第三章剛體定軸轉(zhuǎn)動

1、12【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1理解角位移、角速度、角加速度的概念，理解角位移、角速度、角加速度的概念，理解剛體定軸轉(zhuǎn)動中角量與線量之間的關(guān)系。理解剛體定軸轉(zhuǎn)動中角量與線量之間的關(guān)系。 2.理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量的概念，掌握剛體定理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量的概念，掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律。軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律。3.理解轉(zhuǎn)動動能的概念，理解剛體定軸轉(zhuǎn)動理解轉(zhuǎn)動動能的概念，理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。的動能定理。4.理解角動量的概念，理解角動量守恒定律。理解角動量的概念，理解角動量守恒定律。 3 一、剛體的平動一、剛體的平動 平動剛體中所有的點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都是相同平動剛體中所有的點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都是相同的，它們在相同的時(shí)

2、間間隔內(nèi)具有相同的位的，它們在相同的時(shí)間間隔內(nèi)具有相同的位移，在同一時(shí)刻具有相同的速度和加速度。移，在同一時(shí)刻具有相同的速度和加速度。因此，平動的剛體可以看作是質(zhì)量全部集中因此，平動的剛體可以看作是質(zhì)量全部集中在質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)，所有描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量，在質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)，所有描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量，以及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)和質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的全部規(guī)律，以及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)和質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的全部規(guī)律，都可用于作平動的剛體。都可用于作平動的剛體。 45二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體中的各點(diǎn)都剛體中的各點(diǎn)都繞著同一條固定的繞著同一條固定的直線作圓周運(yùn)動，直線作圓周運(yùn)動，這條固定的直線叫這條固定的直線叫做轉(zhuǎn)軸，這種運(yùn)動做轉(zhuǎn)軸

3、，這種運(yùn)動叫做剛體的定軸轉(zhuǎn)叫做剛體的定軸轉(zhuǎn)動。動。 61角坐標(biāo)角坐標(biāo) 剛體在某時(shí)刻剛體在某時(shí)刻t相對于參考線轉(zhuǎn)過的角度相對于參考線轉(zhuǎn)過的角度 叫做角坐標(biāo)。角坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函叫做角坐標(biāo)。角坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系=（t）叫做運(yùn)動方程。）叫做運(yùn)動方程。2.角位移角位移 剛體在一段時(shí)間剛體在一段時(shí)間 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度 叫做剛體在叫做剛體在t內(nèi)的角位移內(nèi)的角位移. 12ttt1272.角速度角速度 （1）平均角速度）平均角速度 （2）瞬時(shí)角速度）瞬時(shí)角速度 tdtdttlim08 角速度是描述剛體轉(zhuǎn)動快慢的物理量。角速度是描述剛體轉(zhuǎn)動快慢的物理量。大表示剛體轉(zhuǎn)動得快，大表示剛體轉(zhuǎn)動得快

4、，小則表示剛體轉(zhuǎn)動小則表示剛體轉(zhuǎn)動得慢。角速度是矢量，但由于剛體的定軸轉(zhuǎn)得慢。角速度是矢量，但由于剛體的定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向，所以在研究定軸轉(zhuǎn)動動只有兩個轉(zhuǎn)動方向，所以在研究定軸轉(zhuǎn)動中，可以把角速度看成是代數(shù)量，并且規(guī)定：中，可以把角速度看成是代數(shù)量，并且規(guī)定：剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)，角速度為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)，角速度為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)，角速度為負(fù)。如果在轉(zhuǎn)動過程中角速動時(shí)，角速度為負(fù)。如果在轉(zhuǎn)動過程中角速度為常量，則表示剛體作勻速轉(zhuǎn)動；如果角度為常量，則表示剛體作勻速轉(zhuǎn)動；如果角速度不是常量，則表示剛體作變速轉(zhuǎn)動。速度不是常量，則表示剛體作變速轉(zhuǎn)動。 9 3.角加速度角加速度 （1）

5、平均角加速度）平均角加速度 （2）瞬時(shí)角加速度）瞬時(shí)角加速度 t22dtddtd10三、勻變速轉(zhuǎn)動三、勻變速轉(zhuǎn)動 剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，如果在任何相等剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，如果在任何相等的時(shí)間內(nèi)角速度的變化都相等，則這種的時(shí)間內(nèi)角速度的變化都相等，則這種轉(zhuǎn)動叫做勻變速轉(zhuǎn)動。顯然，勻變速轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動叫做勻變速轉(zhuǎn)動。顯然，勻變速轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)是角加速度為一恒量。動的特點(diǎn)是角加速度為一恒量。 112021attvx 質(zhì)點(diǎn)勻變速直線速運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)勻變速直線速運(yùn)動 剛體的定軸勻變速轉(zhuǎn)動剛體的定軸勻變速轉(zhuǎn)動 v = v0 + at = 0 + t 2021tt ax2202 220212 四、角量與線量的關(guān)系四、角量與線量的關(guān)

