原子物理學(xué)第3章§13

1、第三章第三章量子力學(xué)導(dǎo)論量子力學(xué)導(dǎo)論An Introduction to Quantum Mechanics第三章量子力學(xué)導(dǎo)論第三章量子力學(xué)導(dǎo)論3-1玻爾理論的局限性玻爾理論的局限性3-2實(shí)物粒子的波粒二象性實(shí)物粒子的波粒二象性3-3海森堡不確定關(guān)系海森堡不確定關(guān)系3-4波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋3-5薛定諤方程薛定諤方程*3-6量子力學(xué)中的一些理論和方法量子力學(xué)中的一些理論和方法*3-7氫原子的薛定諤方程解氫原子的薛定諤方程解玻爾量子理論打開了認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)的大門玻爾量子理論打開了認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)的大門,取得成功取得成功.但它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識(shí)但它的局限性和存在的問題

2、也逐漸為人們所認(rèn)識(shí).玻爾理論將微觀粒子視為經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)玻爾理論將微觀粒子視為經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn),把經(jīng)典把經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律用于微觀粒子力學(xué)的規(guī)律用于微觀粒子,使其理論中有難以解決的內(nèi)使其理論中有難以解決的內(nèi)在矛盾在矛盾,故有重大缺陷故有重大缺陷.如：為什么核與電子間的相互作用存在如：為什么核與電子間的相互作用存在,但處于定態(tài)但處于定態(tài)的加速電子不輻射電磁波？電子躍遷時(shí)輻射（或吸收）的加速電子不輻射電磁波？電子躍遷時(shí)輻射（或吸收）電磁波的根本原因何在？電磁波的根本原因何在？薛定諤薛定諤的非難的非難“糟透的躍遷糟透的躍遷”在兩能級(jí)間躍遷的在兩能級(jí)間躍遷的電子處于什么狀態(tài)？電子處于什么狀態(tài)？de Br

3、oglie,法法(1892-1987)獲獲1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)“ 過去過去, ,對(duì)光過分強(qiáng)調(diào)對(duì)光過分強(qiáng)調(diào)波性而忽視它的粒性；波性而忽視它的粒性；現(xiàn)在對(duì)電子是否存在另現(xiàn)在對(duì)電子是否存在另一種傾向一種傾向, ,即過分強(qiáng)調(diào)它即過分強(qiáng)調(diào)它的粒性而忽視它的波性的粒性而忽視它的波性. .”德布羅意德布羅意關(guān)系式：關(guān)系式： phhE 不論粒子靜質(zhì)量是否為不論粒子靜質(zhì)量是否為0,德布羅意關(guān)系式均成立德布羅意關(guān)系式均成立. 電子槍電子槍KD之間有之間有U電子束透過電子束透過D打在打在M上上它在晶面被散射進(jìn)入探測(cè)器它在晶面被散射進(jìn)入探測(cè)器BG檢測(cè)電子束檢測(cè)電子束(電流電流)的強(qiáng)度的強(qiáng)度I電子束

4、電子束強(qiáng)度強(qiáng)度U0510152025實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):加速電壓加速電壓U=54V,散射角散射角 =50時(shí)時(shí),探測(cè)器探測(cè)器B中的電流有極值中的電流有極值.(晶體對(duì)電子束的衍射晶體對(duì)電子束的衍射,用于驗(yàn)證德布羅意波）用于驗(yàn)證德布羅意波） 此前此前,玻爾據(jù)其角動(dòng)量量子化條件導(dǎo)出氫原子的第一玻爾據(jù)其角動(dòng)量量子化條件導(dǎo)出氫原子的第一玻爾半徑、能量和動(dòng)量的量子化結(jié)果玻爾半徑、能量和動(dòng)量的量子化結(jié)果.以下介紹德布羅以下介紹德布羅意將原子中的定態(tài)和駐波聯(lián)系起來意將原子中的定態(tài)和駐波聯(lián)系起來,自然地得到角動(dòng)量自然地得到角動(dòng)量的量子化條件的量子化條件.電子的波長(zhǎng)為電子的波長(zhǎng)為mvhph 將此關(guān)系用于氫原子的電子將

