車(chē)輛控制理論的ppt課件

1、控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型v現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。v在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述的。v它能反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的變化,從而能同時(shí)確定系統(tǒng)的全部?jī)?nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而且還可以方便地處理初始條件。v因而,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的全部信息,是對(duì)系統(tǒng)行為的一種完全描述。v狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機(jī)系統(tǒng)等。v因而,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣,對(duì)各種不同的系統(tǒng),其數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡(jiǎn)單而且統(tǒng)一。v更突出的優(yōu)點(diǎn)是,它能夠方便地利用數(shù)字計(jì)算

2、機(jī)進(jìn)行運(yùn)算和求解,甚至直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型狀態(tài)和狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的概念的基礎(chǔ)上的,因而因而,對(duì)這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)對(duì)這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)格的定義和相應(yīng)的討論格的定義和相應(yīng)的討論,必須準(zhǔn)確掌握和深入必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。理解。狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)變量狀態(tài)空間狀態(tài)空間狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)(亦稱(chēng)動(dòng)力學(xué)亦稱(chēng)動(dòng)力學(xué))系統(tǒng)的系統(tǒng)的“狀態(tài)這個(gè)詞的字面意思就是指系統(tǒng)狀態(tài)這個(gè)詞的字面意思就是指系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在

3、將來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀況。過(guò)去、現(xiàn)在將來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀況。正確理解正確理解“狀態(tài)的定義與涵義狀態(tài)的定義與涵義,對(duì)掌握狀態(tài)空間分析方法十分重對(duì)掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。要?！盃顟B(tài)的定義如下。狀態(tài)的定義如下。定義定義 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述系統(tǒng)時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的是指能夠完全描述系統(tǒng)時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)最小變量組。一個(gè)最小變量組。該變量組的每個(gè)變量稱(chēng)為狀態(tài)變量。該變量組的每個(gè)變量稱(chēng)為狀態(tài)變量。該最小變量組中狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的階數(shù)。該最小變量組中狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的階數(shù)。一、狀態(tài)空間的基本概念一、狀態(tài)空間的基本概念v“狀態(tài)定義的三要素v完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時(shí)刻(t

4、=t0)的值和初始時(shí)刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(shí)(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。v動(dòng)態(tài)時(shí)域行為。v最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨(dú)立的。v減少變量,描述不全。v增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無(wú)必要。v若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個(gè)變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個(gè)狀態(tài)變量為x1(t),x2(t), ,xn(t).v若以這n個(gè)狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個(gè)n維變量向量,則稱(chēng)這個(gè)向量為狀態(tài)變量向量,簡(jiǎn)稱(chēng)為狀態(tài)向量,并可表示如下:1212.nnxxx xxxx 系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) x1,x2,xn u1 u2 ur y1 y2

5、ym 多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖v狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。v它可以是能直接測(cè)量或觀測(cè)的量,也可以是不能直接測(cè)量或觀測(cè)的量；v可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。狀態(tài)空間v狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系v狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。v而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時(shí)所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性,并非系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)特性。v因而,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。v可以說(shuō)輸出變量?jī)H僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn),是狀態(tài)變量的輸出空間的投影,一個(gè)子集。輸出空間空間映射xy2. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間

6、若以n個(gè)狀態(tài)變量x1(t),x2(t),xn(t)為坐標(biāo)軸,就可構(gòu)成一個(gè)n維歐氏空間,并稱(chēng)為n維狀態(tài)空間,記為Rn.狀態(tài)向量的端點(diǎn)在狀態(tài)空間中的位置,代表系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 x1 x2 x(t0) x(t1) x(t2) x(t) 隨著時(shí)間的推移,狀態(tài)不斷地變化,tt0各瞬時(shí)的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱(chēng)為狀態(tài)軌線。 狀態(tài)軌線如圖2-2所示。圖2-2 二維空間的狀態(tài)軌線狀態(tài)變量選取的特點(diǎn)： 狀態(tài)變量的選取具有非唯一性：即可用某一組， 也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變量個(gè)數(shù)的選取具有唯一性：v要注意的是狀態(tài)變量雖然具有非唯一性，但不是所有的變量都可以作為狀態(tài)變量。例如：純電阻電路就