6、系 描述剛體轉(zhuǎn)動的物理量如角位移、角速度、描述剛體轉(zhuǎn)動的物理量如角位移、角速度、角加速度等往往都與剛體轉(zhuǎn)過的角度有關(guān)，角加速度等往往都與剛體轉(zhuǎn)過的角度有關(guān)，我們把它們統(tǒng)稱為角量；我們把它們統(tǒng)稱為角量； 描述剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動的位移、速描述剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動的位移、速度和加速度等物理量又叫做線位移、線速度度和加速度等物理量又叫做線位移、線速度和線加速度，我們把這些量統(tǒng)稱為線量。和線加速度，我們把這些量統(tǒng)稱為線量。 131.路程（弧長）與角位移的關(guān)系路程（弧長）與角位移的關(guān)系2.線速度與角速度的關(guān)系線速度與角速度的關(guān)系3.切向加速度與角加速度的關(guān)系切向加速度與角加速度的關(guān)系4.法向加速度與

7、角速度的關(guān)系法向加速度與角速度的關(guān)系s = r rra 222)(rrrrvan14例例1 1 汽車發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)速在汽車發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)速在1212秒內(nèi)由秒內(nèi)由1200 rev/min1200 rev/min增加到增加到3000 rev/min3000 rev/min。（1 1）設(shè)發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)動是勻加速轉(zhuǎn)動，）設(shè)發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)動是勻加速轉(zhuǎn)動，求角加速度。求角加速度。（2 2）在這段時(shí)間內(nèi)，發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)了多少）在這段時(shí)間內(nèi)，發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？轉(zhuǎn)？ 15一、一、力矩力矩力矩力矩 等于由轉(zhuǎn)軸指向力的等于由轉(zhuǎn)軸指向力的作用點(diǎn)的矢徑作用點(diǎn)的矢徑 與作用力與作用力 的矢量積。的矢量積。 MrFFrM16力矩的大小：力矩的大

8、?。篗 = Fd = Frsin 力矩的方向：為力矩的方向：為 的方向。的方向。 在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，力矩的作用效果只有在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，力矩的作用效果只有兩個可能的方向，因此，可以把力矩看作代兩個可能的方向，因此，可以把力矩看作代數(shù)量。并規(guī)定，數(shù)量。并規(guī)定，作用效果是使物體由靜止開作用效果是使物體由靜止開始沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的力矩為正，使物體由始沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的力矩為正，使物體由靜止開始沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的力矩為負(fù)。靜止開始沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的力矩為負(fù)。合合力矩就等于各個力矩的代數(shù)和。力矩就等于各個力矩的代數(shù)和。 Fr17二、轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動定律 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體所獲得的角加速剛體繞定軸轉(zhuǎn)動

9、時(shí)，剛體所獲得的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。這個結(jié)論叫做剛體的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量成反比。這個結(jié)論叫做剛體的轉(zhuǎn)動定律。定律。 IM 18三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量 1.轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：轉(zhuǎn)動慣量的物理意義： 以同樣的力矩分別作用于兩個繞定軸轉(zhuǎn)動以同樣的力矩分別作用于兩個繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，轉(zhuǎn)動慣量大的剛體獲得的角加速度的剛體，轉(zhuǎn)動慣量大的剛體獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有的小，即角速度改變得慢，也就是保持原有的轉(zhuǎn)動狀態(tài)的慣性大；轉(zhuǎn)動慣量小的剛體獲得轉(zhuǎn)動狀態(tài)的慣性大；轉(zhuǎn)動慣量小的剛體獲得的角加速度大，即角速度改變得快

10、，剛體保的角加速度大，即角速度改變得快，剛體保持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)的慣性小。持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)的慣性小。 由此可見，轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動現(xiàn)由此可見，轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動現(xiàn)象中慣性大小的物理量。象中慣性大小的物理量。 192.轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算（1）質(zhì)點(diǎn)組相對于轉(zhuǎn)軸（或參考點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動）質(zhì)點(diǎn)組相對于轉(zhuǎn)軸（或參考點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動慣量：慣量：（2）質(zhì)量連續(xù)分布的剛體相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動）質(zhì)量連續(xù)分布的剛體相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：慣量：2iirmIdmrI2203.影響轉(zhuǎn)動慣量大小的因素影響轉(zhuǎn)動慣量大小的因素（1）轉(zhuǎn)動慣量的大小與剛體的質(zhì)量有關(guān)。當(dāng)）轉(zhuǎn)動慣量的大小與剛體的質(zhì)量有關(guān)。當(dāng)剛體的幾何形狀和轉(zhuǎn)軸都相

