專題橢圓的極點(diǎn)和極線相關(guān)問(wèn)題的研究與拓展

1、專題7.12:橢圓的極點(diǎn)和極線相關(guān)問(wèn)題的研究與拓展【問(wèn)題提出】22橢圓極點(diǎn)和極線的定義與作圖：橢圓C:與與1a>b>0，那么稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線ab蚱駕_1為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線.極點(diǎn)和極線是成對(duì)出現(xiàn)的.a2b2從定義我們共同思考和討論幾個(gè)問(wèn)題并寫(xiě)下你的思考：1假設(shè)點(diǎn)P(xo，yo)在橢圓上，那么其對(duì)應(yīng)的極線是什么2橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線分別是什么3過(guò)橢圓外上、內(nèi)任意一點(diǎn)P(x0,y0),如何作出相應(yīng)的極線？如圖3.沒(méi)尸為不在留等的線上的點(diǎn).過(guò)點(diǎn)產(chǎn)引兩條剛線依次交制靴曲線于四點(diǎn)EtF.6nM連絡(luò)EffJG交于點(diǎn)M連結(jié)EU/H交于點(diǎn)M,則棒XA為點(diǎn)時(shí)府的橫線.若產(chǎn)為陶惟曲線t

2、的克,過(guò)點(diǎn)尸的切線即為橫韁.%【探究拓展】22探究1：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，橢圓21的左、右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)95Tt,m的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y10,y20.標(biāo)與m無(wú)關(guān)-3,0。1設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2PB24,求點(diǎn)P的軌跡；12設(shè)x12,x2一，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；33設(shè)t9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)其坐解：1設(shè)點(diǎn)Px,y，那么：F2,0、B3,0、A由PF2PB24,得(x2)2y2(x3)2y24,化簡(jiǎn)得x9。29故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x-2一12將2區(qū)一分別代入橢圓方程，以及y10,y20得：3直線

3、MTA方程為:3y53聯(lián)立方程組，解得:3點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線NTB方程為:2分別與橢圓人9解得:3(80M(80方法0,解得:20當(dāng)x11x1xI,3直線NTB方程為:y020-9x3日口,即13310，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為10(7T)(9,m)直線MTA方程為：-ym即ym(x63)1m(x3),m2)2m1聯(lián)立方程組,40m80m2)、X2時(shí)，直線MN同時(shí)考慮到n"方程為:Xi3,X220m)20m2)20m220m240m80m220m20m23(m220)220m2X1。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D1,0;x2時(shí)，直線MN方程為：x1,與x軸交點(diǎn)為D1,0。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D1,0。方

4、法2假設(shè)x1x2,那么由一-2一2一2403m3m60一2一80m20m223(80m2)3(m220)8020m2此時(shí)直線MN的方程為x2.10,假設(shè)xx2,那么m2b0,直線MD的斜率Kmd40m80m2-一一22403m2d180m210m_2,40m20m2直線ND的斜率kND20mND3m260dT120m2因此，直線MN必過(guò)x軸上的點(diǎn)1,探索解析幾何問(wèn)題中的兩個(gè)技巧10m2,得kMDkND,所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。40m2(1)用“袪求直線方程點(diǎn)斜式，或者兩點(diǎn)式其實(shí)采兩點(diǎn)坐標(biāo)，求經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程.通常采取的方法是，或者用下面介紹的“法，運(yùn)算將更加迅速簡(jiǎn)潔.現(xiàn)介紹如下:假設(shè)A不，片，

5、B,丁會(huì)，求直線AB的方程.先將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)上下對(duì)齊書(shū)寫(xiě)，假設(shè)最終求出的直線方程為Ax+By+C=0,那么再一乃二刃，士一工1二這種方法既形象直觀，又運(yùn)算簡(jiǎn)潔，更重要的是防止了許因?yàn)樽帜高\(yùn)算時(shí)需要分類討論的繁瑣.大家不妨以假設(shè)A一2,1，B3,1，求直線AB的方程''為例試試看.2巧妙分解因式通常由直線方程與二次曲線方程聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，這種運(yùn)算是可怕的，尤其是含有大量字母運(yùn)算時(shí)，但當(dāng)直線與二次曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，那么可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo).下面以橢圓為例講解這種運(yùn)算技巧:工+p_假設(shè)公共點(diǎn)為缶必），橢圓方程為1,設(shè)直線方程為尸一,二1fcs

