jA At tj jA At tu uo oo o22 復(fù)數(shù)表示為復(fù)數(shù)表示為: :)(exp)(exp)( t tj jt tj jA At tu uo oo or r2221)()exp()()exp(21)()(oorrjjAtuFU去掉實(shí)信號的負(fù)頻成分加倍實(shí)信號的正頻成分去掉實(shí)信號的負(fù)頻成分加

3、倍實(shí)信號的正頻成分（單邊譜）（單邊譜） 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 b.b.多色信號的復(fù)表示。多色信號的復(fù)表示。 對于多色信號對于多色信號 如存在傅里葉頻譜如存在傅里葉頻譜: : 稱為實(shí)函數(shù)稱為實(shí)函數(shù) 的的解析信號解析信號。 的頻譜為：的頻譜為：有：有：)(t tu ur r)exp()()(d dt tj jU Ut tu ur r 022定義多色信號的復(fù)數(shù)表示為定義多色信號的復(fù)數(shù)表示為: :)(r rU U)(t tu u)(t tu ur r)(U U 00002)()()(r rr rU UU UU U)()sgn()(r rU UU U 1 2. 2.多色

4、光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 b.b.多色信號的復(fù)表示。多色信號的復(fù)表示。 )()()()()()()()sgn()()()sgn()()()exp()()sgn()(t tu ut tj jt tu ut tu ut tj jt tu uU UF FF Ft tu uU UF FU UF FU UF Fd dt tj jU Ut tu ur rr rr rr rr rr rr rr rr r 12111111 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 b.b.多色信號的復(fù)表示。多色信號的復(fù)表示。 )()()()(t tu ut tj jt tu ut tu ur r

5、r r 1求解卷積：求解卷積： )()(lim)()()()(d du ut td du ut td du ut td du ut tt tu ut tr rt tr rt tr rr rr r 111111110)(d dt tu ur r 1柯西積分主值柯西積分主值 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 b.b.多色信號的復(fù)表示。多色信號的復(fù)表示。 我們稱：我們稱： )()(lim)(d du ut td du ut td du ut tr rt tr rt tr r 111110)()()(t tj ju ut tu ut tu ui ir r 為為希爾伯特希爾伯特(

6、(Hilbert)Hilbert)變換變換。用。用 算子表示算子表示 當(dāng)定義：當(dāng)定義： 比較可得：比較可得：)()()()(t tu ut tt tu ut tu ur rr ri i 1)()sgn()(r ri iU Uj jU U 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 b.b.多色信號的復(fù)表示。多色信號的復(fù)表示。 結(jié)論：結(jié)論： )()()(t tj ju ut tu ut tu ui ir r 則所求的解析信號為：則所求的解析信號為： 給定一個(gè)實(shí)信號給定一個(gè)實(shí)信號 ，對它實(shí)行希爾伯，對它實(shí)行希爾伯特變換而得出：特變換而得出： )()sgn()(r ri iU Uj jU

7、 U )(t tu ur r)(t tu ui i在線性平移不變系統(tǒng)中：在線性平移不變系統(tǒng)中： )()()()(t tu ut tt tu ut tu ur rr ri i 1 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 例題例題1 1：求：求 ( (t)t)的的希爾伯特變換及其信號解析式。希爾伯特變換及其信號解析式。 又：又： t tt tt tt tt tu ur r)()()()(11 則所求的解析信號為：則所求的解析信號為： 其希爾伯特變換為：其希爾伯特變換為： )()(t tt tu ur r t tj jt tt tj ju ut tu ut tu ui ir r)()

8、()()( )()(t tu ut tu ur ri i 解：解： 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 例題例題2 2：求：求cos2cos2o ot t的的希爾伯特變換及其信號解希爾伯特變換及其信號解析式。析式。 又：又： )( )( cos)(o oo oo or rt tF FU U 212其頻譜為：其頻譜為： t tt tu uo or rcos)(2 )()sgn()(r ri iU Uj jU U 解：解： 00021021)()(o oo oj jj j)()()sgn(o oo oj j 21 2. 2.多色光場的解析信號表示多色光場的解析信號表示 例題例題

