彈性力學基礎知識

1、彈性力學基礎知識1 彈性力學的基本假設彈性力學的基本假設2 彈性力學基本概念彈性力學基本概念3 彈性力學基本方程彈性力學基本方程4 邊界條件邊界條件1 彈性力學的基本假設 工程問題的復雜性工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，考慮所有因素，則問題的復雜，數學推導的困難數學推導的困難，將使得，將使得問題無法求解。問題無法求解。 根據問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些根據問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設。使問題的研究限定在一個基本假設。使問題的研究限定在一個可行的范圍可行的范圍。 基本假設是

2、學科的研究基礎?；炯僭O是學科的研究基礎。 超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研究超出基本假設的研究領域是固體力學其它學科的研究。n連續(xù)性假設連續(xù)性假設n均勻性假設均勻性假設n各向同性假設各向同性假設n完全彈性假設完全彈性假設n小變形假設小變形假設n無初始應力的假設無初始應力的假設1 彈性力學的基本假設 1 彈性力學的基本假設 1. 1. 連續(xù)性假設連續(xù)性假設 假設所研究的整個彈性體內部完全由組成物體的介質假設所研究的整個彈性體內部完全由組成物體的介質所充滿，各個質點之間不存在任何空隙。所充滿，各個質點之間不存在任何空隙。 變形后仍然保持連續(xù)性。變形后仍然保持連續(xù)性。 根據這一假設，物

3、體所有物理量，例如位移、應變和應力根據這一假設，物體所有物理量，例如位移、應變和應力等均為物體空間的連續(xù)函數。等均為物體空間的連續(xù)函數。 微觀上這個假設不成立微觀上這個假設不成立宏觀假設。宏觀假設。1 彈性力學的基本假設 2.2. 均勻性假設均勻性假設 假設假設彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質都是相同的，不隨坐標位置的變物體各個部分的物理性質都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變。化而改變。 物體的彈性性質處處都是相同的。物體的彈性性質處處都是相同的。 工程材料，例如混凝土顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，工程材料，例如混凝土

4、顆粒遠遠小于物體的的幾何形狀，并且在物體內部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為并且在物體內部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。均勻材料。 對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復合材料，不能處理為均勻材料對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復合材料，不能處理為均勻材料1 彈性力學的基本假設 3. 3. 各向同性假設各向同性假設 假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質，假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質，這就是說物體的彈性常數將不隨坐標方向的改變而變化。這就是說物體的彈性常數將不隨坐標方向的改變而變化。 宏觀假設，材料性能是顯示各向同性。宏觀假設，材料性能是顯示各向同性。 當然，像木材，竹子以及纖維

5、增強材料等，屬于各向異性當然，像木材，竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料。材料。 這些材料的研究屬于復合材料力學研究的對象。這些材料的研究屬于復合材料力學研究的對象。1 彈性力學的基本假設 4. 4. 完全彈性假設完全彈性假設 對應一定的溫度，如果應力和應變之間存在一一對應對應一定的溫度，如果應力和應變之間存在一一對應關系，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史無關，稱關系，而且這個關系和時間無關，也和變形歷史無關，稱為完全彈性材料。為完全彈性材料。 完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學研究限于線性完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學研究限于線性的應力與應變關系。的應力與應變關系。 研

6、究對象的材料彈性常數不隨應力或應變的變化而改變。研究對象的材料彈性常數不隨應力或應變的變化而改變。1 彈性力學的基本假設 5. 5. 小變形假設小變形假設 假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，假設在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化。起的尺寸變化。忽略位移、應變和應力等分量的高階小量，使基本方程忽略位移、應變和應力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。成為線性的偏

7、微分方程組。 1 彈性力學的基本假設 6 6. . 無初始應力假設無初始應力假設 假設物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體假設物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內部沒有應力。內部沒有應力。彈性力學求解的應力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產彈性力學求解的應力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產生的。生的。1 彈性力學的基本假設彈性力學的基本假設，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設等。這些假設都是關于材料變形的宏觀假設。彈性力學問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設。這些基本假設被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。2 彈性力學基本概念載荷、應

