大學物理課件4質點動力學-功能.

1、基本要求一、掌握功的概念，能計算變力的功，理解保守力做功的特點及勢能的概念，會計算重力、彈性力和萬有引力的勢能。二、掌握質點的動能定理、系統(tǒng)的功能原理和機械能守恒 定律，能分析簡單系統(tǒng)在平面內運動問題。第四章功和能一.功與功率:1恒力的功：力戸在位移總上的功定義為:A = FScos。=F S2變力的功:考慮自a Th的過程，變力F的功將此過程細分為II個小過程，任取第i個. 當n足夠大時，有：(1) AS,近似為直線；Si « |A| 每一個 上，質點受力可看作恒力力戸在AS,上的功可寫為：AAi = F 時cw®0i =(F A Ar,)當n >8時，則為：dA

2、= Fdr cos0 = F df力戸在位移元斎上的元功 則：自QTb的過程，變力戸的功為：A = j仙A =F.dr =J>cosr在Rt坐標系中：(一般表達式)自3 fb的過程，變力戸的功為：A = dA =£p-dr 探說明：(1) 從功的定義式看：功反映丁力對空間的累釈體屈；功是過程量，與運動路徑有關.(2) 功是一標董.(3) 功的大小可以用圖表示 Ft曲線下的面積3合力的功:質點同時受戸1，戸2,，幾的作用A = dr =：（片 + 尸2 凡）"尸=I：片dr +肛2 斎+ :札dr=含+A24-+ 4 =工令4功率:平均功率:AAAr(瞬時)功率:&qu

3、ot;lim?=竽AZ->O AzdtdA=F dF /> =戸.空dt=FV二、幾種常見力的功:1重力的功：G = -mgj自a至b重力所作功：A = G-df=Gxdx +Gydy-¥ Gzdz)=mgg 一 “2)可見.M對m的引力為:P=_GmMF重力作功只與始末位置有關，而與作功的路徑無關.自a至b引力所作功：“ 一rb GmM 一 A = faF 小=L徵分左=r dr+dr r 代入=2r - dr 1> => f dr rdr 右=2rdr Jn A=r曽皿一呼 （丄-丄） r3a 廣rb ra可見：萬有引力作功只與始末位置有關，而與作功的路徑

4、無關.3彈性力的功: 5X.Xji自a至b過程中,彈性力：F = -kxi質點的位矢：r xi =>自忍至b彈性力所作功：A = dP = jkxi -dxi= -kxdx =-A(xf-xf)可見:彈性力作功只與始末位置有關，而與作功的路徑無關。三、保守力：1定義：作功只與運動的始末位置有關而與運動路徑無關的力.包括：重力.彈性力.萬有引力、庫侖力.2保守力作功的數(shù)學表達式: 習、勢能：1概念：重力勢能：引力勢能:與質點位置有關的能量即為勢能嗎 Ep = mgh Ep=&理重力功引力功A=mg(hi-h2)A =GmM()rb ra 人=訐(打一卅)E p =尹結論：質，雖在某

5、一位置的勢能等于將其從該點移到勢能零點時 保守力所作的功.彈性勢能:彈性力功2說明：(1) 機械能E =+ Ek 且各量均為狀態(tài)的函數(shù)，即：狀態(tài)量。(2) 勢能屬于整個保守力產生的系統(tǒng).(3) 勢能是一個相對的量，與勢能零點的選取有關.通常：重力勢能取地面為勢能零點；引力勢能取FT8為勢能零點； 彈性勢能取20為勢能零點.3勢能曲線：島=/(空間住査)故可作出曲線：Eh, E嚴,E；rr,統(tǒng)稱勢能曲線.重力勢能：E卩=mgh彈性勢能：Ekx2卩2引力勢能：已嚴心竺F4.保守力的功與勢能的關系:(1) 積分關系：A=-AEp =Ep2_Ep(2) 微分關系：Fx=-dEp/dxFy=_&