9、2 2：求：求cos2cos2o ot t的的希爾伯特變換及其信號解希爾伯特變換及其信號解析式。析式。 t tj jF FU UF Ft tu uo oo oo oi ii isin)( )( )()(2211 則所求的解析信號為：則所求的解析信號為： 其原函數(shù)為：其原函數(shù)為： t tj jt tt tj ju ut tu ut tu uo oo oi ir rsincos)()()(22 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) a.a.互相干函數(shù)的定義：互相干函數(shù)的定義： K K1 1,K,K2 2稱為傳播因子，分別與稱為傳播因子，分別與r r1 1,r,r2 2),(),(),(222111t t

10、t tp pu uK Kt tt tp pu uK Kt tQ Qu u 設(shè)針孔設(shè)針孔P P1 1,P,P2 2到觀察屏到觀察屏上上Q Q點(diǎn)的距離分別為點(diǎn)的距離分別為r r1 1,r,r2 2，t t時(shí)刻時(shí)刻P P1 1,P,P2 2點(diǎn)點(diǎn)的光振動(dòng)用解析信號的光振動(dòng)用解析信號u(pu(p1 1,t),u(p,t),u(p2 2,t),t)表示，表示，則則t t時(shí)刻在時(shí)刻在Q Q點(diǎn)的光場點(diǎn)的光場為：為：C Cr rt tC Cr rt t2211 ;成反比。成反比。 由惠更斯由惠更斯- -菲涅耳原理可知，菲涅耳原理可知， K K1 1,K,K2 2為為純純虛數(shù)虛數(shù)。 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù)

11、 a.a.互相干函數(shù)的定義：互相干函數(shù)的定義： ),(*),(),(*),()(t tQ Qu ut tQ Qu udtdtt tQ Qu ut tQ Qu uT TQ QI IT TT T21由于探測器的響應(yīng)時(shí)由于探測器的響應(yīng)時(shí)間長的多，只能探測間長的多，只能探測到光強(qiáng)的平均值，用到光強(qiáng)的平均值，用運(yùn)算符運(yùn)算符表示平均運(yùn)表示平均運(yùn)算算子，即：算算子，即：),(),(),(222111t tt tp pu uK Kt tt tp pu uK Kt tQ Qu u 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) a.a.互相干函數(shù)的定義：互相干函數(shù)的定義： ),(*),(),(*),(),(*),(),(*),

12、()(112221221121222222111121t tt tp pu ut tt tp pu uK KK Kt tt tp pu ut tt tp pu uK KK Kt tt tp pu ut tt tp pu uK Kt tt tp pu ut tt tp pu uK KQ QI I假定光場是平穩(wěn)的，其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不隨時(shí)間改變，假定光場是平穩(wěn)的，其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不隨時(shí)間改變，只與只與 = =t t2 2-t-t1 1有關(guān)有關(guān) ： ),(*),(),(*),(),(*),(),(*),()(t tp pu ut tp pu uK KK Kt tp pu ut tp pu uK KK Kt tp

13、pu ut tp pu uK Kt tp pu ut tp pu uK KQ QI I1221212122221121 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) a.a.互相干函數(shù)的定義：互相干函數(shù)的定義： 引入?yún)?shù)引入?yún)?shù))(),(),(),(22211211使：使： ),(*),()(),(*),()(),(*),()(),(*),()(t tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu u2222122121121111)(*)(1221 分析可知：分析可知：定義定義)(12為光場的為光場的互相干函數(shù)互相干函

14、數(shù)。定義定義),(11為光場的為光場的自相干函數(shù)。自相干函數(shù)。)(22 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) a.a.互相干函數(shù)的定義：互相干函數(shù)的定義：當(dāng)：當(dāng)：021即tt有：有：22211100I II I )(;)()(Re)()()(*)()()()(122121121221212K KK KQ QI IQ QI IK KK KQ QI IQ QI IQ QI I 所以所以Q Q點(diǎn)的光強(qiáng)可表示為：點(diǎn)的光強(qiáng)可表示為：此時(shí)：此時(shí)：22221211I IK KQ QI II IK KQ QI I )()( 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) b.b.復(fù)相干度的定義：復(fù)相干度的定義： 在許多情況下，用歸

