第9章微分方程初值問題的數(shù)值解法-1

1、第九章第九章 微分方程初值問題的數(shù)值解法微分方程初值問題的數(shù)值解法內(nèi)容提綱內(nèi)容提綱 引言引言 Euler法及其改進(jìn)法及其改進(jìn) Runge-Kutta方法方法 線性多步法線性多步法 誤差分析誤差分析 數(shù)值解法的收斂性、相容性和穩(wěn)定性數(shù)值解法的收斂性、相容性和穩(wěn)定性 邊值問題數(shù)值解法簡(jiǎn)介邊值問題數(shù)值解法簡(jiǎn)介 引言引言 初值問題的數(shù)值解法初值問題的數(shù)值解法: :求初值問題的解在一系列節(jié)點(diǎn)的值求初值問題的解在一系列節(jié)點(diǎn)的值 y ( xn )的近似值的近似值 yn 的方法的方法. .本章數(shù)值解法的特點(diǎn)本章數(shù)值解法的特點(diǎn): :都是采用都是采用“步步進(jìn)式進(jìn)式”, ,即求解過程順著節(jié)點(diǎn)排列的次序一步步向前推進(jìn)

2、即求解過程順著節(jié)點(diǎn)排列的次序一步步向前推進(jìn). .基本知識(shí)基本知識(shí): :(1)(1)定理定理1:1: 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x , y)在區(qū)域在區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù),且關(guān)于且關(guān)于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件常微分方程初值問題常微分方程初值問題: :00( ,), , ()dyfx yxa bdxy xy求未知函數(shù)求未知函數(shù) y= y (x) . ( , )|,Dx yaxb yR121212|( ,)( ,) |( ,),( ,),0f x yf x yL yyx yDx yDL 此時(shí)此時(shí)Lipschitz條件顯然成立條件顯然成立. 故常用故常用 在在D上連續(xù)有界來代上連續(xù)有界來代替

3、替 f (x , y)關(guān)于關(guān)于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件.注注: : 如無特別說明如無特別說明, ,總假設(shè)總假設(shè)(1)(1)的解存在唯一且足夠光滑的解存在唯一且足夠光滑. . 在在f (x , y)對(duì)變量對(duì)變量 y 可微的情形下可微的情形下, 若偏導(dǎo)數(shù)若偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)有界連續(xù)有界, 則則可取可取L為為除了要保證除了要保證(1)(1)有唯一解外有唯一解外, ,還需保證微分方程本身是穩(wěn)定的還需保證微分方程本身是穩(wěn)定的, ,即即(1)(1)的解連續(xù)依賴于初始值和函數(shù)的解連續(xù)依賴于初始值和函數(shù) f (x , y). 也就是說也就是說, 當(dāng)初當(dāng)初始值始值 y0 及函數(shù)及函數(shù) f (x , y

4、)有微小變化時(shí)有微小變化時(shí), 只能引起解的微小變化只能引起解的微小變化.( (其中其中L 稱為稱為L(zhǎng)ipschitzLipschitz常數(shù)常數(shù)),),則對(duì)任何則對(duì)任何 , ,初值問題初值問題(1)(1)在在 a , ,b 上存在唯一連續(xù)可微解上存在唯一連續(xù)可微解 y = y (x).00(,)xyDfy( ,)( ,)max |x yDf x yLyfy定理定理2:2: 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x , y)在區(qū)域在區(qū)域 上關(guān)于上關(guān)于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件, 則則(1)是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的.( , )|,Dx yaxb yR單步迭代單步迭代: 計(jì)算計(jì)算 yn+1時(shí)僅用時(shí)僅用 yn

5、;初值問題初值問題(1)與下列積分方程的解等價(jià)與下列積分方程的解等價(jià): 00( )( ,( )xxy xyf t y tdt初值問題的數(shù)值解就是求一系列節(jié)點(diǎn)初值問題的數(shù)值解就是求一系列節(jié)點(diǎn)上函數(shù)上函數(shù) y= y (x)的近似值的近似值 . 稱為稱為步長(zhǎng)步長(zhǎng). 一般取等步長(zhǎng)一般取等步長(zhǎng) h .01naxxxb01,nyyy1iiixxx多步迭代多步迭代: 計(jì)算計(jì)算 yn+1時(shí)除用時(shí)除用 yn 外外, 還要用到還要用到 yn 1, yn 2 ,; k 步迭步迭代要用到代要用到 yn 1, yn 2 , yn k+1 . 顯式單步迭代顯式單步迭代: 1(, )nnnnyyhxyh隱式單步迭代隱式單步