6、Ep©Fz=-dEpjdzdEvdEpdEndEd = dx Hdy ddzp dxdydzydA = F 亦=Fxdx + Fydy + F.dz => dEn-. dE又有：dA = WEp丿 I則保守力為： 戸蘭+理J +込Q dx Oy dz=-grad Ep五、動能定理：1質點的動能定理：A = AEjt自a至b的過程中，合外力F的功為：FA = F-dr = /F cos 跑計. 自然坐標系中：dVF cos 0 = FT ±± maT = m J一.d 2 dV=> A = m ar Ja dt=說明：k2 I1、A為合外力的功Tdt=n

7、nVdV =-mV/-mV1動能定理為一過程規(guī)律.反映的實質：過程量=狀態(tài)童的增量 適用于慣性系.| 2 2&外力第i個質點有：A右+勺卜=脫一戰(zhàn)°對組成系統(tǒng)的全部n個質點有：為嵩+工弟卜=工以-工噴 表示為：4+ 4夕卜=E& Eg = AE 功能原理：內力八M夕卜2>質點系動能定理:令=含呆內+A非保內=>4（呆內+非保內+ 4夕卜=山 =Ek 一 弘心內=_血卩=-（Ep-Ep°）=> %卜 + A非保內=（垃 +£p） -（垃° + Epo）= E-Eq = ae4外+ A非保內=A系統(tǒng)的功能原理K七、機械能守恒

8、:4外+ A非保內=若：A外+ A非保內=0二> AE = 0 即：E=E 八、說明：1功能原理與質點系動能定理沒有本質區(qū)別.2功能原理、機械能守恒是過程規(guī)律，屬于系統(tǒng).3適用于慣性系4 一般解題步驟（2）IA外+A非保內和A外+A菲侏內=°選系統(tǒng)、分過程及每一過程的始末態(tài)進行受力分析： 外力計算：內力丁 .功能原理 > 機械能守恒保守內力 非保守內力例1：如圖，用一彈簧把兩塊質量分別為和012的板連接起來。 問：在板m上需加多大的壓力以使力停止作用后，恰能使IB在跳 起來時叫稍被提起？設彈簧的質量略去不計.解：全過程可分為以下狀態(tài)及分過程: 且最后一個過程中的H12受力

9、如圖 設彈簧原長時為零勢能位， 則各過程分別有：A:彈簧原長，零勢能.B: 01 ='C: nijg +F = kx!CtD過程：機械能守恒 Ec=(mg%)+ 1/2 kXj2 Enijgx尹 1/2 kx22D： N=m2g-kx2<0> F>(ml+m2)g例2： 質量為“2的質點，在xoy平面上運動。 其位置矢量為：r =acosajti -bsinajtJ 其中a, b、3為正值常數(shù)，a>h。求質點在A (a,0)點和B(O,b丿點時的動能.求質點所受的作用力以及當質點從A運動到的過程 中分力耳.耳所做的功。解:(1) r=«cos?/i 4

10、-ftsindrfy x =acosatty = b sin alVx = ad>sin(atVv =ba)cosajtA(a,0)點：cos<x?/=l , sintyZ=O/. Eka = lmb2co2皿 2 2 - 2Vx = a(Dsina)t Vy =ba)cosajtB(O，b)點：cosa)t=O sna)t=lE冊=-mV + -in V2 = -ma2a)2"22$ 2 求質點所受的作用力以及當質點從4運動到的過程中分力 心、Ey所做的功.ax =-a>2 costar ay = -baTsincot<6r*F = maxi + ma、j = maco cos tai mba)sm(ajAr = Frdx = f°mad>2cosfi/rfx = - ma2 cd2Ay = jFvdy = jmb 6? 2 s in cotdy = mb2 cd2例3、一鏈條總長為L,質量為肌。放在桌面上并使其一 部分下垂，下垂的長度為a,設鏈條與桌面的滑動摩 擦系數(shù)為“，令鏈條從靜止開始運動，則：注意：摩擦力 作負功！(1)在鏈條滑離桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功 鏈條離開桌面時