15、一化的互相在許多情況下，用歸一化的互相干函數(shù)來處理問題，以便于比較干函數(shù)來處理問題，以便于比較)(12用用 來表征：來表征： 21122211121200I II I)()()()()( 分析可知：分析可知：定義定義為光場的為光場的復(fù)相干度。復(fù)相干度。此時(shí)：此時(shí)：1012 )(用用 來表征：來表征： )(12 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) c.c.復(fù)相干度與干涉條紋的可見度的關(guān)系復(fù)相干度與干涉條紋的可見度的關(guān)系 因?yàn)楦缮鏃l紋的可見度是針對正弦型條紋而言的，因?yàn)楦缮鏃l紋的可見度是針對正弦型條紋而言的，為此可從窄帶光為此可從窄帶光 較小來分析，設(shè)窄帶光的平均較小來分析，設(shè)窄帶光的平均頻率為頻率為

16、 ，則在觀察屛上的互相干函數(shù)和復(fù)相干，則在觀察屛上的互相干函數(shù)和復(fù)相干度分別表示為：度分別表示為：)(exp)()()(exp)()(12121212121222a aj ja aj j 則：則：令：令：)(cos)( )()()()()(2212122121 a aQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI I)(2212rr )(cos)( )()()()()( 121221212a aQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI I 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) c.c.復(fù)相干度與干涉條紋的可見度的關(guān)系復(fù)相干度與干涉條紋的可見度的關(guān)系 由可見度定義有由可見度定

17、義有 ：時(shí)時(shí)這就是為什么說部分相干理論是從這就是為什么說部分相干理論是從可見度可見度表述其質(zhì)量的原因表述其質(zhì)量的原因 代入可見度公式，得：代入可見度公式，得：當(dāng)：當(dāng)： M Mi in nM Ma ax xM Mi in nM Ma ax xI II II II IV V )( )()()()()(1221212Q QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IM Ma ax x )( )()()()()(1221212Q QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IM Mi in n )()()()()(1221212Q QI IQ QI IQ QI IQ QI IV V

18、 )()(Q QI IQ QI I21 )(12 V V 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) d.d.互相干函數(shù)的譜表示互相干函數(shù)的譜表示 為了保證進(jìn)行傅里葉變換定義截尾函數(shù)為了保證進(jìn)行傅里葉變換定義截尾函數(shù)u uT T(p(p1 1,t),t)是與是與 相應(yīng)的解析信號相應(yīng)的解析信號TtTttputpuT0),(),(11) ,() ,(112p pU Up pU Ur rT TT T 0112)exp() ,(),(d dt tj jp pU Ut tp pu uT TT T),(t tp pu uT T1),(t tp pu ur rT T1 0222)exp() ,(),(d dt tj j

19、p pU Ut tp pu uT TT T) ,() ,(222p pU Up pU Ur rT TT T 同理：同理： 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) d.d.互相干函數(shù)的譜表示互相干函數(shù)的譜表示 所以：所以：定義：定義：為光場的為光場的互譜密度互譜密度 ),(*),()(t tp pu ut tp pu u2112),(*),(21lim21dttputpuTTTT2exp) ,( )(2exp),(21lim02*01dtjpUdtjpUdtTTTT)2exp() (2exp) ,(),(21lim002*1ddjtjpUpUdtTTTT )2exp( ) ,(),(21lim)(002

20、*1ddjpUpUTTTT djpUpUTTTT)2exp( ),(),(21lim02*1) ,() ,(lim)(*211221p pU Up pU UT TG GT TT TT T )exp()()(d dj jG G 012122 3. 3.互相干函數(shù)互相干函數(shù) d.d.互相干函數(shù)的譜表示互相干函數(shù)的譜表示 所以：所以：當(dāng)對互譜密度和功率譜密度歸一化處理：當(dāng)對互譜密度和功率譜密度歸一化處理：為光場的為光場的功率譜密度功率譜密度 ) ,() ,(lim)(*p pU Up pU UT TG GT TT TT T21 )exp()()(d dj jG G 02同理對自相干函數(shù)有：同理對自相