6、迭代: 11(, )nnnnnyyhxyyh(2)(2)一、一、EulerEuler方法及其改進(jìn)方法及其改進(jìn) 將將 a , b n 等分等分, , 記記 ,(0,1, )kbahxakhknn微分法微分法: : 111100()()()()()(,)0,1,1()kkkkkkkkkkky xy xy xy xy xxxhyyh f xykny xy積分法積分法: : 11(1)()()( , ( )kkxkkxy xy xf t y tdt積分項(xiàng)利用矩形公式計(jì)算積分項(xiàng)利用矩形公式計(jì)算 11( , ( )(,)()()(,)kkxkkkkkkxf t y t dth f xyy xy xh f

7、xy1. 1. 顯式顯式EulerEuler方法方法 ( () )TaylorTaylor公式推導(dǎo)公式推導(dǎo): : 2111()()()(),2(,)0,1,1kkkkkkkkkkkhy xy xhy xyxxyyh f xyknEulerEuler公式幾何意義公式幾何意義: : P1P2Pk也稱折線法也稱折線法 P0 xy2. 2. 梯形法梯形法 稱之為梯形公式稱之為梯形公式. .這是一個(gè)隱式公式這是一個(gè)隱式公式, ,通常用迭代法求解通常用迭代法求解. .具體具體做法做法: : 取取 先用先用EulerEuler法求出初值法求出初值 , ,即即 , ,將其代將其代入梯形公式的右端入梯形公式的右

8、端, ,使之轉(zhuǎn)化為顯式公式使之轉(zhuǎn)化為顯式公式, ,即即 注注: : 當(dāng)當(dāng) f (x , y)關(guān)于關(guān)于y滿足滿足Lipschitz條件且步長(zhǎng)條件且步長(zhǎng)h 滿足滿足 直至滿足直至滿足: : 若采用梯形公式計(jì)算若采用梯形公式計(jì)算( () )中的積分項(xiàng)中的積分項(xiàng), ,則有則有111111()()(, ()(, ()2(,)(,)2kkkkkkkkkkkkhy xy xf xy xf xy xhyyf xyf xy(0)1ky(0)1(,)kkkkyyh f xy(1)( )111(,)(,)2llkkkkkkhyyf xyf xy(1)( )11|llkkyy(1)11lkkyy類似地類似地, ,可得

9、可得23,kkyy() 112h L 時(shí)時(shí), ,迭代格式迭代格式 () 收斂收斂 . 3. 3. 改進(jìn)的改進(jìn)的EulerEuler方法方法 把把EulerEuler法作為預(yù)報(bào)法作為預(yù)報(bào)( (稱為預(yù)估公式稱為預(yù)估公式),),把隱式的梯形公式作為校把隱式的梯形公式作為校正正( (稱為校正公式稱為校正公式 ),),則得改進(jìn)的則得改進(jìn)的EulerEuler方法方法: :1111(,)(,)(,)2kkkkkkkkkkyyh f xyhyyf xyf xy或或11 (,)(,(,)2kkkkkkkkhyyf xyf xyh f xy也稱為預(yù)估也稱為預(yù)估- -校正法校正法. .有時(shí)為了方便有時(shí)為了方便,

10、,預(yù)估預(yù)估- -校正格式也寫成下面形式校正格式也寫成下面形式: :11122121(,)(,)kkkkkkyyKKKh fxyKh fxh yhK二、單步法的局部截?cái)嗾`差及精度二、單步法的局部截?cái)嗾`差及精度 Def 1: 先假設(shè)先假設(shè) ,再估計(jì)誤差再估計(jì)誤差這種誤差稱為單步迭代法在這種誤差稱為單步迭代法在 xk+1處的局部截?cái)嗾`差處的局部截?cái)嗾`差.()kky xy,1() ()(, (), )k hkkkkRy xy xhxy xhDef 2: 若某種數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為若某種數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為 ,則稱該數(shù)則稱該數(shù)值方法的精度為值方法的精度為P 階的階的.1()pO h注注: : 通

