《運籌學》復習參考資料知識點及習習題

1、第一部分 線性規(guī)劃問題的求解一、兩個變量的線性規(guī)劃問題的圖解法：概念準備：定義：滿足所有約束條件的解為可行解；可行解的全體稱為可行（解）域。定義：達到目標的可行解為最優(yōu)解。圖解法：圖解法采用直角坐標求解：x1橫軸；x2豎軸。1、將約束條件（取等號）用直線繪出；2、確定可行解域；3、繪出目標函數(shù)的圖形（等值線），確定它向最優(yōu)解的移動方向；注：求極大值沿價值系數(shù)向量的正向移動；求極小值沿價值系數(shù)向量的反向移動。4、確定最優(yōu)解及目標函數(shù)值。參考例題：（只要求下面這些有唯一最優(yōu)解的類型）例1：某廠生產甲、乙兩種產品，這兩種產品均需在A、B、C三種不同的設備上加工，每種產品在不同設備上加工所需的工時不同

2、，這些產品銷售后所能獲得利潤以及這三種加工設備因各種條件限制所能使用的有效加工總時數(shù)如下表所示：品產耗消備設 A B C利潤（萬元）甲乙3 5 99 5 37030有效總工時540 450 720問：該廠應如何組織生產，即生產多少甲、乙產品使得該廠的總利潤為最大（此題也可用“單純形法”或化“對偶問題”用大M法求解）解：設x1、x2為生產甲、乙產品的數(shù)量。 max z = 70x1+30x2 . 、 可行解域為oabcd0，最優(yōu)解為b點。由方程組 解出x1=75，x2=15X*=（75，15）Tmax z =Z*= 70×75+30×15=5700例2：用圖解法求解 max

3、z = 6x1+4x2 . 、 解：可行解域為oabcd0，最優(yōu)解為b點。由方程組 解出x1=2，x2=6X*=（2，6）Tmax z = 6×2+4×6=36例3：用圖解法求解 min z =3x1+x2. 、解：可行解域為bcdefb，最優(yōu)解為b點。由方程組 解出x1=4，x2=X*=（4，）Tmin z =3×4+=11二、標準型線性規(guī)劃問題的單純形解法：一般思路：1、用簡單易行的方法獲得初始基本可行解；2、對上述解進行檢驗，檢驗其是否為最優(yōu)解，若是，停止迭代，否則轉入3；3、根據(jù)L規(guī)則確定改進解的方向；4、根據(jù)可能改進的方向進行迭代得到新的解；5、根據(jù)檢驗

4、規(guī)則對新解進行檢驗，若是最優(yōu)解，則停止迭代，否則轉入3，直至最優(yōu)解。具體做法（可化歸標準型的情況）：設已知max z = c1x1+ c2x2+ cnxn.對第i個方程加入松弛變量xn+i，i =1，2，m，得到列表計算，格式、算法如下：CBXBbc1c2cn+mLx1x2xn+mcn+1xn+1b1a11a12a1 n+mc n+2xn+2b2a21a22a2 n++mxn+mbnam1am2am n+mz1z2zn+m12n+m注： zj =cn+1 a1j+ cn+2 a2j + cn+m amj=，（j=1，2，n+m）j =cjzj ,當j 0時，當前解最優(yōu)。注：由maxj確

5、定所對應的行的變量為“入基變量”；由L=確定所對應的行的變量為“出基變量”，行、列交叉處為主元素，迭代時要求將主元素變?yōu)?，此列其余元素變?yōu)?。例1：用單純形法求解（本題即是本資料P2“圖解法”例1的單純形解法；也可化“對偶問題”求解）max z =70x1+30x2.解：加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標準模型：max z =70x1+30x2+0 x3+0 x4+0 x5.列表計算如下：CBXBb7030000Lx1x2x3x4x50x354039100540/3 =1800x445055010450/5 =900x5720（9）3001720/9 =800000070300000