7、沒(méi)有狀態(tài)變量，因?yàn)樵谶@類(lèi)電路的元件上，任意時(shí)間的電流、電壓僅取決于該時(shí)刻的激勵(lì)，其形成是一個(gè)瞬時(shí)的作用，元件過(guò)去的歷史初始條件對(duì)確定電路中任意元件上的響應(yīng)是無(wú)關(guān)的，輸入輸出之間僅是一般的代數(shù)關(guān)系，這種系統(tǒng)屬于瞬時(shí)無(wú)記憶系統(tǒng)，所以這種系統(tǒng)就不能用狀態(tài)變量法來(lái)分析。因而，選狀態(tài)變量的條件是：各狀態(tài)變量間不能用代數(shù)方法互求，且其數(shù)目對(duì)于給定系統(tǒng)是確定的。狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)一般應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件(如電感和電容)的個(gè)數(shù) + R - L C + - uC iL ui 二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所建狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所建立的一

8、種數(shù)學(xué)模型立的一種數(shù)學(xué)模型,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ)。行分析和綜合的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型由狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程程所組成。所組成。下面以一個(gè)由電容、電感等儲(chǔ)能元件組成的二階下面以一個(gè)由電容、電感等儲(chǔ)能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,說(shuō)明狀態(tài)空間模型的建立和形式說(shuō)明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進(jìn)行一般的討論。然后再進(jìn)行一般的討論。v例例 某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖所某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的

9、模型如圖所示。示。v試建立以電壓試建立以電壓uiui為系統(tǒng)輸入為系統(tǒng)輸入, ,電電容器兩端的電壓容器兩端的電壓uCuC為輸出的狀態(tài)為輸出的狀態(tài)空間模型?？臻g模型。q 解 1. 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量所滿(mǎn)足的關(guān)系式。q 對(duì)本例,針對(duì)RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系,列出各電壓和電流所滿(mǎn)足的方程ddddLLCiCLiRiLuutuiCt + R - L C + - uC iL ui 例RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)2. 選擇狀態(tài)變量。選擇狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。對(duì)本例對(duì)本例x1(t)=iL, x2(t)=uC3. 將狀態(tài)變量代入各物

10、理量所滿(mǎn)足的方程將狀態(tài)變量代入各物理量所滿(mǎn)足的方程,整理得一規(guī)范形式整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組的一階矩陣微分方程組-狀態(tài)方程。狀態(tài)方程。每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)一階微分方程每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)一階微分方程,導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為1,非導(dǎo)數(shù)非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)列寫(xiě)在方程的右邊。項(xiàng)列寫(xiě)在方程的右邊。對(duì)本例,經(jīng)整理可得如下?tīng)顟B(tài)方程1122- /-1/1/1/00ixxR LLLuxxC寫(xiě)成向量與矩陣形式為：212 10 xxxuC122111dd11ddxCtxuLxLxLRtxi4. 列寫(xiě)描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。列寫(xiě)描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。對(duì)本例對(duì)本例其中5.

11、將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫(xiě)在一起將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫(xiě)在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型空間模型的狀態(tài)空間模型xyuxxCBA 100/ 10/ 1/ 1-/-21CLBCLLRAuuxxCiyuxv由上述例子,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為ABCD xxuyxu其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為nn維的系統(tǒng)矩陣;B為nr維的輸入矩陣;C為mn維的輸出矩陣;D為mr維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型,切記!v對(duì)前面引入的狀態(tài)空間模型的意義,有如下討論:v狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性,v其

12、決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化。v輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。v系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況,v它主要決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。v輸入矩陣B又稱(chēng)為控制矩陣,v它表示輸入對(duì)狀態(tài)變量變化的影響。v輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。v直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對(duì)輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。v上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至v非線性系統(tǒng)、v時(shí)變系統(tǒng)。v1. 非線性時(shí)變系統(tǒng)( , , )( , , )tt xf x uyg x u其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時(shí)間t的非線性

13、向量函數(shù)f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u,t) fn(x,u,t)g(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t)2. 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)( , )( , ) xf x uyg x u其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù)。這些非線性函數(shù)中不顯含時(shí)間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時(shí)間變化而變化。3. 線性時(shí)變系統(tǒng)( )( )( )( )A tB tC tD t xxuyxu其中各矩陣為時(shí)間t的函數(shù),隨時(shí)間變化而變化。4. 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)q 為簡(jiǎn)便,常將線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡(jiǎn)記為q(A(t),B(t