21、干函數(shù)有：定義定義)()()(;)()()()(00022111212G GG GG GG G ; )exp()()(d dj jG G 012122)exp()()( d dj jG G 0210 )(d dG G 4. 4.時(shí)間相干性與空間相干性時(shí)間相干性與空間相干性 a.a.時(shí)間相干概念時(shí)間相干概念 對于具有一定有效頻譜寬度對于具有一定有效頻譜寬度 的光源，只的光源，只有當(dāng)時(shí)間間隔有當(dāng)時(shí)間間隔 比比 小得多時(shí)，振幅才小得多時(shí)，振幅才大體上保持不變，可以近似用平均頻率大體上保持不變，可以近似用平均頻率 的單色波來定性分析。的單色波來定性分析。1一般情況下，定義一般情況下，定義 為相干時(shí)間，

22、為相干時(shí)間， 定義定義 為相干長度。為相干長度。 1 c cc cc cC CL L 4. 4.時(shí)間相干性與空間相干性時(shí)間相干性與空間相干性 b. b. 不同譜線輪廓的相干時(shí)間不同譜線輪廓的相干時(shí)間 1 1）高斯線型）高斯線型2 2）洛倫茲線型）洛倫茲線型3 3）矩形線型）矩形線型常見的譜線輪廓有：常見的譜線輪廓有： 4. 4.時(shí)間相干性與空間相干性時(shí)間相干性與空間相干性 b. b. 不同譜線輪廓的相干時(shí)間不同譜線輪廓的相干時(shí)間 （一般表達(dá)式）（一般表達(dá)式）)( d dc c 2)exp()()( d dj jG G 02曼德爾定義相干時(shí)間為：曼德爾定義相干時(shí)間為：高斯線型：高斯線型：洛倫茲線

23、型：洛倫茲線型：矩形線型：矩形線型：.ln16640122 c c.1318011 c c1 c c 4. 4.時(shí)間相干性與空間相干性時(shí)間相干性與空間相干性 c.c.傅里葉變換光譜術(shù)傅里葉變換光譜術(shù) )(*)()( 02I II ID D如果光波的功率寬度已知，由麥克爾遜干涉如果光波的功率寬度已知，由麥克爾遜干涉儀觀察到的干涉圖的特征就可完全確定。儀觀察到的干涉圖的特征就可完全確定。)cos()()(d dG GI I 022)(*)()()( 02I II II ID D)cos()()(d dI IG G 022 4. 4.時(shí)間相干性與空間相干性時(shí)間相干性與空間相干性 c.c.傅里葉變換光

24、譜術(shù)傅里葉變換光譜術(shù) 利用干涉圖和功率譜密度之間的這一關(guān)系，利用干涉圖和功率譜密度之間的這一關(guān)系，通過測量干涉圖來確定未知入射光的功率譜通過測量干涉圖來確定未知入射光的功率譜譜度，這就是傅里葉變換光譜術(shù)的理論基礎(chǔ)。譜度，這就是傅里葉變換光譜術(shù)的理論基礎(chǔ)。 傅里葉變換光譜術(shù)的特點(diǎn)：傅里葉變換光譜術(shù)的特點(diǎn)： 1 1）光源能量的利用率高）光源能量的利用率高 2 2） 分辨率高分辨率高 3 3） 應(yīng)用廣泛。應(yīng)用廣泛。傅立葉變換紅外光譜儀傅立葉變換紅外光譜儀每一臺傅立葉變換紅外光譜儀，由以下幾部分構(gòu)成：一個(gè)光源、一個(gè)干涉儀每一臺傅立葉變換紅外光譜儀，由以下幾部分構(gòu)成：一個(gè)光源、一個(gè)干涉儀（分束器是它的一

25、部分）以及一個(gè)檢測器。（分束器是它的一部分）以及一個(gè)檢測器。到樣品紅外光源發(fā)出的光束干涉儀是紅外光譜儀的心臟部件干涉儀是紅外光譜儀的心臟部件在干涉儀的出口，兩束有光程差的光發(fā)生干涉，然后在干涉儀的出口，兩束有光程差的光發(fā)生干涉，然后到樣品。到樣品。干涉儀干涉儀動(dòng)鏡移動(dòng)距離為動(dòng)鏡移動(dòng)距離為n/2 n/2 ，即即光程光程差為差為n n 時(shí)時(shí) 動(dòng)鏡移動(dòng)距離為動(dòng)鏡移動(dòng)距離為n/4 n/4 ，即即光程光程差為差為n/2 n/2 時(shí)時(shí) 干涉儀干涉儀因?yàn)閯?dòng)鏡以一定的速度（因?yàn)閯?dòng)鏡以一定的速度（ ）移動(dòng)，檢測器上得到的信號是正弦波信號。）移動(dòng)，檢測器上得到的信號是正弦波信號。)/2cos(1)()( BI)(