6、x33000810- 1/3300/8 =0x4500（10/3）01 - 5/950/10/3 =1570x1801 1/300 1/980/1/3 =2407070/30070/9020/30070/90x318000112/5130x215010 3/10- 1/670x175100- 1/10 1/6570070300220/3000-220/3X*=（75，15，180，0，0）Tmax z =70×75+30×15=5700例2：用單純形法求解max z =7x1+12x2.解：加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標準模型：max z =7x1+12x2+0

7、 x3+0 x4+0 x5.列表計算如下：CBXBb712000Lx1x2x3x4x50x336094100360/4 =900x420045010200/5 =400x53003（10）001300/10 =30000007120000x324078/10010- 2/5240/78/10 =2400/780x450（5/2）001- 1/250/5/2 =2012x2303/10100 1/1030/3/10 =10018/512006/517/50006/50x38400178/2529/257x1201002/5- 1/512x224010 3/254/28428712034/2511

8、/3500034/2511/35X*=（20，24，84，0，0）Tmax z =7×20+12×24=428三、非標準型線性規(guī)劃問題的解法：1、一般地，對于約束條件組：若為“”，則加松弛變量，使方程成為“”；若為“”，則減松弛變量，使方程成為“”。我們在前面標準型中是規(guī)定目標函數(shù)求極大值。如果在實際問題中遇到的是求極小值，則為非標準型?？勺魅缦绿幚恚河赡繕撕瘮?shù)min z=變成等價的目標函數(shù)max（z）=令z=z/，min z=max z/2、等式約束大M法：通過加人工變量的方法，構造人造基，從而產生初始可行基。人工變量的價值系數(shù)為M，M是很大的正數(shù)，從原理上理解又稱為“懲

9、罰系數(shù)”。（課本P29）類型一：目標函數(shù)仍為max z，約束條件組與。例1：max z =3x1+5x2.解：加入松弛變量x3，x4，得到等效的標準模型：max z =3x1+5x2.其中第三個約束條件雖然是等式，但因無初始解，所以增加一個人工變量x5，得到： max z =3x1+5x2Mx5. 單純形表求解過程如下：CBXBb3500MLx1x2x3x4x50x34（1）01004/1 =40x41202010Mx5183200118/3 =63M2M00M3M352M0003x14101000x4120201012/2 =6Mx560（2）3016/2 =332M33M0M0533M00

10、3x14101004/1 =40x4600（3）116/3 =25x23013/201/23/(2/3) =9/2359/205/2009/20M5/2305x121001/31/3x320011/31/3x260101/20363503/210003/2M1X*=（2，6，2，0）Tmax z =3×2+5×6=36類型二：目標函數(shù)min z，約束條件組與。例2：用單純形法求解min z =4x1+3x2.解：減去松弛變量x3，x4，并化為等效的標準模型：max z/ =4x13x2.增加人工變量x5、x6，得到：max z/ =4x13x2Mx5Mx6單純形表求解過程如

11、下：CBXBb400MMLx1x2x3x4x5x6Mx5162（4）101016/4=4Mx61232010112/2=65M6MMMMM5M46M3MM003x241/211/401/404/1/2=8Mx64（2）01/211/214/2=22M3/233/4M/2MM/23/4M2M5/20M/23/4M3/43M/203x23013/81/43/81/44x12101/41/21/41/217431/85/41/85/4001/85/4M1/8M5/4X*=（2，3，0，0）Tmin z =max z/ =（17）=17四、對偶問題的解法：什么是對偶問題1、在資源一定的條件下，作出最大

12、的貢獻；2、完成給定的工作，所消耗的資源最少。引例（與本資料P2例1 “圖解法”、P7例1 “單純形法”同）：某工廠生產甲、乙兩種產品，這些產品均需在A、B、C三種不同的設備上加工，每種產品在不同設備上加工時需要不同的工時，這些產品售后所能獲得的利潤值以及這三種加工設備因各種條件下所能使用的有效總工時數(shù)如下表：品產耗消備設 A B C利潤（萬元）甲乙3 5 99 5 37030有效總工時540 450 720問：該廠應如何組織生產，即生產多少甲、乙產品使得該廠的總利潤為最大解：原問題設x1、x2為生產甲、乙產品的數(shù)量。max z = 70x1+30x2.將這個原問題化為它的對偶問題設y1、y2

