高數(shù)數(shù)學(xué)D128一般周期ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第八節(jié)第八節(jié)普通周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)普通周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、周期為一、周期為2 l 的周期函數(shù)的的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 第十二章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、周期為一、周期為2 l 的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期為 2l 的函數(shù) f (x)周期為 2 的函數(shù) F(z)變量代換lxz將F(z) 作傅氏展開(kāi) f (x) 的傅氏展開(kāi)式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)延續(xù)或只需有限個(gè)第一類延續(xù)點(diǎn)2) 在一個(gè)周期內(nèi)只需有限個(gè)極值點(diǎn)naxlxnxflbllndsin

2、)(1l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件,那么它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的延續(xù)點(diǎn)處)其中定理定理.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明: 令令lxz, 那么,llx,z令)(zF, )(z lf那么)2()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf)(zF所以)(zF且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉級(jí)數(shù):10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的延續(xù)點(diǎn)處 )(xf變成是以2 為周期的周期函數(shù), 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

3、束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 延續(xù)點(diǎn)處 )xlxnxflldcos)(證畢 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 闡明闡明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的延續(xù)點(diǎn)處)lxnsinl20l假設(shè) f (x) 為偶函數(shù), 那么有(在 f (x) 的延續(xù)點(diǎn)處)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其

4、中1nnalxncos注注: 無(wú)論哪種情況無(wú)論哪種情況 ,).()(21xfxf在 f (x) 的延續(xù)點(diǎn) x 處, 傅里葉級(jí)數(shù)都收斂于l20l假設(shè) f (x) 為奇函數(shù), 那么有 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(tftO0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流電壓交流電壓tEtEsin)(經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解解: 這個(gè)半波整流函數(shù)這個(gè)半波整流函數(shù)2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里葉級(jí)數(shù).,上的表達(dá)式為0t0 t2E的周期是22目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 000d2sintt21Ea tE2cos212時(shí)1n0d) 1si

5、n() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 時(shí)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由于半波整流函數(shù) f ( t ),),(上連續(xù)在)(EtftEsin2t

6、kkEk2cos411212)(t直流部分闡明闡明:交流部分由收收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在實(shí)踐運(yùn)用中展開(kāi)式取前幾項(xiàng)就足以逼近 f (x)了.上述級(jí)數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和. )(tftO22目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oyx2例例2. 把把展開(kāi)成)20()(xxxf(1) 正弦級(jí)數(shù); (2) 余弦級(jí)數(shù).解解: (1) 將將 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 那么那么有有),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2s

7、in) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 處級(jí)數(shù)收斂于何值?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 O 2yx(2) 將 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k那么有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 O 2yx闡明闡明: 此式對(duì)此式對(duì)0 x也成立,8) 12(1212kk由此還可導(dǎo)出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(

8、cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk據(jù)此有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)函數(shù)定義在恣意有限區(qū)間上時(shí),方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里葉級(jí)數(shù))(zF周期延拓將2abxz)(xf在,ba代入展開(kāi)式上的傅里葉級(jí)數(shù) 其展開(kāi)方法為:xab2ba目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦級(jí)數(shù))(zF奇或偶式周期延拓將 代入展開(kāi)式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦級(jí)

9、數(shù) xab目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 將函數(shù)將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里葉級(jí)數(shù).解解: 令令,10 xz設(shè))55( )10()()(zzzfxfzF將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理?xiàng)l件.由于F(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n那么它滿足收斂定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x)(zFz55O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用歐拉公式二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)方式二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)方式設(shè) f (x)是周期為 2 l 的周

10、期函數(shù) , 那么lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2isinlxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2inblxnlxniiee102i2nnnbaa2innba lxnielxnie0cncnc目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212innnbacllxlxnxfldsin)(illxlxnlxnxfldsinicos)(21llxfl)(21),2, 1(dnxlxnie留意到2innnbacxd同理),2, 1(nlxnie目錄

11、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)方式:xxflcTxnllnde)(212iTxnnncxf2ie)(),2, 1,0(n因此得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 式的傅里葉級(jí)數(shù) . 例例4. 把寬為把寬為 ,高為高為 h ,周期為周期為 T 的矩形波展成復(fù)數(shù)的矩形波展成復(fù)數(shù)形形解解: 在一個(gè)周期在一個(gè)周期,22TT)(tu它的復(fù)數(shù)方式的傅里葉系數(shù)為 2 2d1thTTh內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為 022d)(1TTttuTc22,th2222,0TTtt22Tyx22ThO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ttuTTtnTTde)(12i2 2nc2 22ide1thTTtnTnnhsin),2

12、,1(nThtu)(hTtnnTnn2iesin10n), 1,0,2(kTkt i2nTThi21nhTtn2ie22TnTniiee目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為正弦 級(jí)數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 延續(xù)點(diǎn))其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當(dāng)f (x)為奇 函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)2. 在恣意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法變換延拓3. 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)方式利用歐拉公式導(dǎo)出目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思索與練習(xí)思索與練習(xí)1. 將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫(huà)出其圖形?答答: 易看出奇偶性及延續(xù)點(diǎn)易看出奇偶性及延續(xù)點(diǎn), 2. 計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算 ?答答: 用系數(shù)公式計(jì)算用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子 nk作業(yè)作業(yè): P319 1 (1) , : P319 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; (3) ; 2 (2) ; * *3 3 從而便于計(jì)算系數(shù)和寫(xiě)出收斂域 .,時(shí)nnbakkba 或則必需單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級(jí)數(shù), 并由此求級(jí)數(shù)121nn(1991 考研) 解解:y1Ox12)(xf為偶函數(shù),0nb1