11、同時(shí)，質(zhì)量越大剛體的幾何形狀和轉(zhuǎn)軸都相同時(shí)，質(zhì)量越大的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量也越大。的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量也越大。（2）轉(zhuǎn)動慣量的大小與剛體質(zhì)量的分布有關(guān)。）轉(zhuǎn)動慣量的大小與剛體質(zhì)量的分布有關(guān)。當(dāng)剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)軸都相同時(shí)，質(zhì)量分布得當(dāng)剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)軸都相同時(shí)，質(zhì)量分布得離軸越遠(yuǎn)，其轉(zhuǎn)動慣量也越大。離軸越遠(yuǎn)，其轉(zhuǎn)動慣量也越大。（3）轉(zhuǎn)動慣量的大小與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，同）轉(zhuǎn)動慣量的大小與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，同一個剛體，繞不同的軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量也一個剛體，繞不同的軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量也不相同。不相同。 21例例2 2 計(jì)算一長度為計(jì)算一長度為L L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m的勻的勻質(zhì)細(xì)桿的轉(zhuǎn)動慣量。質(zhì)細(xì)桿的轉(zhuǎn)動慣量。（

12、1 1）桿繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動；）桿繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動；（2 2）桿繞一端的垂直軸轉(zhuǎn)動。）桿繞一端的垂直軸轉(zhuǎn)動。22四、運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律解決問題的基四、運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律解決問題的基本思路和步驟：本思路和步驟： 第一，一般用隔離法選取研究對象；第一，一般用隔離法選取研究對象； 第二，分析轉(zhuǎn)動物體受力，分析產(chǎn)生力矩的第二，分析轉(zhuǎn)動物體受力，分析產(chǎn)生力矩的外力，確定動力矩和阻力矩。分析確定剛體外力，確定動力矩和阻力矩。分析確定剛體的角加速度，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律列出具體形式的的角加速度，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律列出具體形式的動力學(xué)方程求解。動力學(xué)方程求解。 第三，如果是質(zhì)點(diǎn)和剛體通過細(xì)繩相聯(lián)系的第三，如果是質(zhì)點(diǎn)和剛體通過細(xì)繩相聯(lián)系的

13、綜合問題，對剛體列出具體形式的轉(zhuǎn)動定律綜合問題，對剛體列出具體形式的轉(zhuǎn)動定律方程，對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動列出具體形式的牛頓方程，方程，對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動列出具體形式的牛頓方程，再列出再列出 聯(lián)立求解。聯(lián)立求解。ra 23例例3 一力矩一力矩M作用于飛輪上，使飛輪獲得作用于飛輪上，使飛輪獲得角加速度角加速度 ，如果撤去力矩，如果撤去力矩M，則飛輪，則飛輪的角加速度變?yōu)榈慕羌铀俣茸優(yōu)?，求飛輪的轉(zhuǎn)動慣，求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量。量。 1224例4 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為 的圓柱體可以繞通過其軸線的圓柱體可以繞通過其軸線的固定軸轉(zhuǎn)動，在圓柱體上的固定軸轉(zhuǎn)動，在圓柱體上繞了一根長線，線的一端系繞了一根長線，線的一端系有

14、一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 的重物。的重物。當(dāng)重物下落時(shí)，也拖著圓柱當(dāng)重物下落時(shí)，也拖著圓柱體繞軸轉(zhuǎn)動，設(shè)圓柱體與軸體繞軸轉(zhuǎn)動，設(shè)圓柱體與軸之間的摩擦可以忽略不計(jì)，之間的摩擦可以忽略不計(jì)，求求 下落的加速度。下落的加速度。 1m2m2m25一、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能一、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能 221IEk26二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 合外力矩對剛體所做的功等于剛體合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。轉(zhuǎn)動動能的增量。 2022121IIA27 一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量（1）質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量）質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量（2）剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量）剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量mrLIL 28二、角動量定理二、角動量定理 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，作用在剛體上的沖量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量。這一結(jié)論叫做角矩等于剛體角動量的增量。這一結(jié)論叫做角動量定理。動量定理。 1221IIdtMtt29三、角動量