14、),C(t),D(t).q 類(lèi)似地,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡(jiǎn)記為q(A,B,C,D).q 幾種簡(jiǎn)記符的意義:ABCD xxuyxu( , ,):ABA B CC xxuyx( ,):A BABxxu( ,):AA CC xxyx 三、線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖三、線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來(lái)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來(lái), ,以形象以形象說(shuō)明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。說(shuō)明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。在采用模擬或數(shù)字計(jì)算機(jī)仿真時(shí)在采用模擬或數(shù)字計(jì)算機(jī)仿真時(shí), ,它是一個(gè)強(qiáng)有力的工具。它是一個(gè)強(qiáng)有

15、力的工具。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件: :積分器積分器, ,加法器和加法器和比例器比例器, ,其表示符如圖其表示符如圖2-42-4所示。所示。圖2-4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件 x2 x1 x1+x2 2xk x(t) x kx ( )x t (a) 積分器 (b) 加法器 (c) 比例器 v例 線性時(shí)變系統(tǒng) y x B(t) A(t) C(t) D(t) u + + + + x ( )( )( )( )A tB tC tD t xxuyxu的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖 多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖v若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞

16、關(guān)系,則必須根據(jù)實(shí)際的狀態(tài)空間模型,畫(huà)出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。v圖2-6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。21222112112122211211212122211211212221121121uuddddxxccccyyuubbbbxxaaaaxx雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第二節(jié)第二節(jié) 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立 由機(jī)理出發(fā) 由微分方程出發(fā) 由傳遞函數(shù)出發(fā) 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)一、一、 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的

17、第一步,是控是控制理論和工程的基礎(chǔ)制理論和工程的基礎(chǔ).上一節(jié)討論了由電容和電感兩類(lèi)儲(chǔ)能元件以及電阻所構(gòu)成的電上一節(jié)討論了由電容和電感兩類(lèi)儲(chǔ)能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機(jī)理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法理機(jī)理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法.這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱(chēng)為機(jī)理這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱(chēng)為機(jī)理建模建模.機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等電壓、電流、力和熱量等)在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系,

18、以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系量之間的關(guān)系,如電感的電壓和電流滿(mǎn)足的動(dòng)態(tài)關(guān)系如電感的電壓和電流滿(mǎn)足的動(dòng)態(tài)關(guān)系.v建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機(jī)理/依據(jù)有:v電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點(diǎn)的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲(chǔ)能元件的電壓和電流之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系.v機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系.v對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度.v化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲(chǔ)存,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系.v經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。雙輸入-三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)例 設(shè)機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示。力F及阻尼器汽缸速度v為兩種外作用

19、，給定輸出量為質(zhì)量塊的位移x及其速度 、加速度 。圖中m、k、f分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)。試求該雙輸入-三輸出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。x x 解解 據(jù)牛頓力學(xué)，故有據(jù)牛頓力學(xué)，故有顯見(jiàn)為二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移及初始速度，該顯見(jiàn)為二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移及初始速度，該微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，應(yīng)選微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，應(yīng)選 和和 作為作為狀態(tài)變量。設(shè)狀態(tài)變量。設(shè) ，三個(gè)輸出量為，三個(gè)輸出量為 ，可由微分方程導(dǎo)出下列動(dòng)態(tài)方程：可由微分方程導(dǎo)出下列動(dòng)態(tài)方程： mxfxvkxFxx 12xxxx ，123yx yx yx，12221112232111xxxxfx

20、vkxFmyxyxyfxvkxFm其向量-矩陣形式為xAxBuyCxDu，式中1200001xFkffxvmmmmxuAB123100001001yyykffmmmmyCD機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)圖表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī),其中其中Ra和和La為電樞回路總電阻為電樞回路總電阻和總電感和總電感,J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,負(fù)載為摩擦系數(shù)為負(fù)載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦的阻尼摩擦.試列寫(xiě)以電樞電壓試列寫(xiě)以電樞電壓u(t)為輸入為輸入,軸的角位移軸的角位移(t)為輸出的狀態(tài)空間為輸出的狀態(tài)空間模型模型. + - J, f f M La ia Ra u 圖

21、2-10 電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)原理圖 解解 1. 1. 設(shè)電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變?cè)O(shè)電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變, ,鐵心工作在非飽和區(qū)鐵心工作在非飽和區(qū). .按照?qǐng)D所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)按照?qǐng)D所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng), ,可以寫(xiě)出如下主回路電壓方程和軸可以寫(xiě)出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程其中Ea和M分別為如下電樞電勢(shì)和轉(zhuǎn)矩Ea=Ced/dt, M=CMia其中Ce和Cm分別為電樞電勢(shì)常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)(含恒定的磁通量) .a22dddddda aaaiuR iLEtMJftt因而,上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可記為2. 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量.對(duì)于本例對(duì)于本例,若已知電樞電流若已知電樞電流i

