線性常微分方程的若干初等解法探討 優(yōu)秀畢業(yè)論文

1、線性常微分方程的假設干初等解法探討作 者：xxx指導教師：葛玉麗 摘要：介紹求解常微分方程的幾種初等解法，如常數(shù)變易法，積分因子法，拉普拉斯變換法等，在學習過程中，通過對不同類型的方程解法，揭示了常微分方程的求解規(guī)律，從而找到最優(yōu)解法.關(guān)鍵詞：常數(shù)變易法；積分因子；特征根法；拉普拉斯變換 0引言常微分方程是數(shù)學分析或根底數(shù)學的一個組成局部，在整個數(shù)學大廈中占據(jù)著重要位置，學好常微分方程根本理論與方法對進一步學習研究數(shù)學理論和實際應用均非常重要，對于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理論中有自身特色的局部，也與實際問題密切相關(guān)；恰當對初等解法進行歸類，能正確而又敏捷地判斷一個給定的方程屬于何種

2、類型，從而能按照所介紹的方法進行分解.1 一階常微分方程的求解方法形如的方程稱為變量別離方程.分別是的連續(xù)函數(shù).例1 .解 將變量別離 得 ;兩邊積分得: ;因而通解為： 為任意常數(shù).這是一種相當簡潔的解法，是最根本的解法，對于比擬復雜的方程，需經(jīng)過一系列變換，最后利用變量別離求解.1.1.2 常數(shù)變易法對于一階線性齊次方程 它的通解為 從此出發(fā)，將通解中的任意常數(shù)換成待定函數(shù)，假設 1為一階線性非齊次方程 2的解，為了確定，將1代入的左邊，得到 從而得到 ， 即 積分后得到 ，其中為任意常數(shù)把代入1中，得到方程2的通解為 例2 解方程：.解 方程變形為 令，那么 ;代入變形方程為： ;利用常

3、數(shù)變易法，其中;那么它的通解為 ;代回原來的變量，得到 ;即原方程的通解為 ;此外，方程還有解 .常數(shù)變易法實際上也是一種變量替換法，雖然用其來解一階非齊次線性微分方程時和變量代換法并無原那么區(qū)別，但將它推廣到解高階線性微分方程和線性微分方程組時就顯出了它的優(yōu)越性，變易常數(shù)思想是解微分方程的重要數(shù)學思想，對非線性方程如貝努利方程，黎卡提方程也可使用常數(shù)變易法求解，并且常數(shù)變易法在數(shù)學分析中有很多應用，比方求解中值問題及存在性問題，祥見文獻1.1.3 積分因子法把一階線性微分方程 (1改寫為如下的對稱形式： 2，一般而言，2不是恰當方程，但以因子 乘2兩側(cè)，得到方程：，即 它是恰當方程，由此可直

4、接積分，得到 這樣就求出了方程的通解 3 為任意常數(shù)，其中為積分因子，一般情況下，積分因子是很難尋求的，只有在很特殊的情況下才很容易求得.例3 求解.解 因為;那么方程不是全微分方程，假設把原方程改寫為可以看出積分因子，因為上式兩端同乘以，有;即 從而得到方程的通積分 ，或.此解法，目的明確，方法自然，學生很容易接受，逐步改變了一上來就直接用任意常數(shù)變易法求解一階線性微分方程的方法，取而代之是按上述方法一步步求解，這一過程使我們順利掌握了一階線性微分方程的通解，同時更容易理解任意常數(shù)變易法，這樣從不同角度，用不同方法解決了同一問題，更能深刻的體會到任意常數(shù)變易法的巧妙之處.1.2 方程不能解出

5、這時把看作是的函數(shù)，再看是否能解出，成為方程可用以上方法求解；但對于不能顯性表示為或或的方程，可分為兩類：1.2.1 方程能就或解出或這時令或把問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于與或之間的一階方程 或，再利用以上方法，求得通解為 或那么它與或一起構(gòu)成原方程的通解的參數(shù)形式.例4 研究克萊洛claivaut方程 1.解 令代入原方程 假定兩次可微且;兩端對求導，得 取 那么;代入1得到通解 取，那么即2;由于，那么2中第一式存在隱函數(shù)，代入第二式就得到一個解，那么這個解也可以由聯(lián)立方程 來表達.故克萊洛方程除了通解之外，還有一個由所決定的解.例5 求解.解 令，代入原方程 ;兩邊同時對x求導，那么,那么 ,那么