11、常情況下通常情況下, ,P 越大越大, h 越小越小, ,則截?cái)嗾`差越小則截?cái)嗾`差越小, ,數(shù)值方法越數(shù)值方法越精確精確. . 設(shè)設(shè) 1 10 0 .Euler.Euler方法是一階方法方法是一階方法. .()kkyy x所以所以EulerEuler方法為一階方法方法為一階方法. . 而而 211211()()()(),2()()(,()()kkkkkkkkkkky xy xh yxh yxxy xy xh fxy xO h122,11(,),()()()2kkkkk hkkkyyh fxyhRy xyyO h2 20 0 . . 梯形法是二階方法梯形法是二階方法. .231231112311

12、1()()()()()2()()()()()22 ()()()()()()()2kkkkkkkkkkkkkkhy xy xhy xyxO hhy xy xhy xyxO hhy xy xh y xy xyxyxO hTaylorTaylor展開展開 將將 代入上式代入上式, ,得得 1()()( )kkyxyxO h311()()()()()2kkkkhy xy xy xy xO h11131131111()()()()2(,)(,)()2(, ()(,)()2kkkkkkkkkkkkkkhy xyy xy xy xyhf xyf xyO hhf xy xf xyO h11111(, )11(

13、, ()(,)|( ()kkkkkxkkff xy xf xyy xyy而而代入上式得代入上式得:13(, )11(1|)( ()()2kxkkhfy xyO hy當(dāng)當(dāng)h充分小時(shí)充分小時(shí), 若若 , 則可選取則可選取 h , 使得使得|1fLy故梯形法的精度為故梯形法的精度為2 . . 同樣可以證明同樣可以證明改進(jìn)的改進(jìn)的EulerEuler法也是二階方法法也是二階方法. . 梯形法的梯形法的局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差為為: : 3,111()(),12k hkkkkkkhRy xyfxx 1(,)|12kxhfy從而從而111(, )(, )33,11(, )11|21|2()(1|)()()

14、2kkkxxk hkkxhfhfyyhfRy xyO hO hy例例1: 1)0(20,2yxxyydxdy取步長(zhǎng)取步長(zhǎng) h = 2/10, 2/20, 2/30, 2/40, 分別用歐拉法、改進(jìn)的歐拉法分別用歐拉法、改進(jìn)的歐拉法和梯形法求解和梯形法求解.解解: 記記 f (x, y) = y x y2, xk= k h (k = 0, 1, 2, n )(1) . Euler法法: yk+1 = yk + h( yk xk yk2 ) (k = 0, 1, ,n) y0 = 1當(dāng)當(dāng) h = 2/10時(shí)時(shí), n=10. 由由Euler公式可得公式可得: k01234yk+11.21.38241

15、.5061.53504 1.46503k56789yk+11.32877 1.17077 1.02113 0.89169 0.783788(2) . 改進(jìn)的改進(jìn)的Euler法法: 2212210()()2() ,0,1,1kkkkkkkkkkkkkkhyyyx yyh yx yxyh yx yknyk01234yk+11.19121.343841.423481.419051.3473k56789yk+11.237261.114240.994151 0.884751 0.788666(3) . 梯形法梯形法(計(jì)算過程略計(jì)算過程略) 221111(),0,1,2kkkkkkkkhyyyx yyxy

16、kn(1)2( )( )21111()() ,0,1,2,2lllkkkkkkkkhyyyx yyxyl n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05誤差誤差 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256Euler法誤差法誤差:改進(jìn)的改進(jìn)的Euler法誤差法誤差: n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05誤差誤差 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e- -004-101234500.511.5預(yù)預(yù)-校方法校方法, h=0.2時(shí)時(shí)誤差最大值誤差最大值: 0.0123-101234500.511.52歐拉方法歐拉

17、方法, h=0.2時(shí)時(shí)誤差最大值誤差最大值: 0.1059xexxy 211)(解析解解析解: :三、三、Runge -Kutta 方法方法1 1、Taylor 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)法法 設(shè)初值問題設(shè)初值問題 有解有解 y (x), 由由Tayler公式得公式得: :00( , ), (),yf x yy xyaxb2()11()()()()()()2!pppkkkkkhhy xy xhy xyxyxO hp令令當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有 . 此時(shí)此時(shí)為為 p 階階Taylor方法方法. p=1時(shí)即為時(shí)即為Euler公式公式.稱之為稱之為Taylor級(jí)數(shù)法級(jí)數(shù)法. 其中其中例例2: 取步長(zhǎng)取步長(zhǎng) h = 0.1,