26、I光束強(qiáng)度)(B在波數(shù)光源經(jīng)過儀器調(diào)制后（分束器效率、檢測器和放大器的響應(yīng)）的強(qiáng)度波數(shù)/1光程差vt2v動(dòng)鏡移動(dòng)速率(cm/sec)t時(shí)間(sec)得到的得到的ACAC組分組分I I（ ）：）：就是所謂的干涉圖。就是所謂的干涉圖。 4. 4.時(shí)間相干性與空間相干性時(shí)間相干性與空間相干性 d.d.空間相干性空間相干性 在零程差位置形成干涉條紋的能力反映了空在零程差位置形成干涉條紋的能力反映了空間相干效應(yīng)。間相干效應(yīng)。 稱為空間互相干函數(shù)稱為空間互相干函數(shù) 稱為復(fù)空間相干度稱為復(fù)空間相干度 ),(*),()(t tp pu ut tp pu u2112021122211121200000I II

27、I)()()()()( )(012)(012 5. 5.互相干的傳播及相關(guān)定理互相干的傳播及相關(guān)定理 a.a.窄帶光場的衍射積分公式窄帶光場的衍射積分公式 由惠更斯由惠更斯菲涅耳原理，對于部分相干光可菲涅耳原理，對于部分相干光可用解析信號來表述：用解析信號來表述： 進(jìn)一步簡化：進(jìn)一步簡化： d dS SK Kc cr rc cr rt tp pu ud dt td dt tQ Qu u)(),(),(2 d dS SK Kc cr rt tp pu ur rj jt tQ Qu u)(),(),( 1 5. 5.互相干的傳播及相關(guān)定理互相干的傳播及相關(guān)定理 b. b. 窄帶光的互相干傳播規(guī)律窄

28、帶光的互相干傳播規(guī)律 1)1)傳播面?zhèn)鞑ッ?上的互相干函數(shù)上的互相干函數(shù) 11111111d dS SK Kc cr rt tp pu ur rj jt tQ Qu u)(),(),( 2 ),(*),();,(t tQ Qu ut tQ Qu uQ QQ Q212122222211d dS SK Kc cr rt tp pu ur rj jt tQ Qu u)(),(*),(* 2121221121221111d dS Sd dS SK KK Kc cr rt tp pu uc cr rt tp pu ur rr rQ QQ Q)()(),(*),();,( 212211122111d dS

29、 Sd dS Sr rK Kr rK Kc cr rr rp pp p)()();,( 5. 5.互相干的傳播及相關(guān)定理互相干的傳播及相關(guān)定理 b. b. 窄帶光的互相干傳播規(guī)律窄帶光的互相干傳播規(guī)律 2)2)傳播面?zhèn)鞑ッ?上的互強(qiáng)度上的互強(qiáng)度 2);,(),(02121Q QQ QQ QQ QJ J 212211122111d dS Sd dS Sr rK Kr rK Kc cr rr rp pp p)()();,( 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 即稱為即稱為傳播面?zhèn)鞑ッ?上的互強(qiáng)度。上的互強(qiáng)度。用用 表示。表示。 0 );,(021Q QQ Q2),(21Q QQ QJ J 5. 5.互相干的傳播及相關(guān)

30、定理互相干的傳播及相關(guān)定理 b. b. 窄帶光的互相干傳播規(guī)律窄帶光的互相干傳播規(guī)律 3)3)傳播面?zhèn)鞑ッ?上的強(qiáng)度分布上的強(qiáng)度分布 2)exp(),();,(122112212r rr rj jp pp pJ Jc cr rr rQ QQ Q 212211122121211d dS Sd dS Sr rK Kr rK Kr rr rj jp pp pJ JQ QQ QJ J)()()(exp),(),( 當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：0 21Q QQ Q當(dāng)當(dāng)即：即：Q QQ QQ Q 212122111221211d dS Sd dS Sr rK Kr rK Kr rr rj jp pp pJ JQ QI I)