概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)魏宗舒第二章模版ppt課件

1、第二章第二章 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量例例1.1.察看一天中進(jìn)入某商店的顧客人數(shù)。察看一天中進(jìn)入某商店的顧客人數(shù)。= | 一天中進(jìn)入一天中進(jìn)入商店有商店有 個(gè)顧客個(gè)顧客R = 0,1,2,一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量2.1 一維隨機(jī)變量及分布列一維隨機(jī)變量及分布列例例2.2.袋中有袋中有 3 3 只黑球，只黑球，2 2 只白球，從中恣意取出只白球，從中恣意取出 3 3 只球，觀只球，觀察取出的察取出的 3 3 只球中的黑球的個(gè)數(shù)。我們將只球中的黑球的個(gè)數(shù)。我們將 3 3 只黑球分別記只黑球分別記作作 1 1，2 2，3 3 號(hào)，號(hào)，2 2 只白球分別記作只白球分別記作 4 4，5 5 號(hào)，那么

2、該實(shí)驗(yàn)的樣號(hào)，那么該實(shí)驗(yàn)的樣本空間為本空間為543542532432541531431521421321， 我們記取出的黑球數(shù)為我們記取出的黑球數(shù)為，那么，那么的能夠取值為的能夠取值為 1，2，3因此，因此， 是一個(gè)變量。但是，是一個(gè)變量。但是， 取什么值依賴于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，取什么值依賴于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即即 的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱 為隨機(jī)變量。為隨機(jī)變量。 的取值情況可由下表給出：的取值情況可由下表給出： 由上表可以看出，該隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量由上表可以看出，該隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量 的一個(gè)確定的取值，因此變量的一個(gè)確定的取值，因此變量是樣本

3、空間是樣本空間 上的函數(shù)：上的函數(shù)：我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來(lái)刻我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來(lái)刻劃隨機(jī)事件。例如劃隨機(jī)事件。例如 22|2 表示至少取出表示至少取出2個(gè)黑球這一事件，等等。個(gè)黑球這一事件，等等。 表示取出表示取出2個(gè)黑球這一事件；個(gè)黑球這一事件；隨機(jī)變量的定義： 設(shè) (, F, P ) 是一個(gè)概率空間，對(duì)于, ( )是一個(gè)取實(shí)值的單值函數(shù), 那么稱( )為隨機(jī)變量。12R3說(shuō)說(shuō) 明：明：、文字母隨機(jī)變量常用大寫(xiě)的英ZYX寫(xiě)字母等來(lái)表示。而以英文小、或希臘字母常關(guān)心的是它的取值。對(duì)于隨機(jī)變量，我們常隨機(jī)事件。描述要用隨機(jī)變量的取值來(lái)我們

4、設(shè)立隨機(jī)變量，是、wzyx表示實(shí)數(shù)。表示實(shí)數(shù)。引入隨機(jī)變量的目的：引入隨機(jī)變量的目的： 普通地，假設(shè)普通地，假設(shè) L 是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，將是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，將 在在 L 上的取值寫(xiě)上的取值寫(xiě)成成 L，用其表示事件，用其表示事件 B=|()L ，即，即 B 是是由由中使得中使得()L 的一切樣本點(diǎn)所組成的事件，此時(shí)有的一切樣本點(diǎn)所組成的事件，此時(shí)有.)(|)(LPBPLP隨機(jī)變量的取值具有一定的概率。隨機(jī)變量的取值具有一定的概率。具有隨機(jī)性具有隨機(jī)性: 在一次實(shí)驗(yàn)之前不知道它取哪一個(gè)值，但在一次實(shí)驗(yàn)之前不知道它取哪一個(gè)值，但事先知道它全部能夠的取值。事先知道它全部能夠的取值。 隨機(jī)變量的特點(diǎn)隨機(jī)變量

5、的特點(diǎn):用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件。用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件。例例3. 擲一顆骰子，令：擲一顆骰子，令： ：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 那么那么就是一個(gè)隨機(jī)變量。它的取值為就是一個(gè)隨機(jī)變量。它的取值為 1，2，3，4，5，64 表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超越表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超越 4 這一隨機(jī)事件；這一隨機(jī)事件；取偶數(shù) 表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件。表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件。例例4. 一批產(chǎn)品有一批產(chǎn)品有 50 件，其中有件，其中有 8 件次品，件次品，42 件正品。現(xiàn)件正品?，F(xiàn)從中取出從中取出 6 件，令：件，令： X：取出：取出 6 件產(chǎn)品中的次品數(shù)。件產(chǎn)品中的次品數(shù)。那么那么 X