18、 用一階、二階和四階用一階、二階和四階Taylor方法求解下列方法求解下列初值問題初值問題2()12!ppkkkkkhhyyh yyyp( )( )(),0,1,2,iikkyyxip( )( )()iikkyyx111()()pkky xyO h解解: (1) 一階一階Taylor法法21,0.2(0)1yyxy210.1kkkyyyk01234yk+11.11.2211.37008 1.55779 1.80046(2) 二階二階Taylor法法232231()220.10.122!kkkkyyyyyyyyyk01234yk+11.111.24689 1.42175 1.65263 1.97

19、088(3) 四階四階Taylor法法324(4)3523423451(2)6624240.10.10.10.126242!3!4!kkkkkkyyy yyyy yyyyyyyyk01234yk+11.11111.24996 1.42848 1.66644 1.99942記記由由得得稱為稱為xk , xk+1上的平均斜率上的平均斜率. 故故2 2、Runge -Kutta方法方法11()()( )()kkkky xy xyxxh1()()( )()( , ( )kkky xy xhyy xh fy*( , ( )Kfy只要對(duì)只要對(duì)K*提供不同的算法提供不同的算法, 就會(huì)得出不同的計(jì)算公式就會(huì)得

20、出不同的計(jì)算公式. 如取如取則得改進(jìn)的則得改進(jìn)的Euler公式公式, 它是利用它是利用xk , xk+1兩點(diǎn)的斜率值兩點(diǎn)的斜率值K1 , K2 的的算術(shù)平均值作為算術(shù)平均值作為K*, 精度比精度比Euler法高法高.則得則得Euler公式公式; 取取*1()()kky xy xhK*(,)kkKf xy*1212111(),(,),(,)2kkkkKKKKf xyKf xyhKRunge-Kutta法的法的基本思想基本思想: 設(shè)法在設(shè)法在xk , xk+1內(nèi)多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率內(nèi)多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率, 再將它們的加權(quán)平再將它們的加權(quán)平均值作為平均斜率均值作為平均斜率K*一般顯式一般顯式Runge-

21、Kutta公式公式為為: 1111(,1,2,rkkiiiiikiki jjjyyhc kkf xh yhkir其中其中 為待定參數(shù)為待定參數(shù), 且且 . 稱為稱為r 級(jí)級(jí)Runge-Kutta方方法計(jì)算公式法計(jì)算公式. ,iii jc 10注注: 式中待定參數(shù)的確定式中待定參數(shù)的確定: 先將先將式右端在式右端在(xk , yk ) 處展成處展成h的冪的冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(即將即將 yk+1 展成展成 h 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)); 再將再將 y(xk+1) 作作Taylor 級(jí)數(shù)展開級(jí)數(shù)展開;最后比較兩式中最后比較兩式中hk ( k=0,1,2,)的系數(shù)的系數(shù), 以確定出所有待定參數(shù)以確定出所有待定參數(shù).

22、即可得即可得 p 個(gè)方程個(gè)方程, 從而確定出待定參數(shù)從而確定出待定參數(shù). 代入表達(dá)式即可得到計(jì)代入表達(dá)式即可得到計(jì)算公式算公式. 如果要求兩個(gè)表達(dá)式的前如果要求兩個(gè)表達(dá)式的前p+1項(xiàng)完全重合項(xiàng)完全重合, 即局部截?cái)嗉淳植拷財(cái)嗾`差達(dá)到誤差達(dá)到 , 則稱則稱式為式為 p 階階 r 級(jí)級(jí)的的Runge-Kutta方法方法. 常用的是常用的是 r =2,3,4 級(jí)的級(jí)的R-K方法方法, 且適當(dāng)選取參數(shù)使得且適當(dāng)選取參數(shù)使得 p = r . 如要求如要求: 2311232()11112!3!()()()()()()2!kkpppkkkkkyyrhr hr hhhy xy xhy xyxyxO hp()1

23、2(),(),()pkkpkryxryxryx1()pO hRunge-Kutta方法的推導(dǎo)方法的推導(dǎo)(以以r =2為例為例): 當(dāng)當(dāng)r =2 時(shí)時(shí)11 122122211()(,)(,)kkkkkkyyh c kc kkf xykf xh yhk則則1122211(,)(,)kkkkkkyyhc f xyhc f xh yhk記記(,),(,),(,)kkxxkkyykkff xyffxyffxy1222112221 111 12223122221 1,(,)(,)()() ,()()()()kkkkxykkkxykfkf xh yhkf xyhfk fO hyyc kc khyccf hc