8、力、應變、位移是彈性力學的幾個主要物理量載荷應力n物體承受外力作用，物體內部各截面之間產生附加內力，為了顯示出這些內力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分：應力n其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內力，它們是分布在截面上分布力的合力。QA取截面的一部分，它的面積為A，為物體在該截面上A點的應力。平均集度為Q/A，其極限作用于其上的內力為Q，AQS lim應力n通常將應力沿垂直于截面和平行于截面兩個方向分解為S正應力切應力應力應力分量應力不僅和點的位置有關，和截面的方位也有關。描述應力，通常用一點平行于坐標平面的單元體，各面上的應力沿坐標軸的分量來表稱為應力分量。物體內各點的內力平衡，因此相

9、對平面上的應力分量大小相等，方向相反。xyzo應力應力分量符號規(guī)定：符號規(guī)定：圖示單元體面的法線為y,稱為y面，應力分量垂直于單元體面的應力稱為正應力。正應力記為 ,沿y軸的正向為正,其下標表示所沿坐標軸的方向。平行于單元體面的應力稱為切應力，用yx 、yz表示，其第一下標y表示所在的平面，第二下標x、y分別表示沿坐標軸的方向。如圖示的yx、yzyyxyzxyzo應變n外力作用下彈性體將產生變形，因此微分體棱邊的長度以及它們之間的夾角將發(fā)生變化。各棱邊每單位長度的伸縮量稱為正應變（normal strain），各棱邊之間的直角改變則稱為剪應變（shear strain）。剪應變以直角減小為正，

10、增大為負，應變無量綱。幾何意義如圖應力矩陣應變矩陣微分體的應力分量和應變分量位移n彈性體變形實際上是彈性體內質點的位置變化，質點位置的改變稱為位移（displacement）。位移可分解為x、y、z三個坐標軸上的投影，稱為位移分量。沿坐標軸正方向的位移分量為正，反之為負。n位移的矩陣表示為n彈性體發(fā)生變形時，各質點的位移不一定相同，因此位移也是x、y、z的函數。彈性力學基本方程平衡方程幾何方程物理方程平衡方程平衡方程是彈性體內部必須滿足的條件，它6個應力分量不是獨立的，它們通過3個平衡方程相互聯(lián)系幾何方程n幾何方程描述幾何量應變和位移之間的關系可寫成矩陣形式為6個應變分量可用該點的3個位移分量

11、表示，因此6個應變分量也不是獨立的物理方程n物理方程描述應力分量與應變分量之間的關系，這種關系與材料的物理特性有關。物理方程共有6個，其形式為1，沒有正應力，沒有正應變2，沒有正應變，沒有正應力3，沒有應變，沒有位移4，沒有位移，沒有應變物理方程寫成矩陣形式簡記為其中，為彈性矩陣，它完全取決于彈性系數和。15個方程位移產生應變應變產生應力應力和外力平衡幾何方程物理方程平衡方程彈性力學基本方程n由上可見，三類基本方程共包含15個方程，含6個應力分量，6個應變分量和3個位移分量，共15個未知量，因而原則上可以解出15個物理量。實際求解時并不是同時求出全部未知量，而是先求出一部分（稱為基本未知量），

12、再通過基本方程求出其他未知量。根據基本未知量的選法不同，也就產生了3中不同的解題方法位移法，應力法和混合法。邊界條件彈性力學彈性力學的基本未知量：的基本未知量： 位移分量，應力分量位移分量，應力分量和應變和應變分量。分量。基本方程：平衡微分方程，幾何方程和物理方程。基本方程：平衡微分方程，幾何方程和物理方程。 要使基本方程有確定的解，還要有對應的面力或位移邊界條要使基本方程有確定的解，還要有對應的面力或位移邊界條件。件。 邊界條件一般分為：靜力（面力）邊界條件、位移邊界條件邊界條件一般分為：靜力（面力）邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件。和混合邊界條件。 彈性力學的任務：就是在給定的邊界條件下，就十五個未知彈性力學的任務：就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。量求解十五個基本方程。靜力（面力）邊界條件靜力邊界條件：結構在邊界上所受的面力與應力分量之間的關系 。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用， 設單位面