6、當時，；當時，那么，為任意常數(shù),那么得到方程參數(shù)形式的通解， ；且當時，也是方程的解.總結(jié)：由于此方程的形式與前面所分析的類型不一致，可以先觀察所給的方程的形式，利用變量代換的思想，經(jīng)過一系列變換，化為我們最熟悉的形式.，或解出對于形如或的方程，引入?yún)?shù)，將方程表示為參數(shù)形式，再注意到關(guān)系式，就將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于或與的一階方程，且其導數(shù)或已表示為的函數(shù)，最后的工作就是求積分的問題.例6 求解.解 令，那么原方程可化為：，那么 ，；由于 ，那么 ，兩邊同時積分，那么；那么原方程的通解為，.例7 .解 令，代入原方程為；那么；由 ，那么，；即 ,兩邊同時積分：；那么原方程的通解為 ，.以上總結(jié)了

7、一階常微分方程的幾種解法，熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進行求解，這是最根本的要求.但是我們所遇到的方程未必都恰好是所介紹過的方程類型，因此要注意學習解題的技巧，善于根據(jù)方程的特點，引進恰當?shù)淖儞Q，將方程化為能求解的新類型，從而求解；一階微分方程的求解有眾多方法，技巧性很強，想進一步詳細了解可參考?常微分方程手冊?.2高階常微分方程的求解方法高階常系數(shù)線性微分方程的一般形式是 1其中為常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)；依據(jù)常系數(shù)線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)理論，知方程1的通解可表示成該方程的一個特解與其對應的齊次方程的通解之和. 方程1對應的齊次方程，由于

8、它具有線性結(jié)構(gòu)，一般采用Euler待定指數(shù)函數(shù)法可以得到通解，因而非齊次方程1的通解的計算只需尋到它的一個特解即可；有關(guān)特解的計算方法較多，如常數(shù)變易法，待定系數(shù)法，積分法等，因此接下來介紹線性微分方程的求解方法的幾種歸類.例8齊次線性微分方程的根本解組，求以下方程對應的非齊次線性微分方程的通解：.解 應用常數(shù)變易法，令,將它代入方程，那么可得: 解得: ;由此 ；那么原方程的通解為 .總結(jié)：利用一階常微分方程的常數(shù)變易法的思想，推廣到高階常微分方程，關(guān)鍵是找出決定的方程組，從而求出高階方程的通解. 由此可知，常數(shù)變易法一般用于給定非齊次線性微分方程特解的方程，這種方法簡潔明了，但是比擬局限，

9、是最根本的解法.，其中為常數(shù)，它有特解，由于與都是常系數(shù)線性齊次方程，因而猜測方程也有形如的解，其中是待定常數(shù)，為了確定出使為的解的，先將它代入方程中，實際上有，其中為方程的解的充要條件是，即應是方程的根.下面分兩種情況討論：特征根互異：首先，假設有個互異的實根，這時，依上述討論，方程有個特解，那么函數(shù)為方程的通解，其中為任意常數(shù).例9求方程的通解. 解 特征方程為，故特征根為，因而根本解組為,故所求通解為，其中為任意常數(shù).特征根有重根：設是重特征根，由上述討論知，是的一個解，但這時由于互異的特征根的個數(shù)小于，故相應地線性無關(guān)的解的個數(shù)也小于，要得到通解，這些特解是不夠的，對應于，除解外還應補

10、上哪些解呢？ 先來研究二階常系數(shù)方程并設，特征方程為，特征根為，即；易見，為二重特征根，因而，首先有特解；現(xiàn)在求方程的和線性無關(guān)的另一個特解，由知，取,那么另一特解可取為，即當是二重特征根時，二階方程除了有解之外，還有與它線性無關(guān)的另一個特解.根據(jù)以上討論，對于一般的情形，我們有如下的定理：如果方程有兩兩互異的特征根，它們的重數(shù)分別為，且，那么與它們對應的方程的特解是.例10 求方程的通解. 解 特征方程是故特征根是 ,那么它們對應的解為： ，故所求通解為： ，其中為任意常數(shù).總結(jié)：歐拉待定指數(shù)函數(shù)法，即特征根法，在高階常微分方程中占據(jù)了十分重要的位置，要熟練掌握不同類型的解法，從而對于給定的

11、方程能游刃有余.2.3 階常系數(shù)線性非齊次方程解法對于形如的解法，它的通解等于其對應的齊次方程的通解與它本身的一個特解之和.2.3.1 比擬系數(shù)法待定系數(shù)法下面分兩種類型討論:設，其中及為實常數(shù).當不是特征根時，有形如的特解，其中當是重特征根時，有形如的特解，其中，對于中的的系數(shù)，那么可以由待定系數(shù)法求得.例11求方程的通解解 先求對應齊次方程的通解，其特征方程是;故特征根為 從而，對應齊次線性方程通解為;由于不是特征根，因而方程有形如的特解.為確定將它代入原方程中，由于,故 .比擬上式等號兩端的同次冪系數(shù)，可得 ,故方程特解為，那么原方程的通解為 .例12 求方程.解 由于那么故齊次方程通解