24、fk fhO h又又(,),kkxyyf xyfyff f23123()()()()()2()()2kkkkkxyhy xy xh yxyxO hhyh fff fO h(1) 常用的二階常用的二階Runge-Kutta方法方法: 預(yù)估預(yù)估-校正算法校正算法(2)這是一個(gè)四個(gè)參數(shù)三個(gè)方程的非線性方程組這是一個(gè)四個(gè)參數(shù)三個(gè)方程的非線性方程組. 它有一個(gè)自由度它有一個(gè)自由度. 稱滿足上述方程組的一族公式為二級(jí)二階稱滿足上述方程組的一族公式為二級(jí)二階Runge-Kutta方法方法.為使局部截?cái)嗾`差為為使局部截?cái)嗾`差為 , ,比較上述兩式右端同次冪系數(shù)比較上述兩式右端同次冪系數(shù), ,應(yīng)應(yīng)取取3()O

25、h122222111/ 21/ 2cccc122211/ 2,1cc112121() / 2(,)(,)kkkkkkyyh kkkfxykfxh yhk122210,1,1cc1212122(,)(,)kkkkhhkkyyhkkfxykfxyk注注: 二級(jí)二級(jí)Runge-Kutta方法的精度最高是二階的方法的精度最高是二階的,不可能達(dá)到三階不可能達(dá)到三階. 要提高計(jì)算方法的階要提高計(jì)算方法的階, 就必須增加預(yù)報(bào)點(diǎn)就必須增加預(yù)報(bào)點(diǎn). 常用的三階常用的三階Runge-Kutta方法方法(r =3): (1) Heun (休恩休恩)方法方法 中間點(diǎn)方法中間點(diǎn)方法 (3) 122211/ 4,3/ 4

26、,2/3cc1121222133(3) / 4(,)(,)kkkkkkyyh kkkfxykfxh yhk11231112122312(4) / 6(,)(,)(,2)kkkkkkkkyyh kkkkfxykfxh yhkkfxh yhkhk三階三階Kutta方法方法 (1) 三階三階Heun方法方法 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(經(jīng)典經(jīng)典)四階四階Runge-Kutta方法方法 (2) 1131112133223233(3) / 4(,)(,)(,)kkkkkkkkyyh kkkfxykfxh yhkkfxh yhk常用的四階常用的四階Runge-Kutta方法方法(r =4): 112341112122113

27、22243(22) / 6(,)(,)(,)(,)kkkkkkkkkkyyh kkkkkfxykfxh yhkkfxh yhkkfxh yhk(2) 稱為稱為Gill(吉爾吉爾)方法方法 1123411121222122131222222242322(22 )(22 )/ 6(,)(,)(,)(,)kkkkkkkkkkyyh kkkkkfxykfxh yhkkfxh yhkhkkfxh yhkhk注注: 從理論上講從理論上講,可以構(gòu)造任意高階的計(jì)算方法可以構(gòu)造任意高階的計(jì)算方法. 但事實(shí)上但事實(shí)上, 精度精度的階數(shù)與預(yù)報(bào)點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間并非等量關(guān)系的階數(shù)與預(yù)報(bào)點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間并非等量關(guān)系. 預(yù)報(bào)點(diǎn)的個(gè)

28、數(shù)預(yù)報(bào)點(diǎn)的個(gè)數(shù) r123456789r 10精度的階數(shù)精度的階數(shù)123445667 r - -2一般情況下一般情況下, 四階四階Runge-Kutta方法已可滿足精度要求方法已可滿足精度要求. 例例3: 用經(jīng)典用經(jīng)典Runge-Kutta方法求解下列初值問題方法求解下列初值問題(取取 h = 0.1) 2,01(0)1yxyxy 解解: 0010.1,0,1,0.1(0,1,9)kkhxyxxk標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)Runge-Kutta公式為公式為: 1123412132430.1 (22) / 622(0.05)0.052(0.05)0.052(0.1)0.1kkkkkkkkkkyykkkkkxykxy

29、kkxykkxyk計(jì)算結(jié)果見下表計(jì)算結(jié)果見下表. 為比較在相同計(jì)算量條件下近似解的精度為比較在相同計(jì)算量條件下近似解的精度, 表表中列出了中列出了Euler法法(h =0.025)和改進(jìn)的和改進(jìn)的Euler法法(h=0.05)在相應(yīng)節(jié)在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上的計(jì)算結(jié)果點(diǎn)上的計(jì)算結(jié)果. xiEuler法法h=0.025改進(jìn)改進(jìn)Euler法法h=0.05經(jīng)典經(jīng)典R-K法法h=0.1準(zhǔn)確解準(zhǔn)確解0.11.1114391.1153801.1155121.1155130.21.2552091.2639141.2642081.2642080.31.4346671.4490891.4495761.4495760.41.

