導(dǎo)數(shù)典型例題

1、導(dǎo)數(shù)典型例題導(dǎo)數(shù)作為考試內(nèi)容的考查力度逐年增大.考點涉及到了導(dǎo)數(shù)的所有內(nèi)容，如導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最（極）值等等，考查的 題型有客觀題（選擇題、填空題） 、主觀題（解答題）、考查的形式具有綜合性和多樣性的特 點.并且，導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容如二次函數(shù)、二次方程、三角函數(shù)、不等式等的綜合考查成為新的 熱點.一、與導(dǎo)數(shù)概念有關(guān)的問題【例1】函數(shù)f（x）=x（x-1） （ x-2） （x-100）在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為 .1002 C!解法f(0 x) f(0) 一則一x一x( x 1)( x 2)(lixmo100) 0= lim ( Ax-1)( A x-

2、2) ( A x-100)= x 0(-1 ) (-2) ( -100 ) =100!選 D.解法二 設(shè) f (x)= a101x101+a10°x100+ a1x+a0,貝 ij fz (0)= a% 而 a1= (-1 ) (-2)(-100 ).選 D.=100!.點評解法一是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義直接求解,函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點平均變化率的極限.解法二是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運算求導(dǎo)法則使問題獲解1 o o【例2】 已知函數(shù)f(x)=cn c：x cnx2 21 k k cnxk1 n n cnxnlixm0f(2 2 x) f(2 x)=xf(2 2 x) f (2 x)lim x

3、x 0=2limx 0f(2 2 x)f (2) +limx 0f2 ( x) f(2) =2f /(2)+ f / (2)=3. f /點評limx 01/(x)= cncn x112二一（2C；222導(dǎo)數(shù)定義中的“增量Af(x° m x) f(x0)C2k k 1Cnxn n 1cnx，2kck2ncn1 r/ 、)=(1+2)2x”有多種形式，可以為正也可以為負，如其定義形式可以是limx 0f(x° m x)-1=f (x0)(3 n-1).也可以是f(x) f(x0) lim0x x0（令A(yù) x=x- x0得到），本題是導(dǎo)數(shù)的定義與多項式函數(shù)求導(dǎo)及二項式定理有關(guān)知

4、識的綜合題，連接交匯、自然，背景新穎【例3】 如圓的半徑以 2 cm/s的等速度增加，則圓半徑R=10 cm時，圓面積增加的速度是 解 丁 S=n R,而 R=R( t), Rt =2 cm/s，: 8t =(冗 R2) t =2 n R Rt =4 兀 R,St / r=io=4 ti R/r=io=4O ti cm 2/s.點評R是t的函數(shù)，而圓面積增加的速度是相當于時間t而言的(R是中間變量)，此題易出現(xiàn)S=ti F2, S' =2ti R, S' / r=io=2O ti cm2/s”的錯誤.本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，須注意導(dǎo)數(shù)的物理意義是距離對時間的變

5、化率，它是表示瞬時速度，因速度是向量，故變化率可以為負值 .2004年高考湖北卷理科第16題是一道與實際問題結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)物理意義的填空題，據(jù)資料反映：許多考生在求出距離對時間的變化率是負值后，卻在寫出答案時居然將其中的負號舍去，以致痛失4分.二、與曲線的切線有關(guān)的問題l ,則直線l的傾斜角的范圍【例4】以正弦曲線 y=sin x上一點P為切點的切線為直線. 冗3冗cC一 冗 3冗 r冗冗 3冗A. 0- u ，/ B. 0,冗 C. -, D. 0- u 一， 444 442 4解 設(shè)過曲線y=sin x上點P的切線斜率角為a ,由題意知，tan a =yz =cosx. "c.八冗

6、3冗. cos x 6 -1 , 1 , . tan a 6 -1 , 1,又 a 60,冗，. . a 60 U ,冗44故選A.點評 函數(shù)y=f (x)在點xo處的導(dǎo)數(shù) V (xo)表示曲線，y=f(x)在點(x。，f(x。)處的切線 斜率，即k=tan a( a為切線的傾斜角)，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.本題若不同時考慮正切函數(shù)的圖像及直線傾斜角的范圍，極易出錯【例5】 曲線y=x3-ax2的切線通過點(0, 1),且過點(0, 1)的切線有兩條，求實數(shù) a 的值.解.點(0, 1)不在曲線上，可設(shè)切點為(mn3-am).而y/ =3x2-2 ax,1. k 切=3m-2 am 則切線方程為

7、 y=(3 nm-2 am)x-2 M-anm. 切線過(0, 1), 2n3-am+1=0.(*)設(shè)(*)式左邊為f (m , f(m=o,由過(o, 1)點的切線有2條，可知 ”切=0有兩個 實數(shù)解，其等價于“ f(n)有極值，且極大值乘以極小值等于 0,且aw 0” .由 f (n)=2 m3- am2+1,得 f / (m)= 6ni- am2=2n(3 m a),令 f / ( n)=0 ,得 m=0, m=,3a* 0, f (0) - f( a)=0 ,即 a*0, - a3+1=0,a=3.327點評 本題解答關(guān)鍵是把“切線有2條”的“形”轉(zhuǎn)化為“方程有2個不同實根”的“數(shù)”，

8、即數(shù)形結(jié)合，然后把三次方程(*)有兩個不同實根予以轉(zhuǎn)化.三次方程有三個不同實根等價于“極大值大于 0,且極小值小于 0” .另外，對于求過某點的曲線的切線，應(yīng)注意此點是否 在曲線上.、與函數(shù)的單調(diào)性、最(極)值有關(guān)的問題【例6】 以下四圖，都是同一坐標系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的 序號是A.、 B. 、 C. 、 D.、解由題意知導(dǎo)函數(shù)的圖像是拋物線.導(dǎo)函數(shù)的值大于 0,原函數(shù)在該區(qū)間為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)的值小于 0,原函數(shù)在該區(qū)間為減函數(shù)，而此拋物線與x軸的交點即是函數(shù)的極值點，把極值點左、右導(dǎo)數(shù)值的正負與三次函數(shù)在極值點左右的遞增遞減結(jié)合起來考慮，可知一定 不正確的圖形是、，

