中學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)律探索題研究含答案

1、專題一：規(guī)律探索題研究【題型導(dǎo)引】題型一：點坐標(biāo)規(guī)律（1）與變換相關(guān)的點的規(guī)律探尋；（2）與函數(shù)相關(guān)的點的規(guī)律探尋；（3）與其它因素相關(guān)的點的規(guī)律探尋等。題型二：數(shù)字規(guī)律（1）數(shù)學(xué)文化知識的拓展探尋數(shù)字規(guī)律；（2）與特殊圖形引發(fā)的數(shù)字規(guī)律探尋；（3）與變換過程中的數(shù)字規(guī)律探尋。題型三：圖形規(guī)律（1）與變換相關(guān)的圖形規(guī)律；（2）不同操作形成的規(guī)律性圖形研究;【典例解析】類型一：點坐標(biāo)規(guī)律例題1:（2019?湖北省鄂州市？3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點Ai、A2、A3An在x軸上，Bi、B2、B3Bn在直線0）,且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等邊三角形，從左到右的小三角形（陰

2、影部分）的面積分別記為&、S2、S3-Sn,則Sn可表示為（）A.22nV3B.22n1&C.22n2<3D.22n3J3【解答】解：.A1B1A2、4A2B2A3AnBnAn+1都是等邊三角形,A1B1/A2B2/A3B3/AnBn,B1A2/B2A3/B3A4/BnAn+1,A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等邊三角形，5.直線y=x與x軸的成角/B1OA1=30,/OA1B1=120,3/OB1A1=30°,0A1=A1B1,Ai(1,0),A1B1=1,同理/OB2A2=30°，/OBnAn=30°,B2A2=OA2=2,

3、B3A3=4,，BnAn=2na1=5,a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒,易得/OB1A2=90,，/OBnAn+1=90,BB2=>/3,B2B3=2V3,，BnBn+1=2n3,1,=一一，Sn=-X2nb<2n、用.；1一31一.,S1=-X1XJ3=,3=_X2X2J3=2J3222技法歸納：探索點的坐標(biāo)變化規(guī)律時要注意：逐一求出（或用字母表示出）相應(yīng)點的坐標(biāo)，直到探索出點的坐標(biāo)變化規(guī)律為止；確定起始點找到探尋方向；抓住問題的關(guān)鍵點等；探求出統(tǒng)一的表示形式.類型二：數(shù)式規(guī)律例題2：（2019?四川省達州市？3分）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒

4、數(shù)，如2的差倒數(shù)為1-a11-2=-1,-1的差倒數(shù)數(shù),依此類推，a2019的值是（D.數(shù)列以5,三個數(shù)依次不斷循環(huán),2019+3=673,a2019=a3=技法歸納：（1）對于不是循環(huán)而有規(guī)律排列的數(shù)或式，根據(jù)前后數(shù)或式之間的關(guān)系，找出其與序列數(shù)間的關(guān)系，探求其一般表達式；（2）對于循環(huán)產(chǎn)生的數(shù)或式，先找到其循環(huán)周期；（3）對于數(shù)陣的規(guī)律問題，先求出每行和每列的個數(shù)，并觀察相鄰數(shù)據(jù)的變化特點，進而得到該行或該列上的數(shù)與行列序數(shù)的關(guān)系.第一步：標(biāo)序數(shù)；第二步：對比式子與序號，即分別比較等式中各部分與序數(shù)（1,2,3,4,，n）之間的關(guān)系，把其蘊含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來，通常方法是將式子進

5、行拆分，觀察式子中數(shù)字與序號是否存在倍數(shù)或者次方的關(guān)系；第三步：根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個等式，并進行檢驗.類型三：圖形規(guī)律例題3:（2017綏化中考）如圖，順次連接腰長為2的等腰直角三角形各邊中點得到第1個小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點得到第2個小三角形，如此操作下去，則第n個小三角形的面積Sn=22n11a-I-11a【斛析S1=a，S2=-Si-1=-a-1=-,詢=屈一為&一1=a+1a+1，S5【解析】記原來三角形的面積為S,第一個小三角形的面積為S1,第二個小三角形的面積為S2,C1C1111cs=4.S=落S'W落S'1cS3=26S,1111$