5、此關(guān)系用于氫原子的電子.欲使電子穩(wěn)定存在欲使電子穩(wěn)定存在,與電子相應(yīng)與電子相應(yīng)的波就必須是一個(gè)的波就必須是一個(gè),即電子即電子繞核一圈后其位相不變繞核一圈后其位相不變.氫原子中的電子氫原子中的電子相應(yīng)的駐波示意圖相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長(zhǎng)是波長(zhǎng)的整數(shù)倍要求圓周長(zhǎng)是波長(zhǎng)的整數(shù)倍l =4 德布羅意把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來德布羅意把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來, ,即把粒子能量即把粒子能量量子化和有限空間中駐波頻率分立性聯(lián)系起來量子化和有限空間中駐波頻率分立性聯(lián)系起來. .rnrnhnrhhp 22, 3 , 2 , 1,nnL將玻爾第一速度將玻爾第一速度v= c代入代入得到得到而而 是折合電子康普頓波長(zhǎng)的

6、是折合電子康普頓波長(zhǎng)的137倍倍,即第一玻爾半徑即第一玻爾半徑a1故故 所得的結(jié)果滿足駐波條件所得的結(jié)果滿足駐波條件.mvhph mc2 mc12 a 設(shè)一個(gè)速度為設(shè)一個(gè)速度為v的粒子在寬為的粒子在寬為d的剛性盒子中作一維的剛性盒子中作一維運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),由經(jīng)典理論知由經(jīng)典理論知,粒子的動(dòng)能和周期分別為：粒子的動(dòng)能和周期分別為：vdTmvEk2;212用用分析：此粒子要在盒內(nèi)永存分析：此粒子要在盒內(nèi)永存,其德布羅意其德布羅意波必為駐波波必為駐波, x=0,x=d必為波節(jié)必為波節(jié).盒子寬至少為半波長(zhǎng)盒子寬至少為半波長(zhǎng).即波長(zhǎng)必滿足即波長(zhǎng)必滿足:, 2 , 1,2ndn dx=0 x=d 結(jié)論：結(jié)論：1

7、 1）被束縛粒子的動(dòng)量和能量均呈量子化）被束縛粒子的動(dòng)量和能量均呈量子化. . 2 2）只要粒子被束縛在某一空間（）只要粒子被束縛在某一空間（oror勢(shì)阱內(nèi)）勢(shì)阱內(nèi)）, ,粒子的粒子的最小動(dòng)能不能為最小動(dòng)能不能為0.0.（即使在（即使在T T0 0時(shí)）時(shí)）事實(shí)上事實(shí)上,若若EK可為可為0,則要求則要求x,x,這也說明粒子不這也說明粒子不可能被束縛住可能被束縛住. . 以上內(nèi)容可歸納為：以上內(nèi)容可歸納為：mpEhpk22 22282mdhnEdnhpk所以，原子能級(jí)圖中不存在所以，原子能級(jí)圖中不存在E0的能級(jí)。的能級(jí)。2nd 氫原子實(shí)際上是一個(gè)德布羅意波被禁閉在庫侖場(chǎng)中氫原子實(shí)際上是一個(gè)德布羅意

8、波被禁閉在庫侖場(chǎng)中的情形的情形.假設(shè)電子在庫侖場(chǎng)中是一簡(jiǎn)單的正弦波假設(shè)電子在庫侖場(chǎng)中是一簡(jiǎn)單的正弦波,匣子近似為匣子近似為剛性邊界剛性邊界( V),設(shè)匣子的線度是半波長(zhǎng)設(shè)匣子的線度是半波長(zhǎng),即粒子處于即粒子處于基態(tài)基態(tài),在此假設(shè)下粒子的動(dòng)能為：在此假設(shè)下粒子的動(dòng)能為：222222222)2(21)(88mrhmrrmhmdhEk 以上考慮到匣內(nèi)一周期的路程與圓周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)以上考慮到匣內(nèi)一周期的路程與圓周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)(2d=2r)總能量為動(dòng)能和勢(shì)能之和：總能量為動(dòng)能和勢(shì)能之和：rkemrE2222 0 r假設(shè)的氫原假設(shè)的氫原子的波函數(shù)子的波函數(shù)123EEE123EEE )(rU實(shí)際的波實(shí)際的波函數(shù)函數(shù)實(shí)際