9、故選 C.點評 V (x)>0 (或<0)只是函數(shù) * (x)在該區(qū)間單遞增(或遞減)的充分條件，可導(dǎo)函數(shù) V (x)在(a, b)上單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件是：對任意 x6(a, b),都有f / (x)>0(或<0)且 V (x)在(a, b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用此充要條件可以方便地解決“已知函數(shù)的單調(diào)性，反過來確定函數(shù)解析式中的參數(shù)的值域范圍”問題.本題考查函數(shù)的單調(diào)性可謂新穎別致.【例7】函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間(-3,7)上，其導(dǎo)函數(shù)如圖所示，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3 , 7)上極小值的個數(shù)是 個.解如圖，A、Q R C、E這5個點是函數(shù)

10、的極值點，觀察這 5個極值點左、右導(dǎo)數(shù)的正、負，可知 O點、C點是極小值點，故在區(qū)間(-3,7)上函數(shù)y=f(x)的極小值個數(shù)是 2個.點評 導(dǎo)數(shù) V (x)=0的點不一定是函數(shù) y=f(x)的極值點，如使 V (x)=0的點的左、右 的導(dǎo)數(shù)值異號， 則是極值點，其中左正右負點是極大值點， 左負右正點是極小值點 .本題考查 函數(shù)的極值可以稱得上是匠心獨運 【例8】 設(shè)函數(shù)f(x)與數(shù)列an滿足關(guān)系：ai>a,其中a是方程 f(x)=x的實數(shù)根； an+尸f(an), n6N； f(x)的導(dǎo)數(shù) V (x) 6 ( 0, 1).(1)證明：an>a , nc N ；(2)判斷an與an

11、+1的大小，并證明你的結(jié)論.(1)證明：(數(shù)學歸納法)當n=1時，由題意知 a>a, .,原式成立.假設(shè)當n=k時，ak>“，成立. f/ (x)>0 ,f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).ak+1= f (ak)> f ( a )= a , (1.1 a 是方程 f (x)= x 的實數(shù)根)即當n=k+1時，原式成立.故對于任意自然數(shù) N*,原式均成立.(2)解：g(x)= x- f ( x), x> a , g/ ( x)=1- f / ( x),又，0V f / (x)<1 , 1- g/ ( x)>0. g/ (x)在a,上是單調(diào)遞增函數(shù).而 g/ ( a

12、 )= a -f ( a )=0 , gz ( x)> g( a ) ( X> a ),即 x>f (x).又由(1 )知，an> a , . an>f ( an)= an+1 .點評 本題是函數(shù)、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識的自然鏈接，其中將導(dǎo)數(shù)知識融入數(shù)學歸納 法，令人耳目一新.四、與不等式有關(guān)的問題x【例9】 設(shè)x>0,比較 A=xe , B=lg(1+ x) , C= . 的大小2= >0, x,1 x解 令 f (x)= C- B=x-lg(1+ x),貝 1 f/ (x)= -(!x.1 x2(1 x),1 .f(x)為 0,上的增函數(shù)，f(x)

13、 >f (0)=0，: O B.“一x1 e x(1 x2)令 g(x)= B- A=lg(1+ x)- xe ,則當 x> 0 時，gz (x)= > 0,1 x.g(x)為 0,上的增函數(shù)，： g( x) > g(0)=0，: B> A.因此，C> B> A ( x=0時等號成立).點評 運用導(dǎo)數(shù)比較兩式大小或證明不等式，常用設(shè)輔助函數(shù)法，如f (a尸4 (a),要證明當x>a時，有f(a)= 4(a),則只要設(shè)輔助函數(shù)F(x)=f(a)-4 ( a),然后證明F(x)在x>a單調(diào)遞減即可，并且這種設(shè)輔助函數(shù)法有時可使用多次，2004年

14、全國卷n的壓軸題就考查了此知識點.五、與實際應(yīng)用問題有關(guān)的問題【例10】 某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入 x萬元之間滿足： y與(a-x)和x2的乘積成正比；當 x ：時，y=a3.并且技術(shù)改造投入比x率：一x 6 0,t ,其中t為常數(shù)，旦t 6 0,2 .2(a x)(1)求y=f (x)的解析式及定義域；(2)求出產(chǎn)品的增加值y的最大值及相應(yīng)的 x值.解：(1)由已知，設(shè) y=f (x)= k(a-x)x2,2a33a a，丁當 x 一時，y= a ,即 a=k , 一 ,

15、 ,k=8,貝U f(x)=8-( a-x)x.224x2at 2at 0< 一x一 & t ,解得0Vx &'a- . .函數(shù)f ( x)的定義域為0<x<'a .2(a x)2t 12t 1一.22a(2) f z (x)= -24 x +16ax=x(-24 x+16a),令 f z (x)=0 ,貝U x=0 (舍去)，x 3，當0<x<2a時，f / (x)>0，此時f(x)在(0, 2a)上單調(diào)遞增；33當x> 時，f / (x)<0 ,此時f (x)是單調(diào)遞減.3.當 2at 接絲時,即1tv2時，ymax=f( 2a2t 13尸 32 a3;27當_2也< 2a時，即 2t 130< t <1 時，ymax=f ( 2at )=2t 132a3t23(2t 1)綜上，當1<t <2時,投入2a 32 o2at萬元，最大增加值