30、6535171.6747561.6754731.6754740.51.9158491.9451711.9461621.9461640.62.2261782.2650402.2663542.2663560.72.5894852.6395612.6412552.6412580.83.0112713.0744793.0766193.0766230.93.4976063.5761443.5788043.5788091.04.0551924.1515734.1548394.154845注注: 用表中每種方法計(jì)算用表中每種方法計(jì)算 yi 都需要計(jì)算四次都需要計(jì)算四次 f 的值的值, 即它們的計(jì)即它們的計(jì)算

31、量基本相等算量基本相等. 四、四、單步單步法的進(jìn)一步討論法的進(jìn)一步討論收斂性、相容性與穩(wěn)定性收斂性、相容性與穩(wěn)定性注注: 由定義可知由定義可知, 數(shù)值方法的收斂性并不涉及計(jì)算過程的舍入誤數(shù)值方法的收斂性并不涉及計(jì)算過程的舍入誤差差, 只與方法的截?cái)嗾`差有關(guān)只與方法的截?cái)嗾`差有關(guān). 若格式收斂若格式收斂, 則整體截?cái)嗾`差必趨則整體截?cái)嗾`差必趨于零于零. Def : (整體截?cái)嗾`差整體截?cái)嗾`差) 稱稱 為某一數(shù)值方法在點(diǎn)為某一數(shù)值方法在點(diǎn) xk 處的整體截?cái)嗾`差處的整體截?cái)嗾`差. 它不僅與它不僅與 xk 有關(guān)有關(guān), 也也與與xk -1, xk -2 , x1, x0 有關(guān)有關(guān). ()kkkey x

32、y則稱該單步法收斂則稱該單步法收斂. Def : 對(duì)滿足解存在唯一性條件的初值問題對(duì)滿足解存在唯一性條件的初值問題(1), 如果一個(gè)顯式單如果一個(gè)顯式單步法步法(3)產(chǎn)生的近似解對(duì)于任一固定的產(chǎn)生的近似解對(duì)于任一固定的 , 均均有有 00, ),xxbxxnh0lim( )nhyy x1. 收斂性收斂性由于由于 , 且且 關(guān)于關(guān)于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件, 得得 則存在常數(shù)則存在常數(shù) c 0 使得使得 且單步法中函數(shù)且單步法中函數(shù) 關(guān)于關(guān)于 y 滿足滿足Lipschitz條件條件, 則則 定理定理1: 若初值問題的一個(gè)單步法的局部截?cái)嗾`差為若初值問題的一個(gè)單步法的局部截?cái)嗾`差為

33、 記記 證證: 由局部截?cái)嗾`差的定義知由局部截?cái)嗾`差的定義知1,() (1)pn hRO hp( ,)x y h111()()pnnney xyO h1,1()()(, (), )()pn hnnnnRy xy xhxy xhO h()(, (), )nnnyy xhxy xh11|()|pny xych1(, )nnnnyyhxyh( ,)x y h1| | ()|(, (), )(, )|(1)| ()|nnnnnnnnnyyy xyhxy xhxyhhLy xy故故 從而有從而有 故故 若若 y(x0) = y0, 則則e0=0, 由不等式由不等式 得得 111111| |()| |()

34、|(1) |nnnnnpney xyy xyyychhLe111112112+10+11+10|(1)(1)|1(1)(1) |1(1)(1)(1) (1)|(1)1(1)|(1)1ppnnpnpnnnpnechhLchhLechhLhLechhLhLhLhLehLchhLehL210112hLhLhLhLe！0(1)nnhLhLe+( +1)1( +1)11|1(1)1nhLppnhLnecechhehLL設(shè)單步法為設(shè)單步法為 注注: 定理表明定理表明, 數(shù)值方法的整體截?cái)嗾`差比局部截?cái)嗾`差低一階數(shù)值方法的整體截?cái)嗾`差比局部截?cái)嗾`差低一階. 收斂的方法至少是一階方法收斂的方法至少是一階方法.