6、-與），那么口37J-1La'麗）0+西）+0r）0+7口）_o度產(chǎn)，將尸周二代工-%）代入上式得，顯然有公因式！兀-與），從而很方便地求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).卜面運(yùn)用前面介紹的兩個(gè)技巧解答2021江蘇省高考數(shù)學(xué)第18題的第問(wèn).先求點(diǎn)M的坐標(biāo):工yr+=-=1?5一療0口（元-3）0十3）4/n"T1*十-LJm,小y-（r+將直線TA:12代入上式得5十9哈2顯然x+3=0時(shí)，即為點(diǎn)A.要求點(diǎn)M,那么約去x+3得_3(80-支一這十就代入直線TA:12得點(diǎn)M的坐標(biāo)為I?！?30第'+80郅0-加)40碑So?-20)20跳、同理，可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為I疝+2°,

7、十刈用“a法寫(xiě)出直線MN的方程，并及時(shí)令V=0得*皿陋+2。冽無(wú)+3（毋一80）2。53（蘇-20）4U取_Q%解°十8。1+2。,+8。篩+2Q酬°+2Q/+8。得（xr）由于m>0,化簡(jiǎn)得(3"+12。)工=3/+12口，那么乂=12P地ri口I叫Z,解X(ar)2t2(ar)2t2y2ytar(x2,、2rtr(ar)Q722r)(ar)2t22tr(ar)(ar)2t2于是直線PQ的斜率,2atkpQ=a2-t2-r2'直線PQ的方程為y上式中令y=0,得x2tr(ar)2atvr(a22222X(ar)tatr(ar22=L,是一個(gè)與tPQ

8、過(guò)定點(diǎn)J,0aar)2rt2證法二：由題設(shè)得Ai(r,0),A2(r,0).設(shè)M(a,t),直線MAi的方程是：y=-;(x+r),與圓C的交點(diǎn)P設(shè)為P(xi,yi).a+i直線MA2的方程是：y=aT、(xr);與圓C的交點(diǎn)Q設(shè)為Q(x2,y2)那么點(diǎn)P(xi,yi),Q(x2,y2)在曲線(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr)=0上,化簡(jiǎn)彳導(dǎo)(a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)=0.又有P(xi,yi),Q(x2,y2)在圓C上，圓C:x2+y2-r2=0.t2x得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2)-t2(x2+y2-r2)=0,化簡(jiǎn)彳導(dǎo):(

9、a2-r2)y-2t(ax-r2)t2y=0.所以直線PQ的方程為(a2r2)y2t(axr2)-t2y=0.2r在中令y=0得x=一,a故直線PQ過(guò)定點(diǎn)3變式：橢圓C的離心率e，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為Ai(2,0),A2(2,0).2i求橢圓C的方程;m變化時(shí)，點(diǎn)S是2設(shè)直線x=my+i與橢圓C交于兩點(diǎn)P,Q,直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S,試問(wèn)：當(dāng)否恒在一條定直線上？假設(shè)是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【專題反思】你學(xué)到了什么？還想繼續(xù)研究什么？即直線MN必過(guò)x軸上的定點(diǎn)1,0探究2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C:x，y2=r2和直線l：x=a其中r和a均為常數(shù)，且0<r<a，M為l上一動(dòng)點(diǎn)，Ai,A2為圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線MAi,MA2與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q.1假設(shè)r=2,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2),求直線PQ方程；2求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).x2y24解：1當(dāng)r=2,M(4,2),那么Ai(-2,0),A2(2,0).直線MAi的萬(wàn)程：x3y+2=0,解得x3y20224P8,6.直線MA2的方程：xy2=0,解*xy'得Q0,2.由兩點(diǎn)式，得直線PQ方程為：55xy202x-y-2=0.另解：(1)當(dāng)r=2,M(4,2),那么Ai(-2,0),A2(2,0).直線MAi的方程：x-3y+2=0,直線MA