6、=落222="2.故答案為pni技法歸納：首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.【變式訓(xùn)練】1一1一11. （2018成都中考）已知a>0,S1=-,S2=-S1-1,S3=,S4=-S3-1,S5=,（即當(dāng)n為大于1aS2S4111手一（a+1）,S6=-S5-的前數(shù)時，Sn=；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，Sn=Sn11）按此規(guī)律，S2018=.Sn1=（a+1）-1=a，$=Ta，Sn的值每6個一循環(huán).一一一一一一a+12018=336X6+2,.S2018Ms2=aa-I-1故答案為-"a2. （201

7、8安徽中考）觀察以下等式:第1個等式：1+0+11><2=1,第2個等式：1+2+!*1=1,2323第3個等式：1+|+lx|=1,3434第4個等式：1+1+<3=1,4545第5個等式：1+，+Jx4=1,5656按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：;（2）寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明.【解析】：（1）1+5+1x=16767（2）根據(jù)題意，第n個分式分母分別為n和n+1,分子分別為1和n1,n2+n-，、n（n+1）=1，等式成立故答案為L-十k一=1.nn+1nn+11n11n1n+1+n(n1)+(n1)證明:+十一乂=nn+

8、1nn+1n(n+1)3. （2019?四川省廣安市？3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點Ai的坐標(biāo)為（1,0）,以O(shè)A1為直角邊作R1AOAiA2,并使/AiOA2=60°,再以O(shè)A2為直角邊作RtOA2A3,并使/A20A3=60°,再以O(shè)A3為直角邊作RtOA3A4,并使/A30A4=60。按此規(guī)律進行下去，則點A2019的坐標(biāo)為（22017,22017於.【解答】解：由題意得，Ai的坐標(biāo)為（1,0）,A2的坐標(biāo)為（1,Q）,A3的坐標(biāo)為（-2,273）,A4的坐標(biāo)為（-8,0）,A5的坐標(biāo)為(-8,-843),A6的坐標(biāo)為(16,-16<3),A7的坐標(biāo)為（64

9、,0）,由上可知，A點的方位是每6個循環(huán)，與第一點方位相同的點在x正半軸上，其橫坐標(biāo)為2n-1,其縱坐標(biāo)為0,與第二點方位相同的點在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n-2,縱坐標(biāo)為2n-2J3,與第三點方位相同的點在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2n-2,縱坐標(biāo)為22J3,與第四點方位相同的點在x負半軸上，其橫坐標(biāo)為-2n一1,縱坐標(biāo)為0,與第五點方位相同的點在第三象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2n-2,縱坐標(biāo)為-2n-2J3,與第六點方位相同的點在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2n-2,縱坐標(biāo)為-2n-2J3,.2019+6=336-3,點A2019的方位與點A23的方位相同，在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2n2=-22017

10、,縱坐標(biāo)為22017J3,故答案為：（22017,22017石）.4. （2018濱州中考）觀察下列各式:2X313X4'請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，1.1,.1,1叮舁1十2十22十二/1十2z十32十N1十32十42十十Y1十92十1。2'具如走力解析1+.+/1+京,+y1+/+，1一1一1.1+1X2+2><3+3X4+9X10.八.1111111=1x9+1+一+一一一+十一一一22334910=9+1-1109故答案為919y5. （2019?湖南益陽？4分）觀察下列等式:52妮=（肥-冠產(chǎn),72瓦=（J42,請你根據(jù)以上規(guī)律，寫出第6個等式【解答】解：寫出第