6、就是一個(gè)隨機(jī)變量。它的取值為就是一個(gè)隨機(jī)變量。它的取值為 0，1，2，60X表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件；表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件；1X表示取出的產(chǎn)品至少有一件次品這一隨機(jī)事件。表示取出的產(chǎn)品至少有一件次品這一隨機(jī)事件。例例5. 上午上午 8:009:00 在某路口察看，令：在某路口察看，令： Y：該時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的汽車數(shù)。：該時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的汽車數(shù)。那么那么 Y 就是一個(gè)隨機(jī)變量。它的取值為就是一個(gè)隨機(jī)變量。它的取值為 0，1，100Y表示經(jīng)過(guò)的汽車數(shù)小于表示經(jīng)過(guò)的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；輛這一隨機(jī)事件；10050Y表示經(jīng)過(guò)的汽車數(shù)大于表示經(jīng)過(guò)的汽車數(shù)大于 50 輛但

7、不超越輛但不超越 100 輛這一隨機(jī)事件。輛這一隨機(jī)事件。 留意：留意： Y 的取值是可列無(wú)窮個(gè)！的取值是可列無(wú)窮個(gè)！例例6. 察看某生物的壽命單位：小時(shí)，令：察看某生物的壽命單位：小時(shí)，令： Z：該生物的壽命。：該生物的壽命。那么那么 Z 就是一個(gè)隨機(jī)變量它的取值為一切非負(fù)實(shí)數(shù)。就是一個(gè)隨機(jī)變量它的取值為一切非負(fù)實(shí)數(shù)。1500Z3000Z表示該生物的壽命大于表示該生物的壽命大于 3000小時(shí)這一隨機(jī)事件。小時(shí)這一隨機(jī)事件。表示該生物的壽命不超越表示該生物的壽命不超越1500小時(shí)這一隨機(jī)事件。小時(shí)這一隨機(jī)事件。留意：留意： Z Z 的取值是不可列無(wú)窮個(gè)！的取值是不可列無(wú)窮個(gè)！例例7. 擲一枚硬

8、幣，令：擲一枚硬幣，令：擲硬幣出現(xiàn)反面，擲硬幣出現(xiàn)正面，01那么那么 是一個(gè)隨機(jī)變量。是一個(gè)隨機(jī)變量。例例8. 擲一枚骰子，在例擲一枚骰子，在例3中，我們定義了隨機(jī)變量中，我們定義了隨機(jī)變量 表示出現(xiàn)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定的點(diǎn)數(shù)。我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：義：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)。出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，01。點(diǎn)數(shù)不為，點(diǎn)數(shù)為6061說(shuō)說(shuō) 明：在同一個(gè)樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量。明：在同一個(gè)樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量。隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型離散型延續(xù)型延續(xù)型有限個(gè)或可列個(gè)可有限個(gè)或可列個(gè)可能值能值全部能夠取值不僅無(wú)窮全部能夠取值不僅無(wú)窮多，而且

9、還不能一一列多，而且還不能一一列舉，而是充溢一個(gè)區(qū)間。舉，而是充溢一個(gè)區(qū)間。l隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類非離散型非離散型其他其他二二 離散型隨機(jī)變量與分布列離散型隨機(jī)變量與分布列定義定義1：假設(shè)隨機(jī)變量：假設(shè)隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，那么的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，那么稱稱為離散型隨機(jī)變量。為離散型隨機(jī)變量。顯然，要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量顯然，要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，必需的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，必需且只需知道且只需知道的一切能夠取值以及每個(gè)能夠值的概率。的一切能夠取值以及每個(gè)能夠值的概率。 定義2.1 定義在樣本空間 上，取值于實(shí)數(shù)域 R，且只取有限個(gè)或可列個(gè)值的變量稱作一維實(shí)