22、a(t),角位移角位移(t)和其導(dǎo)數(shù)和其導(dǎo)數(shù)d/dt在初在初始時(shí)刻始時(shí)刻t0的值的值,以及電樞電壓以及電樞電壓u,則上述微分方程組有唯一解則上述微分方程組有唯一解.因而因而,可以選擇狀態(tài)變量如下可以選擇狀態(tài)變量如下tftJiCtCtiLiRuameaaadddddddd22a123d ( )( )( )( )( )( )datx ti tx ttx tt3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下?tīng)顟B(tài)方程則有如下?tīng)顟B(tài)方程113233131-aeaaamRCxxxuLLLxxCfxxxJJ4. 建立輸出方程建立輸出方程 y=x25. 經(jīng)整理經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空

23、間模型可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型xyuxx01000101000amaeaaLJfJCLCLR二二 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階常微分方程與描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù)傳遞函數(shù),通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。間模型。這樣的問(wèn)題稱(chēng)為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。這樣的問(wèn)題稱(chēng)為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。這種變換過(guò)程的原則是這種變換過(guò)程的原則是,不管狀態(tài)變量如何選擇不管狀態(tài)變量如何選擇,應(yīng)保持系統(tǒng)輸應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。

24、入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)1、高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型、高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為,不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為y(n)+a1y(n-1)+any=bu其中y和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入;n為系統(tǒng)的階次。這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型ABCDxxuyxu問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量由微分方程理

25、論知,若初始時(shí)刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)知,則對(duì)給定的輸入u(t),微分方程有唯一解,也即系統(tǒng)在tt0的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。 因而,選擇狀態(tài)變量為如下相變量 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)相變量)為狀態(tài)變量,物理意義明確,易于接受。將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程,有如下?tīng)顟B(tài)方程12111.nnnnnxxxxxa xa xbu和輸出方程y=x1將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫(xiě)成矩陣形式有12101000001000000101000nnnaaa

26、ab xxuyx12. , nx xxuyxuy其中和。該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為:其中ABCxxuyx0.01 0.0-.-1.00.0.1011CbBaaaAnn上述式子清楚說(shuō)明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣A與微分方程中的系數(shù)a1, a2, an之間,輸入矩陣B與方程中系數(shù)b之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通常將上述取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱(chēng)為相變量。上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系,前n-1行為1個(gè)n-1維的零向量與(n-1)(n-1)的單位矩陣。該類(lèi)矩陣稱(chēng)為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類(lèi)重要的矩陣,這在后面的章節(jié)中可以

27、看到。上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 b u -a1 1 -a22 -an-1 -an nx u xn xn-1 x2 x1 y 例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”+6y”+11y+6y=2u解 本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=2因而,當(dāng)選擇輸出y及其1階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí), 可得狀態(tài)空間模型如下 0100001061162100 xxuyxv描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方程的一般表達(dá)式為vy(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnuv建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型ABCDx

28、xuyxu 建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量?若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量,即x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)則可得如下?tīng)顟B(tài)方程121( )110.nnnnnnnxxxxxa xa xb ub u 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件,要求輸入u(t)為分段連續(xù),而上述狀態(tài)方程中輸入u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù),從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。 因而,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn),即不能直接將輸出y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù),通常,可利用輸出y和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合

29、來(lái)組成狀態(tài)變量,其原則是:使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)上述原則,選擇狀態(tài)變量如下)1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx 其中i(i=0,1,n)為待定系數(shù)。因而,有102121032(1)(1)12301( )( )120(1)( )(1)101( )120nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuxuxyuuua ya yb ubub uuuu 若待定系數(shù)i(i=0,1,n)滿(mǎn)足如下關(guān)系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20 n =bn-a1n-1-an0 即i(i=0,1,n)滿(mǎn)足如下方程組nn

30、nnnbbbbaaaaaa210210211211010010001121121001000010000011000nnnnnaaaaxxuyxu12. , nx xxuyxuy其中和。則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)空間模型上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 u -a1 -an-1 -an nx xn x1 n u n-1 1 1nx x2 y 0 1x 例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24u解 本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24因而,有0=b0=01=b1-a10