12、為： ，由于為二重特征根,故有 ,故 ,那么原方程的通解為 .設，其中為常數(shù)，而是帶實系數(shù)的多項式，其中一個的次數(shù)為，一個的次數(shù)不超過，那么有形如為特征方程的根的重數(shù)，而均為特定的帶實系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項式根據(jù)歐拉公式，有那么再利用迭加原理,于是有兩種形式：（1） 如果不是特征根，那么特解具有形式其中是系數(shù)待定的次多項式.2如果是重特征根，那么特解應具有形狀.例13 求解方程.解 先求對應的齊次方程，我們有,故特征根為；由于迭加原理，那么原方程可化為(1)對于，由于是特征根，故方程具有形如的特解，現(xiàn)將上式代入，那么;那么的通解為.(2)對于，由于不是特征根，故方程具有形如，那么,那么的通解

13、為.故原方程的通解為.總結(jié)：比擬系數(shù)法用于方程右端是某些根本函數(shù)的情況，常見的有：多項式，指數(shù)函數(shù)，正弦或余弦函數(shù)以及它們的某種乘積組合，然后根據(jù)的前面所歸納的類型，從而求出方程的特解，進而求出通解.2.3.2 拉普拉斯變換 它無需求出方程的通解，而是直接求出它的特解來，從而在運算上得到很大簡化，這一方法的根本思想是：先通過拉普拉斯變換將方程化為代數(shù)方程，求出代數(shù)方程的解，再通過逆拉普拉斯變換，便可得到所求初值問題的解.由積分所定義確實定于復平面上的復變數(shù)的函數(shù)稱為的拉普拉斯變換，其中與有定義，且滿足不等式，這里M,為某兩個正常數(shù)，這時為原函數(shù)，而稱為像函數(shù).例14 求函數(shù)的拉普拉斯變換.解

14、.例15 解方程.解 由于，從而那么 ，故 ，由于 ，故所求初值解為 .當然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否那么方法就不適用了，關(guān)于拉普拉斯變換的一般概念及根本性質(zhì)，請參閱有關(guān)書籍.冪級數(shù)解法待定的是級數(shù)的系數(shù)，因而通常計算較大，其實冪級數(shù)解法適用二階以上的高階齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程，也能求其特解或通解. 二階線性方程.在近代物理學以及工程技術(shù)中有著很廣泛的應用，其中冪級數(shù)解法不但對于求解方程有意義，而且還由此引出了很多新的超越函數(shù)，在理論上是很重要的.下來給出兩個定理，假設要了解定理證明過程，可參考有關(guān)書籍.定理1 如果在某點的鄰域內(nèi)

15、解析，即它們可展成的冪級數(shù)，且，那么的解在的鄰域內(nèi)也能展開成為的冪級數(shù).定理2 如果在的鄰域內(nèi)解析，而為的重零點，是的不低于重的零點，假設，是的不低于重的零點，假設，那么方程至少有一個形如的廣義冪級數(shù)解，其中r為某一實數(shù). 假設要了解冪級數(shù)的詳細解法可以參考?常微分方程?，這里不做具體分析. 總之，不同的方法用于不同類型的方程，這是應用之時必須特別注意之點.參 考 文 獻1 朱思銘，王壽松等.常微分方程M.北京：高等教育出版社.20063:126-129.2 湯光宋，余復民.應用交換變量位置法解兩類一階常微分方程J.蘭州工業(yè) 高等?？茖W校學報.1996,(1):20-25. 3 焦洪田.一階非

16、線性微分方程的常數(shù)變易法J.雁北師范學院學報.19996：44-45. 4 周斌.常數(shù)變易法在數(shù)學分析中的應用J.內(nèi)江師范學院學報.2003,184:56-58.5 曹玉平.一階線性變系數(shù)微分方程組的矩陣解法J.河北理工學院學報.20052. 6 阮炯.差分方程和常微分方程M.上海：復旦大學出版社.2007:39-90.7 黃雪燕.常微分方程的化歸思想J.長春師范學院學報.2007,26(04):24-26. 8 “關(guān)于的特解一文的意見J.高等數(shù)學研究. 2007，903:55.9 劉林平.常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法J.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報.2006,2704:157-159.10 黃啟昌，任永泰,陳秀東等.常微分方程M.東北師范大學數(shù)學系微分方程 教研室編.人民教育出版社.2021:173-180. Ordinary Differential Equation of Elementary Method of ClassificationGUO Zhen -zhenAbstract: Describing several elementary solutions to solve ordinary differential equations, such as the constant variation, integrating factor method