10、值離散型隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱為離散型隨機(jī)變量。( ) 定義定義2：設(shè)離散型隨機(jī)變量：設(shè)離散型隨機(jī)變量的一切能夠取值為的一切能夠取值為，nxxx21.,2, 1npxPnn，并設(shè)并設(shè)那么稱上式或那么稱上式或?yàn)殡x散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量的分布列或概率函數(shù)、或分布。的分布列或概率函數(shù)、或分布。說(shuō)說(shuō) 明：離散型隨機(jī)變量可完全由其分布列來(lái)刻劃，即離散明：離散型隨機(jī)變量可完全由其分布列來(lái)刻劃，即離散型隨機(jī)變量可完全由其的能夠取值以及取這些值的概率獨(dú)一型隨機(jī)變量可完全由其的能夠取值以及取這些值的概率獨(dú)一確定。確定。離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì):；，有對(duì)任意的自然數(shù)0npn. 1nnp；

11、，使得必存在一個(gè))(max)3(00nnnppn的最大可能值。為隨機(jī)變量，我們稱由于000nnnxpxp106551041，kCCkXPk例例1 從從 110 這這 10 個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出 5 個(gè)數(shù)字，令：個(gè)數(shù)字，令： X：取出的：取出的 5 個(gè)數(shù)字中的最大值。個(gè)數(shù)字中的最大值。試求試求 X 的分布列。的分布列。解：解： X 的取值為的取值為 5，6，7，8，9，10并且并且詳細(xì)寫(xiě)出，即可得詳細(xì)寫(xiě)出，即可得 X 的分布列：的分布列：例例2 將將 1 枚硬幣擲枚硬幣擲 3 次，令：次，令： X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差。：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差。試求試求 X 的分布列。

12、的分布列。解：解： X 的取值為的取值為 -3，-1，1，3 并且并且.543167164163XPXPXP例例3 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為X012345P161163161164163164那么那么.2102165161163161XPXPXPXP.2135 . 041161163XPXPXP例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為， 2141ncnXPn試求常數(shù)c解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得11411nnncnXP該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有11411nnncnXP.14141 c所以所以3c一些重要的離散

13、型隨機(jī)變量1) 退化分布或單點(diǎn)分布：退化分布或單點(diǎn)分布：1 cXP假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為單點(diǎn)分布的概率背景：?jiǎn)吸c(diǎn)分布的概率背景：隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 以概率以概率 1 取值取值 c。2) 兩點(diǎn)分布：兩點(diǎn)分布：pXPpXP110，為參數(shù)其中10 p (1,)Xbp記作兩點(diǎn)分布也稱作兩點(diǎn)分布也稱作 0-1分布或分布或Bernoulli分布。分布。假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為兩點(diǎn)分布的概率背景兩點(diǎn)分布的概率背景進(jìn)展一次進(jìn)展一次 Bernoulli實(shí)驗(yàn)，設(shè)：實(shí)驗(yàn)，設(shè)： .1qpAPpAP， 令令 X：在這次：在這次 Bernoulli實(shí)驗(yàn)中事件實(shí)驗(yàn)中事

14、件 A 發(fā)生的次數(shù)。發(fā)生的次數(shù)?；蛘哒f(shuō)令或者說(shuō)令不發(fā)生若事件發(fā)生若事件AAX011,.Xbp則.154115110XPXP，例例5 15 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 4 件次品，件次品，11 件正品。從中取出件正品。從中取出 1 件，件， 令令 X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)。：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)。那么那么 X 的取值為的取值為 0 或者或者 1，并且，并且，即：1541 bX3二二 項(xiàng)項(xiàng) 分分 布：布： 假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為10,1,n kkknP XkC ppkn為參數(shù)為自然數(shù)，其中10 pnpnbXpnX, 的二項(xiàng)分布，記作服從參數(shù)為則稱隨機(jī)變量顯然，當(dāng)顯然，

15、當(dāng) n=1 時(shí)時(shí)分布。兩點(diǎn)服從此時(shí)，X1,Xbp一個(gè)特例。兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的這說(shuō)明，; ,1(0,1, )n kkknb k n pP XkC ppkn又記：。二項(xiàng)分布的概率背景二項(xiàng)分布的概率背景 進(jìn)展進(jìn)展 n 重重 Bernoulli實(shí)驗(yàn)，設(shè)在每次實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)，設(shè)在每次實(shí)驗(yàn)中 .1qpAPpAP，令令 X：在這次：在這次Bernoulli實(shí)驗(yàn)中事件實(shí)驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)。于是發(fā)生的次數(shù)。于是,.Xb n p則10,1,n kkknP XkC ppkn例例6 一張考卷上有一張考卷上有5道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4個(gè)能夠答案，其中個(gè)能夠答案，其中只需一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)