9、的勢(shì)實(shí)際的勢(shì)能函數(shù)能函數(shù)由由0drdE122minamker得電子最小半徑：得電子最小半徑：進(jìn)而可得氫原子基態(tài)能量：進(jìn)而可得氫原子基態(tài)能量：eVkemE6 .132)(222所得結(jié)果與所得結(jié)果與玻爾所給的玻爾所給的結(jié)果相同！結(jié)果相同！rkemrE2222 不確定關(guān)系的常見形式：不確定關(guān)系的常見形式：)3(2)2(2)1(2 pEtpxx角動(dòng)量與角位移：角動(dòng)量與角位移：能量與時(shí)間：能量與時(shí)間：動(dòng)量與位置：動(dòng)量與位置：)1(2xpx動(dòng)量與位置：動(dòng)量與位置：不確定關(guān)系揭示了一條重要的規(guī)律：不確定關(guān)系揭示了一條重要的規(guī)律： 例例:原子的線度約為原子的線度約為 10-10 m ,求原子中電子速度的不確定

10、量求原子中電子速度的不確定量.解解:原子中電子的位置不確定量原子中電子的位置不確定量 10-10 m=105fm2xpx由不確定關(guān)系由不確定關(guān)系得電子速度的不確定量為得電子速度的不確定量為m/s.fmMeV.m/sfmMeVxmcccxmmpvxx55821085105110210319722)2(2Et能量與時(shí)間：能量與時(shí)間： 反映了原子能級(jí)寬度反映了原子能級(jí)寬度E 和原子在該能級(jí)的平均壽和原子在該能級(jí)的平均壽命命t 之間的關(guān)系之間的關(guān)系.E2EE 2EE 壽命壽命t基態(tài)基態(tài)電磁輻射電磁輻射基態(tài)基態(tài):t;E0激發(fā)態(tài)激發(fā)態(tài):t10-8s; E10-8eV “不能同時(shí)精確地測(cè)量不能同時(shí)精確地測(cè)量

11、”只是這一客觀規(guī)律的一個(gè)只是這一客觀規(guī)律的一個(gè)必然結(jié)果必然結(jié)果.從這個(gè)意義上看從這個(gè)意義上看,“測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系”這一名稱不這一名稱不妥妥.認(rèn)為不能同時(shí)測(cè)準(zhǔn)粒子的位置坐標(biāo)認(rèn)為不能同時(shí)測(cè)準(zhǔn)粒子的位置坐標(biāo)x及相應(yīng)的動(dòng)量的及相應(yīng)的動(dòng)量的解釋是不確切的解釋是不確切的,易誤認(rèn)為不確定關(guān)系是測(cè)量過程的一易誤認(rèn)為不確定關(guān)系是測(cè)量過程的一個(gè)限制個(gè)限制.不確定關(guān)系在宏觀世界不能得到直接體現(xiàn)不確定關(guān)系在宏觀世界不能得到直接體現(xiàn),但它并不但它并不為為0.基態(tài)氫原子的電子基態(tài)氫原子的電子r1=0.053nm,p=mc.從不確定關(guān)從不確定關(guān)系看系看,假定電子在假定電子在r1范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)且位置確定范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)且位置確定,

12、即即x=r1,則則相應(yīng)的動(dòng)量不確定度相應(yīng)的動(dòng)量不確定度:5 . 0137053. 0511. 0219722/12nmMeVMeVfmrmccpxpp 可見動(dòng)量的不確定程度甚大可見動(dòng)量的不確定程度甚大, ,以致無法確切說以致無法確切說明在此范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)的電子動(dòng)量為多大明在此范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)的電子動(dòng)量為多大. .一個(gè)一個(gè)10g的小球以的小球以10cm/s的速度運(yùn)動(dòng)的速度運(yùn)動(dòng),小球的瞬間位置小球的瞬間位置可精確確定可精確確定,如如x=10-4cm (已是很高的精度已是很高的精度),則相應(yīng)的則相應(yīng)的動(dòng)量不確定度：動(dòng)量不確定度：可見動(dòng)量的不確定度甚小可見動(dòng)量的不確定度甚小, ,目前沒有任何方法目前沒有任何方法