11、6個等式為i32J42=（J7J6）2故答案為i3-2,42=（.7、6）26.（2019?黑龍江省齊齊哈爾市？3分）如圖，直線l:y八:x+i分別交x軸、y軸于點A和點Ai,過點Ai作AiBl,交x軸于點Bi,過點Bi作BiA2，x軸，交直線l于點A2；過點A2作A2B2L,交x軸于點B2,過點B2作B2A3，x軸，交直線l于點A3,依此規(guī)律-，若圖中陰影AiOBi的面積為Si,陰影A2BiB2的面積為S2,陰影A3B2B3的面積為S3，則Sn=A【解答】解：直線l：y=%3x+i,當(dāng)x=0時，y=i;當(dāng)y=0時，x=-5/33A（-6，0）Ai（0,i） /OAAi=30又AiBiXl,

12、/OAiBi=30°在RtAOAiBi中,OBi=<OAi=Vs同理可求出：A2Bi=,BiB2=S=h問B也寺嗎xe|x字書乂心?7.（2019?山東濰坊？3分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原點O,它們的半徑分別為1,2,3,，按照“加1”依次遞增；一組平行線，10,11,12,13,都與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為1,其中10與y軸重合若半徑為2的圓與11在第一象限內(nèi)交于點P1,半徑為3的圓與12在第一象限內(nèi)交于點P2,，半徑為n+1的圓與1n在第一象限內(nèi)交于點Pn,則點Pn的坐標(biāo)為.（n為正整數(shù)）【解答】解：連接OP1,OP2,OP3,11、

13、12、13與X軸分別交于A1、A2、A3,如圖所示:在RtAOAP1中，OA1=1,OP1=2,A1P1=Jop2oa2=J2212=8,同理：A2P2=J322=A/5,A3P3=V43='/7,二P1的坐標(biāo)為（1,）,P2的坐標(biāo)為（2,q'5）,P3的坐標(biāo)為（3,折）,按照此規(guī)律可得點Pn的坐標(biāo)是（n,J（n1）2n2）,即（n,J2n1）故答案為：（n,J2n1）.8.(2019?四川省達州市？11分)箭頭四角形模型規(guī)律如圖1,延長CO交AB于點D,則/BOC=Z1+/B=/A+/C+/B.因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“/BOC=ZA+ZB+ZC”這個規(guī)律，所

14、以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”模型應(yīng)用(1)直接應(yīng)用：如圖2,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2a如圖3,/ABE、/ACE的2等分線(即角平分線)BF、CF交于點F,已知/BEC=120°,/BAC=50°,貝叱BFC=85°如圖4,BOi、COi分別為/ABO、/ACO的2019等分線(i=1,2,3,，2017,2018).它們的交點從上到下依次為。1、。2、。3、O2018.已知/BOC=m,/BAC=n°,則/BO1000c=100020192019r度.(2)拓展應(yīng)用：如圖5,在四邊形ABCD中，BC=CD,ZBCD=2ZBAD.O是

15、四邊形ABCD內(nèi)一點,且OA=OB=OD.求證：四邊形OBCD是菱形.【解答】解：（1）如圖2,在凹四邊形ABOC中，ZA+ZB+ZC=ZBOC=%在凹四邊形DOEF中，ZD+ZE+ZF=ZDOE=".ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2a;如圖3,./BEC=ZEBF+ZECF+ZF,/F=Z且/EBF=/ABF,/ECF=/ACF, ./BEC=ZF-ZA+ZF, ./BEC=120°,/BAC=50°, ./F=85°如圖3,由題意知/ABOi000=/ABO,/OBOi000=L°19,/ABO,20192019ZAC01000=UM

16、LzACO,/OCOi000=L019ACO,20192019/BOC=ZOBO1000+/OCO1000+ZBO1000c=1"9(/ABO+ZACO)+ZBO1000C,2019/BO1000c=/ABO1000+/ACO1000+/BAC=i(ZABO+ZACO)+ZBAC,2019則/ABO+ZACO=-(/BO1000C-ZBAC),LOGO代入/BOC=I。/(/ABO+/ACO)+ZBO1000c得/BOC="口"|X(/BO1000C/BAC)+201920191000/BO1000c,解得：/BO1000c=10002019(/BOC+揣/BAC)10192J19ZBAC,./BOC=m°,/BAC=n°,/BO1000c=1000101920192019故答案為：2"；85°(竺竺m+201910192019n)(2)如圖5,連接OC,-，OA