35、 在該定義條件下在該定義條件下, Euler方法是一階方法是一階的的, 預(yù)估預(yù)估-校正方法是二階校正方法是二階. 當(dāng)當(dāng)f (x , y)關(guān)于關(guān)于 y 也滿足也滿足Lipschitz條件條件, r 級(jí)級(jí)Runge-Kutta方法中的方法中的 關(guān)于關(guān)于 y 也滿足也滿足Lipschitz條件條件, 故定故定理中的條件得到滿足理中的條件得到滿足, 解的收斂性得到保證解的收斂性得到保證.由于由于R n, h0(h0), 且且 xn為任意點(diǎn)為任意點(diǎn), 故該式相當(dāng)于用近似方程故該式相當(dāng)于用近似方程 當(dāng)當(dāng)x = xn+1固定時(shí)固定時(shí), , 所以有所以有 10( +1)nnhxxba+=-()11|1pb-a

36、 Lpncehec hL2. 相容性相容性通過在通過在 x = xn 處求解近似方程而獲得原方程的近似解處求解近似方程而獲得原方程的近似解. 因此因此,必須必須要求當(dāng)要求當(dāng)h0 時(shí)時(shí), 近似方程應(yīng)逼近于原方程近似方程應(yīng)逼近于原方程.來代替來代替 因此因此, 要使要使 h0 時(shí)時(shí), 近似方程的極限狀態(tài)為原微分方程近似方程的極限狀態(tài)為原微分方程, 需且只需且只需下列極限成立需下列極限成立:由于由于 由于假設(shè)由于假設(shè) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 故上式可表示為故上式可表示為 Def : 如果當(dāng)如果當(dāng)h0時(shí)時(shí), 近似方程逼近微分方程近似方程逼近微分方程, 則稱數(shù)值公式則稱數(shù)值公式與原微分方程相容與原微分方

37、程相容. 相容的充要條件相容的充要條件: 事實(shí)上事實(shí)上: Remark: 可以證明若單步法的階大于或等于可以證明若單步法的階大于或等于1, 則單步法與微分方則單步法與微分方程相容程相容; 反之反之, 如果單步法與微分方程相容如果單步法與微分方程相容, 且且 關(guān)于關(guān)于 y 滿滿足足Lipschitz條件條件, 則單步法至少為一階方法則單步法至少為一階方法. (h0) (1) 若單步法的階大于或等于若單步法的階大于或等于1, 由由 知知 即單步法與微分方程相容即單步法與微分方程相容. 故有故有 (2) 如果單步法與微分方程相容如果單步法與微分方程相容, 且且 關(guān)于關(guān)于y 滿足滿足Lipschitz

38、條件條件, 則則關(guān)于關(guān)于 單步法的收斂性以及收斂性定理都是在計(jì)算過程中無任何單步法的收斂性以及收斂性定理都是在計(jì)算過程中無任何舍入誤差的前提條件下建立的舍入誤差的前提條件下建立的, 但在實(shí)際計(jì)算時(shí)通常會(huì)有舍入誤但在實(shí)際計(jì)算時(shí)通常會(huì)有舍入誤差及其積累差及其積累, 數(shù)值求解微分方程的過程是一個(gè)遞推公式數(shù)值求解微分方程的過程是一個(gè)遞推公式, 必須考必須考 即與微分方程相容的單步法至少為一階方法即與微分方程相容的單步法至少為一階方法. Remark: 在定理?xiàng)l件下在定理?xiàng)l件下, Euler方法、預(yù)估方法、預(yù)估-校正方法以及校正方法以及Runge-Kutta方法都與原微分方程相容方法都與原微分方程相容.中連續(xù)中連續(xù), 且關(guān)于變量且關(guān)于變量y 滿足滿足Lipschitz條件條件, 則單步法收斂的充要條則單步法收斂的充要條件為相容性條件成立件為相容性條件成立. Th1. 設(shè)增量函數(shù)設(shè)增量函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 3. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 如果數(shù)值方法在計(jì)算過程中舍入誤差的積累越來越大如果數(shù)值方法在計(jì)算過程中舍入誤差的積累越來越大, 得不得不到