13、、y2分別為設備A、B、C單位工時數(shù)的加工費。min w = 540y1+450y2+720y3.用大M法，先化為等效的標準模型：max w/ =540y1450y2720y3.增加人工變量y6、y7，得到：max z/ =540y1450y2720y3My6My7大M法單純形表求解過程如下：CBXBb54045072000MMLy1y2y3y4y5y6y7My670359101070/3My730（9）53010130/9=10/312M10M12MMMMM12M54010M45012M720MM00My660010/3（8）11/311/360/8=540y110/315/91/301/9

14、01/910/3/1/3=10-300+10/3M-8M180MM/3+60MM/3600-150+10/3M8M-540MM/3600M/3+60720y315/205/1211/81/241/81/2415/2/5/12=18540y15/61（5/12）01/241/81/241/85/6/5/12=2540572720135/2475/12135/275/201250135/2475/12135/2M75/2M720450y320/31011/61/61/61/6y2212/5101/103/101/103/1057003604507207515751518000751575M15M該

15、對偶問題的最優(yōu)解是y*=（0，2，0，0）T最優(yōu)目標函數(shù)值min w =（5700）=5700五、運輸規(guī)劃問題：運輸規(guī)劃問題的特殊解法“表上作業(yè)法”解題步驟：1、找出初始調運方案。即在(m×n)產銷平衡表上給出m+n-1個數(shù)字格。（最小元素法）2、（對空格）求檢驗數(shù)。判別是否達到最優(yōu)解。如已是最優(yōu)解，則停止計算，否則轉到下一步。（閉回路法）3、對方案進行改善，找出新的調運方案。（根據(jù)檢驗結果選擇入基變量，用表上閉回路法調整即迭代計算，得新的基本可行解）4、重復2、3，再檢驗、再迭代，直到求得最優(yōu)調運方案。類型一：供求平衡的運輸規(guī)劃問題（又稱“供需平衡”、“產銷平衡”）引例：某鋼鐵公司

16、有三個鐵礦和四個煉鐵廠，鐵礦的年產礦石量分別為100萬噸、80萬噸和50萬噸，煉鐵廠年需礦石量分別為50萬噸、70萬噸、80萬噸和30萬噸，這三個鐵礦與四個煉鐵廠的距離如下：礦鐵廠鐵離距煉 B1 B2 B3 B4A1A2A315 20 3 3070 8 14 2012 3 20 15問：該公司應如何組織運輸，既滿足各煉鐵廠需要，又使總的運輸費用為最?。ò磭?公里計）解：用“表上作業(yè)法”求解。先用最低費用法（最小元素法）求此問題的初始基礎可行解：地產用費地銷B1B2B3B4產量SiA11520673306510020×80×A2708144420803020×30A

17、3125332033251050×50××銷量dj50708030 230230初始方案：B2203030B1B3A22080B1B3A1B250A3Z=15×20+3×80+70×30+8×20+20×30+3×50=3550（噸.公里）對的初始可行解進行迭代（表上閉回路法），求最優(yōu)解：地產用費地銷B1B2B3B4產量SiA11520143301210020×80×A2705381492080×50×30A312320202510503020××

18、;銷量dj50708030 230230用表上閉回路法調整后，從上表可看出，所有檢驗數(shù)0，已得最優(yōu)解。最優(yōu)方案：3020B1B2A35030B2B4A22080B1B3A1Z=15×20+3×80+8×50+20×30+12×30+3×20=1960（噸.公里）解法分析：如何求檢驗數(shù)并由此確定入基變量有數(shù)字的空格稱為“基格”、打×的空格稱為“空格”，標號為偶數(shù)的頂點稱為偶點、標號為奇數(shù)的頂點稱為奇點，出發(fā)點算0故為偶點。找出所有空格的閉回路后計算它們的檢驗數(shù)，必須0，才得到最優(yōu)解。否則，應選所有中正的最大者對應的變量xj為入