13、可覺察可覺察, ,完全可忽略不計(jì)完全可忽略不計(jì). .24634103 . 510/1 . 001. 0210055. 122/msmkgsJxmvpxpp說明說明:教材中的此上兩個(gè)例子均采用較為粗糙的不確教材中的此上兩個(gè)例子均采用較為粗糙的不確定關(guān)系定關(guān)系xph進(jìn)行運(yùn)算，因此所得結(jié)果與此有差異進(jìn)行運(yùn)算，因此所得結(jié)果與此有差異(相差相差1/4).x“波包波包”在實(shí)驗(yàn)上在實(shí)驗(yàn)上,可采取可采取“拍拍”的方法的方法測(cè)一個(gè)波的波長(zhǎng)測(cè)一個(gè)波的波長(zhǎng).兩列振幅相同頻兩列振幅相同頻率不同的波相干涉即形成率不同的波相干涉即形成“拍拍”.由數(shù)學(xué)上的富里哀分析知由數(shù)學(xué)上的富里哀分析知,為得到一個(gè)位置確定的孤為得到一個(gè)

14、位置確定的孤立波（波包）立波（波包）,須用多個(gè)頻率不同的波相疊加須用多個(gè)頻率不同的波相疊加.“觀察觀察”一個(gè)一個(gè)“拍拍” 的時(shí)間：的時(shí)間：)1(11 tt式（式（1）表示）表示,要無限精確地測(cè)準(zhǔn)頻率（要無限精確地測(cè)準(zhǔn)頻率（ 0）就）就需要無限長(zhǎng)的時(shí)間需要無限長(zhǎng)的時(shí)間(t).在在t內(nèi)波（波速為內(nèi)波（波速為v）通過的路程為：）通過的路程為： vtvx 222vxvdvdv)2(2 x式（式（2）表示）表示,要無限精確地測(cè)準(zhǔn)波長(zhǎng)要無限精確地測(cè)準(zhǔn)波長(zhǎng)(0),就需就需要在無限擴(kuò)展的空間要在無限擴(kuò)展的空間()中進(jìn)行觀察中進(jìn)行觀察.式（式（1）、（）、（2）是從經(jīng)典物理學(xué)的概念出發(fā)得到的）是從經(jīng)典物理學(xué)的概

15、念出發(fā)得到的.現(xiàn)將它用于微觀粒子現(xiàn)將它用于微觀粒子,將其與德布羅意關(guān)系相結(jié)合將其與德布羅意關(guān)系相結(jié)合,則立則立刻產(chǎn)生了新的觀念刻產(chǎn)生了新的觀念.hhhhppxpphxxpphpphdpphdphxxxxxx22222222 即得即得hpxx同樣的處理方法同樣的處理方法,有有1hEtthEhE hEt這樣即得不確定關(guān)系的一種表示形式：這樣即得不確定關(guān)系的一種表示形式：hEthpxx 假如入射電子具有確定的動(dòng)量假如入射電子具有確定的動(dòng)量p,經(jīng)過單縫（經(jīng)過單縫（d=x）后后,即使只考慮中心區(qū)即使只考慮中心區(qū)(75%的電子落在此區(qū)域的電子落在此區(qū)域),也至少也至少有有psin的動(dòng)量不確的動(dòng)量不確定性定

16、性,即即px psin0 0電子束電子束xph xx sin sinpm=1m=2m=3m=3m=2m=1確定中區(qū)位確定中區(qū)位置的關(guān)系式：置的關(guān)系式：d sindm sin決定中區(qū)旁各極決定中區(qū)旁各極小值的關(guān)系式：小值的關(guān)系式：hxpxpppxx sin設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的粒子被束縛在線度為的粒子被束縛在線度為r的范圍內(nèi)的范圍內(nèi),則則rppxxx22據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律,對(duì)于束縛在空間的粒子對(duì)于束縛在空間的粒子,其動(dòng)量在任何方其動(dòng)量在任何方向的平均分量必定為向的平均分量必定為0,即即 ,故有：故有：0 xp2222231)()(pppppppxxxxxdefx束縛粒子的最小平均動(dòng)能：束縛粒子的