16、至少能答對(duì)只需一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概道題的概率是多少？率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli實(shí)驗(yàn)，設(shè)實(shí)驗(yàn)，設(shè)的題數(shù)，：該學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)設(shè)：X .41APA，則答對(duì)一道題那么答那么答5道題相當(dāng)于做道題相當(dāng)于做5重重Bernoulli實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)。)., 5(41bX則5444XPXPXPP道題至少能答對(duì)所以，.)()(6415414344145 C二項(xiàng)分布的分布形狀二項(xiàng)分布的分布形狀由此可知，二項(xiàng)分布的分布：由此可知，二項(xiàng)分布的分布：,Xb n p若， 則.1111pqkqkpnkXPkXP，其中先是隨著先是隨著 k 的增大而增

17、大，到達(dá)其最大值后再隨著的增大而增大，到達(dá)其最大值后再隨著 k 的增的增大大而減少這個(gè)使得而減少這個(gè)使得kXP能出現(xiàn)次數(shù)。稱為該二項(xiàng)分布的最可達(dá)到其最大值的m；不是整數(shù)，則如果pnmpn11.1111pnpnmpn或是整數(shù)，則如果例例7 對(duì)同一目的進(jìn)展對(duì)同一目的進(jìn)展400次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率均為率均為0.02，試求，試求400次射擊最能夠命中幾次？其相應(yīng)的概次射擊最能夠命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？率是多少？解：對(duì)目的進(jìn)展解：對(duì)目的進(jìn)展400 次射擊相當(dāng)于做次射擊相當(dāng)于做400重重Bernoulli實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)。 令：令：射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)： 400X

18、 那么由題意那么由題意400, 0.02Xb其概率為次數(shù)為所以最有可能命中，它不是整數(shù)由于. 802. 8,02. 802. 01400m.98. 002. 0839288400CXP4 4Poisson Poisson 分布分布假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為0,1, 2,!kP Xkekk.0為常數(shù)其中那么稱隨機(jī)變量那么稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 Poisson 分布。并記作分布。并記作 ,PX;(0,1,)!kP kekk又記：。分布列性質(zhì)的驗(yàn)證分布列性質(zhì)的驗(yàn)證 由于由于可知對(duì)恣意的自然數(shù)可知對(duì)恣意的自然數(shù) k，有，有. 0!ekk 又由冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，

19、可知又由冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，可知00!kkkkkeek所以所以ee. 10,1, 2,!kP Xkekk滿足分布列性質(zhì)。滿足分布列性質(zhì)。, 0Poisson分布的運(yùn)用分布的運(yùn)用 Poisson分布是概率論中重要的分布之一。自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)目的都服從Poisson分布。 例如，可以證明，總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來(lái)到某效力臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的。例例8 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的Poisson分布，且知分布，且知.21XPXP解

20、：隨機(jī)變量解：隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為試求4XP0,1, 2,!kP Xkekk由知由知 得得 ,21XPXP,!2! 121ee由此解得由此解得=2. 從而從而24! 424eXP232e.09022. 0效顯著”的概率?！隘煷胃忻?，試求此藥對(duì)他中，他得了用此藥一年，在這一年現(xiàn)某人服的人來(lái)講，則是無(wú)效的余（療效一般）；而對(duì)其降為的人來(lái)講，可將參數(shù)（療效顯著）；對(duì)另為降數(shù)的人來(lái)講，可將上述參，它對(duì)現(xiàn)有一種預(yù)防感冒的藥分布，的冒次數(shù)服從參數(shù)設(shè)一個(gè)人在一年內(nèi)的感3%254%451%305Poisson例例9解：設(shè)解：設(shè) B= 此人在一年中得此人在一年中得3次感冒次感冒 ,，該藥療效顯著1A，該藥療效一般2A，該藥無(wú)效3A那么由那么由Bayes公式，得公式，得332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP53431313! 3525. 0! 3445. 0! 3130. 0! 3130. 0eeee.1301. 0,01 (1,2,)lim0nnnnppnnp設(shè)有一串正數(shù)且，。若，則).;(1lim),;(limkPekppCpnkbkknnknknnnn！PoissonP