概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì):第3章 第三節(jié)條件分布_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、概率統(tǒng)計(jì)在第一章中已經(jīng)介紹了條件概率的概念在第一章中已經(jīng)介紹了條件概率的概念 ,即,即在事件在事件B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率:)()()|(BPABPBAP現(xiàn)設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量現(xiàn)設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量 X, Y ,若問(wèn)若問(wèn):在給定在給定Y 取某個(gè)取某個(gè)或某些值的條件下,求隨機(jī)變量或某些值的條件下,求隨機(jī)變量X 的概率分布的概率分布.這個(gè)分布就是這個(gè)分布就是條件分布條件分布. 第四節(jié)第四節(jié) 條件分布條件分布問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出概率統(tǒng)計(jì)考慮某大學(xué)的全體學(xué)生,從其中隨機(jī)抽取一個(gè)考慮某大學(xué)的全體學(xué)生,從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生,分別以學(xué)生,分別以X和和Y 表示其體重和身

2、高表示其體重和身高 . 則則 X 和和Y 都是隨機(jī)變量,它們都有一定的概率分布都是隨機(jī)變量,它們都有一定的概率分布.體重體重X身高身高Y體重體重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 例如例如:概率統(tǒng)計(jì)這就這就意味著意味著要從該校的學(xué)生中把身高在要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米米 和和1.8米米 之間的那些人都挑出來(lái),然后在挑出的學(xué)生中求其之間的那些人都挑出來(lái),然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布體重的分布.這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會(huì)這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會(huì) 很不一樣很不一樣.在條件分布中體重取大值的概率會(huì)在條件分布中體重取大值的概率會(huì)顯著增加顯著增加 . 現(xiàn)在若限制現(xiàn)在若限制 1.7

3、 Y 1.8 (米米) ,這個(gè)條件這個(gè)條件 求:求:X 的條件分布的條件分布 顯然:顯然: 例如:例如:概率統(tǒng)計(jì)一一. 離散型隨機(jī)變量的條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布1. 定義定義: 若若 (X,Y) 是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布律為其聯(lián)合分布律為(,),1,2,iji jP Xx YyPi j(X, Y)關(guān)于關(guān)于 X 和和 Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為,)(. iiPxXP 0, 0,)(. jijjPPPyYP且且則在事件則在事件 已發(fā)生的條件下事件已發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為: jYy ixX .(,)()()iji jijjjP Xx YyPP Xx

4、YyP YyP 2 , 1 i亦稱為亦稱為X 在在 下的下的條件分布律條件分布律. jYy 概率統(tǒng)計(jì) y 在條件在條件 下的條件分布律為下的條件分布律為:ixX .(,)()()iji jjiiiP Xx YyPP Yy XxP XxP , 2 , 1 j2. 性質(zhì)性質(zhì):0.1()0ijP Xx Yy0.11.2()i jijiijPP Xx YyP013 .()1jijP Yy Xx 同理可定義:同理可定義:.11jjPP1.1i jijPP 概率統(tǒng)計(jì)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 1, 2, 3, 4 四個(gè)整數(shù)中等可能地四個(gè)整數(shù)中等可能地取值;另一隨機(jī)變量取值;另一隨機(jī)變量Y 在在 1 X

5、 中等可能地取一中等可能地取一整數(shù)整數(shù)例例1.求:條件分配律求:條件分配律 及及()ijP Xx Yy)(ijxXyYP 解解:1,2,3,4;1,2,3,4XY的的取取值值有有的的取取值值有有1(1,1)124(11)25(1)2548P XYP XYP Y 相應(yīng)的分布律有相應(yīng)的分布律有16個(gè),現(xiàn)分別計(jì)算兩個(gè)個(gè),現(xiàn)分別計(jì)算兩個(gè):1(2,1)68(21)25(1)2548P XYP XYP Y 概率統(tǒng)計(jì)1(1,1)4(11)11(1)4P XYP YXP X (1,2)0(21)01(1)4P XYP YXP X 其它的留作課后同學(xué)自己去完成其它的留作課后同學(xué)自己去完成二二. 連續(xù)型隨機(jī)變量的