19、基變量進行迭代（調整）。檢驗后調整運輸方案的辦法是：在空格的閉回路中所有的偶點均加上奇點中的最小運量，所有的奇點均減去奇點中的最小運量。重復以上兩步，再檢驗、再調整，直到求得最優(yōu)運輸方案。類型二：供求不平衡的運輸規(guī)劃問題若，則是供大于求（供過于求）問題，可設一虛銷地Bn+1，令ci,n+1=0，dn+1=，轉化為產銷平衡問題。若，則是供小于求（供不應求）問題，可設一虛產地Am+1，令cm+1,j=0，sm+1=，轉化為產銷平衡問題。（=1，2，m；=1，2，n）六、工作指派問題：工作指派問題的數(shù)學模型假定有n項工作需要完成，恰好有n個人每人可去完成其中一項工作，效果要好。工作指派問題的特殊解法

20、“匈牙利法”（考?。┙忸}步驟：1、使系數(shù)矩陣（效率矩陣）各行、各列出現(xiàn)零元素。作法：行約簡系數(shù)矩陣各行元素減去所在行的最小元素，列約簡再從所得矩陣的各列減去所在列最小元素。2、試求最優(yōu)解。如能找出n個位于不同行不同列的零元素，令對應的xij= 1，其余xij = 0，得最優(yōu)解，結束；否則下一步。作法：由獨立0元素的行（列）開始，獨立0元素處畫（ ）標記 ，在有（ ）的行列中劃去（也可打*）其它0元素；再在剩余的0元素中重復此做法，直至不能標記（ ）為止。3、作能覆蓋所有0元素的最少數(shù)直線集合。作法： 對沒有（ ）的行打號；對已打號的行中所有0元素的所在列打號；再對打有號的列中0元素的所在行打號

21、；重復、直到得不出新的打號的行(列)為止；對沒有打號的行畫一橫線，對打號的列畫一縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)。未被直線覆蓋的最小元素為cij,在未被直線覆蓋處減去cij,在直線交叉處加上cij。4、重復2、3，直到求得最優(yōu)解。類型一：求極小值的匈牙利法：（重點掌握這種基本問題）例1：有甲、乙、丙、丁四個人，要派去完成A、B、C、D四項工作，他們完成的工時如下表：人務時工任 A B C D甲乙丙丁6 12 13 410 3 12 147 14 13 168 8 12 10試問：應如何分配任務可使總工時為最少解：用“匈牙利法”求解。已知條件可用系數(shù)矩陣（效率矩陣）表示為：列約簡行約簡（

22、cij）= ABCD標號甲乙丙丁 使總工時為最少的分配任務方案為：甲D，乙B，丙A，丁C此時總工時數(shù)W=4+3+7+12=26例2：求效率矩陣的最優(yōu)解。列約簡行約簡解： 標號 所畫（）0元素少于n，未得到最優(yōu)解，需要繼續(xù)變換矩陣（求能覆蓋所有0元素的最少數(shù)直線集合）：未被直線覆蓋的最小元素為cij=1,在未被直線覆蓋處減去1,在直線交叉處加上1。標號 得最優(yōu)解：類型二：求極大值的匈牙利法：min z=max（z）（cij）（Mcij）=（bij），（cij）中最大的元素為Mmax z=第一部分到此結束第二部分 動態(tài)規(guī)劃只要求掌握動態(tài)規(guī)劃的最短路問題用“圖上標號法”解決：具體解題步驟請參看教材P

23、103（這是本套資料少見的與教材完全相同的算法類型之一，務必看書掌握）學員們只有完全理解了這種作法（思路：逆向追蹤）才有可能做題，考試時數(shù)字無論如何變化都能作出正確求解！第二部分到此結束第三部分 網(wǎng)絡分析一、求最小生成樹（最小支撐樹、最小樹）問題：破圈法任取一個圈，從圈中去掉一條權最大的邊（如果有兩條或兩條以上的邊都是權最大的邊，則任意去掉其中一條）。在余下的圖中，重復這個步驟，直到得到一個不含圈的圖為止，這時的圖便是最小樹。參考例題：例：求下圖的最小生成樹：67941510v2v1v3v5v4v6328解：用“破圈法”求得最小生成樹為：9415v2v1v3v5v4v62已得最小樹，此時權w=1+2+4+5