31、=22=b2-a11-a20 =43=b3-a12-a21-a30 =-12因而,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí)0102001448512100 xxuyx即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為uuyuuuyxuyuuyxyuyx 242012301201其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 u -5 -8 -4 3x x3 x1 -12 u 4 2 2x x2 y 1x 2、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。空間模型。關(guān)鍵問(wèn)題關(guān)鍵問(wèn)題: 1. 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量2. 保持系統(tǒng)的輸入

32、輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變線性定常微分方程由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系,故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。類(lèi)似地, 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型方法對(duì)線性定常系統(tǒng)拉氏變換v實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母多項(xiàng)式階次,此時(shí)稱(chēng)該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。v而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí),則稱(chēng)為嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)。v描述單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的如下傳遞函數(shù)10

33、10101.( )(0).nnnnnnb sb sbG saa sa sa對(duì)上述傳遞函數(shù),由長(zhǎng)除法,有101101111000001010.( )././.( )nnnnnnnnnnnnb sb sbG sa sa saba b asba b aba sa saaG sd其中000001111.)(aabbbaaaabdasasbsbsGiiiiinnnnn建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)。上述常數(shù)項(xiàng)d即為狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣D;嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)G(s)對(duì)應(yīng)可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即 S G(s) (A,B,C) d D

34、 1. 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換對(duì)于傳遞函數(shù)對(duì)于傳遞函數(shù)G(s),其特征方程為其特征方程為sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的若其特征方程的n個(gè)特征根個(gè)特征根s1,s2,sn互異互異,則用部分分式法可則用部分分式法可將將G(s)表示為如下并聯(lián)分解表示為如下并聯(lián)分解 其中k1,k2,kn為待定系數(shù),其計(jì)算公式為11121212.( ).( - )( - ).( - )-nnnnnb sbkkkG ss ss ss ss ss ss sissiisssGk)-)(下面以k1計(jì)算式的推導(dǎo)過(guò)程為例說(shuō)明的ki的計(jì)算式。將G(s)的乘以s-s1,有因而,由于特征根s1,s

35、2,sn互異，有)-(-.-)-)(12211ssssksskksssGnn1)-)(11sssssGkq 下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型?？紤]到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿(mǎn)足因而,若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿(mǎn)足那么,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(-.)(-)(-)()()(2211sUssksUssksUssksUsGsYnnnisUsssXii,.,2 , 1)(-1)(1,2,.,iiixs xuin相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因而,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k1x1+k2x2+k

36、nxn整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型12120.010.01.00.1.nnssskkk xxuyx上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征,即A為對(duì)角線矩陣。 u xn x1 k1 k2 kn y x2 1 s-s1 1 s-s2 1 s-sn 系統(tǒng)矩陣A具有上述對(duì)角線形式的狀態(tài)空間模型即為對(duì)角線規(guī)范形。 事實(shí)上對(duì)角線規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為n個(gè)一階子系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié))的并聯(lián),如右圖所示。圖2-11 對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖例用部分分式法將下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型322( )6116G ssssy”+6y”+11y+6y=2u解解 由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式由系統(tǒng)特

37、征多項(xiàng)式s3+6s2+11s+6可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有于是有332211)(ssksskssksG其中112233 ( )(1)1 ( )(2)2 ( )(3)1ssskG s skG s skG s s 故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出, 可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型100102010031 121 xxuyxq 將上述結(jié)果與前例的結(jié)果相比較可知,即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng),采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法,將得到不同的狀態(tài)空間模型。q 即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。2. 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換當(dāng)系統(tǒng)

38、特征方程有重根時(shí)當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí),傳遞函數(shù)不能分解成如式傳遞函數(shù)不能分解成如式nnssksskssksG-.-)(2211的情況。不失一般性,為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有6個(gè)根,其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1為3重極點(diǎn),s2為2重極點(diǎn)。相應(yīng)地,用部分分式法可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為其中kij為待定系數(shù),其計(jì)算公式為552255144111321123111254315451-)-(-)-()-()-)(-()-(.)(ssksskssksskssksskssssssbsbsbsGljsssGsjkisslijjij,.,2 , 1)-)(dd)!1-(11 -1 -其中l(wèi)為極點(diǎn)si的重?cái)?shù)。下面以系數(shù)k13的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來(lái)說(shuō)明kij的計(jì)算式將G(s)的乘以(s-s1)3 ,有32111121131351524112455( )( - )( - )( - )( - )-( - )-G s s skks sks skkks ss ss ss s12313121 d ( )( - ) 2!ds skG s s