6、條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布在離散型中條件分布律是由條件概率引出的,其中對(duì)任意的在離散型中條件分布律是由條件概率引出的,其中對(duì)任意的 但注意到:在一維隨機(jī)變量的但注意到:在一維隨機(jī)變量的討論中指出過(guò)連續(xù)型與離散型隨機(jī)變量根本區(qū)別之一就在于對(duì)討論中指出過(guò)連續(xù)型與離散型隨機(jī)變量根本區(qū)別之一就在于對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言于連續(xù)型隨機(jī)變量而言 P(X=x)=0 , P(Y=y)=0。因此,對(duì)于連。因此,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量就無(wú)法用條件概率去引出條件分布的概念了。所續(xù)型隨機(jī)變量就無(wú)法用條件概率去引出條件分布的概念了。所以必須從分布函數(shù)著手并且加以極限的方法引出條件分布的概以必須從分布函數(shù)著手并且加以極限

7、的方法引出條件分布的概念念.()0,()0P XxP Yy 引言引言概率統(tǒng)計(jì) 定義定義1.0)(, 0, yyyPy 設(shè)對(duì)于任意的正數(shù)設(shè)對(duì)于任意的正數(shù)給定給定0(,)lim().P Xx yyyP yyy 存存在在則則稱稱此極限為在條件此極限為在條件 下下, X 的的條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)。記為:記為:Yy )()(yYxXPyxFYX 同理同理:, x且對(duì)任意實(shí)數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)0lim()P Xx yyy 極極限限)()(xXyYPxyFXY 為條件為條件 下下 Y 的的Xx 條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)概率統(tǒng)計(jì)定義定義2:( , )()( )X YYf x yfx yfy 。若在點(diǎn)。若在點(diǎn) 處

8、處 連續(xù),邊連續(xù),邊( , )x y( , )f x y( )Yfy( )0Yfy 緣概率密度緣概率密度 連續(xù),且連續(xù),且 ( , )()( )Y XXf x yfy xfx 同理同理Xx Y 的的條件密度函數(shù)條件密度函數(shù)為在條件為在條件下下為在條件為在條件Yy 密度函數(shù)密度函數(shù)下下 X 的的條件條件概率統(tǒng)計(jì) 推導(dǎo)推導(dǎo):)()(yYxXPyxFYX )(lim0 yYyxXP)(),(lim0 yYyPyYyxXP)()(),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY 2/)()(2/),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY分子分母分子分母同乘同乘 21由條件概由條件概率定義率定義由分布

9、函由分布函數(shù)性質(zhì)數(shù)性質(zhì)概率統(tǒng)計(jì)dyydFyyxFY)(),( )(),(yfdxdyyxfyYxy )(),(yfdxyxfYx dxyfyxfxY )(),(分子是由二元分子是由二元偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)定義;分分母是由一元導(dǎo)母是由一元導(dǎo)數(shù)定義數(shù)定義分子是由分布函數(shù)分子是由分布函數(shù)定義定義;分母是由分布分母是由分布函數(shù)與概率密度關(guān)函數(shù)與概率密度關(guān)系系.對(duì)對(duì) y求偏導(dǎo)后只含求偏導(dǎo)后只含 x 的積分的積分概率統(tǒng)計(jì)同理得同理得:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布密度為:的分布密度為:301, 0( , )0( , )xxyxf x yx y 在在其其它它域域求求: (1) X,Y 的邊緣分布密度的

10、邊緣分布密度. (2) X,Y 的條件分布密度的條件分布密度. ()X YFx y ( , )()( )Y XXf x yfy xfx ()xX Yfx y dx 又因?yàn)橛啥x:又因?yàn)橛啥x:( , )()( )X YYf x yfx yfy 所以得:所以得:例例2.概率統(tǒng)計(jì)解解: 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 x( )( , )Xfxf x y dy 時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)10 yx0)( xfX2301( )0Xxxfx 其其它它01(1,1)B(1,0)Axy2033xxdyx X的邊緣概率密度為:的邊緣概率密度為:(1) 由已知的由已知的 ( , )f x y可知:可知:概率統(tǒng)計(jì)當(dāng)當(dāng) 0 y 1 | Y= y

11、)設(shè)設(shè) (X,Y) 的概率密度為:的概率密度為:0,0( , )0 x yyeexyf x yy 其其它它解解: |1(|)X Yfx y dx P(X1|Y=y)為此,需求出為此,需求出 |(|)X Yfx y例例 4.概率統(tǒng)計(jì) 由于由于 于是對(duì)于是對(duì) y 0 |( , )(|)( )X YYf x yfx yfy 0dxyeeyyx0yxyyeye,ye y0,yeyx0 x 故對(duì)故對(duì) y 0 P ( X1 | Y= y )1x yedxy 1yxeye1概率統(tǒng)計(jì)設(shè)設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布,概率服從單位圓上的均勻分布,概率密度為密度為:2211( , )0 xyf x y 其其它它)|(|xyfXY求:求:( )( , )Xfxf x

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