17、最小平均動(dòng)能：與上一節(jié)所得結(jié)論一致與上一節(jié)所得結(jié)論一致. .說明此結(jié)論與形式無關(guān)說明此結(jié)論與形式無關(guān), ,只要粒子束縛在空間（或只要粒子束縛在空間（或稱勢(shì)阱內(nèi)）稱勢(shì)阱內(nèi)）, ,則粒子的最小動(dòng)能就不能為則粒子的最小動(dòng)能就不能為0,0,即粒子不可能落到阱底即粒子不可能落到阱底. .當(dāng)電子距核的距離越來越近時(shí)當(dāng)電子距核的距離越來越近時(shí),將從原子的線度將從原子的線度（0.1nm）過渡到原子核的線度（）過渡到原子核的線度（1fm）22832minmrmpEk當(dāng)電子距核越來越近時(shí)電子所需的平均動(dòng)能當(dāng)電子距核越來越近時(shí)電子所需的平均動(dòng)能將越來越大將越來越大, ,但電子無這樣大的能量補(bǔ)充但電子無這樣大的能量補(bǔ)

18、充, ,故而故而電子不能繼續(xù)靠近核電子不能繼續(xù)靠近核, ,更不可能落入核內(nèi)更不可能落入核內(nèi). .光譜線系中光譜線系中,電子在兩能級(jí)間躍遷電子在兩能級(jí)間躍遷,在初能級(jí)上必有一在初能級(jí)上必有一（能級(jí)壽命會(huì)受外界的影響）（能級(jí)壽命會(huì)受外界的影響）,即即t不能無限不能無限長(zhǎng)長(zhǎng).按不確定關(guān)系按不確定關(guān)系,此能級(jí)必存在相應(yīng)的寬度此能級(jí)必存在相應(yīng)的寬度E,這正是這正是譜線的自然寬度譜線的自然寬度,已由實(shí)驗(yàn)證實(shí)已由實(shí)驗(yàn)證實(shí).例如：假定原子中某激發(fā)態(tài)壽命為例如：假定原子中某激發(fā)態(tài)壽命為st810則則eVssMeVtctE8822103 . 31021058. 622譜線的自然寬度為譜線的自然寬度為要注意能級(jí)的壽

19、命常受外界條件影響。要注意能級(jí)的壽命常受外界條件影響。/8.0MHzE h 。一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免地排除另一些經(jīng)典概念一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免地排除另一些經(jīng)典概念的應(yīng)用的應(yīng)用, ,而而“另一些經(jīng)典概念另一些經(jīng)典概念”在另一些條件下又是描述在另一些條件下又是描述現(xiàn)象不可缺少的現(xiàn)象不可缺少的. .必須而且只須將這些互斥又互補(bǔ)的概念必須而且只須將這些互斥又互補(bǔ)的概念匯集起來匯集起來, ,才能也定能形成對(duì)現(xiàn)象的詳盡無遺的描述才能也定能形成對(duì)現(xiàn)象的詳盡無遺的描述. .海森堡的不確定關(guān)系從數(shù)學(xué)上表達(dá)了物質(zhì)的波粒二海森堡的不確定關(guān)系從數(shù)學(xué)上表達(dá)了物質(zhì)的波粒二象性象性.玻爾的互補(bǔ)原理從哲學(xué)的角度概括了波粒二象性玻爾的互補(bǔ)原理從哲學(xué)的角度概括了波粒二象性.玻爾認(rèn)為：粒子的波粒二象性不可能玻爾認(rèn)為：粒子的波粒二象性不可能在同一測(cè)量中同時(shí)出現(xiàn)在同一測(cè)量中同時(shí)出現(xiàn),兩個(gè)概念在描述兩個(gè)概念在描述微觀現(xiàn)象時(shí)是互斥的微觀現(xiàn)象時(shí)是互斥的,不會(huì)在同一實(shí)驗(yàn)中不會(huì)在同一實(shí)驗(yàn)中直接沖突直接沖突.二者在描述微觀時(shí)都是不可缺二者在描述微觀時(shí)都是不可缺少的少的,它們是互補(bǔ)并協(xié)的它們是互補(bǔ)并協(xié)的. 在任一時(shí)刻我們只能看到銀幣的一面在任一時(shí)刻我們只能看到銀幣的一面,而而只有當(dāng)銀幣的正、反兩面都被看到后只有當(dāng)銀幣的正、反兩面都被看到后,才可