過程控制與自動化儀表-第四章-微分方程

1、 被控過程數(shù)學(xué)模型被控過程數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型的概念 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。而被控過程的數(shù)學(xué)模型指過程的輸入變量與輸出變量之達式。而被控過程的數(shù)學(xué)模型指過程的輸入變量與輸出變量之間定量關(guān)系的描述。間定量關(guān)系的描述。1 1）過程的輸入變量至輸出）過程的輸入變量至輸出變量的信號聯(lián)系稱為變量的信號聯(lián)系稱為通道通道2 2）控制作用至輸出變量的）控制作用至輸出變量的信號聯(lián)系稱為信號聯(lián)系稱為控制通道控制通道3 3）干擾作用至輸出變量的）干擾作用至輸出變量的信號聯(lián)系稱為信號聯(lián)系稱為干擾通道干擾通道過程的輸出為控制通

2、道與干擾通道的輸出之和過程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和 數(shù)學(xué)模型的類型數(shù)學(xué)模型的類型（1 1）：）：微分方程：微分方程：時域、其它模型的基礎(chǔ)、直觀、求解繁瑣時域、其它模型的基礎(chǔ)、直觀、求解繁瑣（2 2）：）：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：復(fù)頻域、微分方程拉氏變換后的結(jié)果復(fù)頻域、微分方程拉氏變換后的結(jié)果（3 3）：）：動態(tài)模型：動態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程（1 1）：）：相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。（2 2）：）：簡化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡化之；準(zhǔn)確體現(xiàn)簡化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡化之；

3、準(zhǔn)確體現(xiàn)了系統(tǒng)性質(zhì)。了系統(tǒng)性質(zhì)。數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的特點（3 3）：）：靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。（4 4）：）：動態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。動態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 （1 1）：全面、深入地掌握被控過程的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)設(shè)計）：全面、深入地掌握被控過程的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。 （2 2）：良好數(shù)學(xué)模型的建立是控制器參數(shù)確定的重要依據(jù)。）：良好數(shù)學(xué)模型的建立是控制器參數(shù)確定的重要依據(jù)。 （3 3）：數(shù)學(xué)建模是仿真或研究、開發(fā)新型控制策略的必要條件。）：數(shù)學(xué)建模是仿真或研究、開發(fā)新

4、型控制策略的必要條件。 （4 4）：通過對生產(chǎn)工藝過程及相關(guān)設(shè)備數(shù)學(xué)模型的分析或仿真，）：通過對生產(chǎn)工藝過程及相關(guān)設(shè)備數(shù)學(xué)模型的分析或仿真，可以為生產(chǎn)工藝及設(shè)備的設(shè)計與操作提供指導(dǎo)?？梢詾樯a(chǎn)工藝及設(shè)備的設(shè)計與操作提供指導(dǎo)。 （5 5）：利用數(shù)學(xué)模型可以及時發(fā)現(xiàn)工業(yè)過程中控制系統(tǒng)的故障）：利用數(shù)學(xué)模型可以及時發(fā)現(xiàn)工業(yè)過程中控制系統(tǒng)的故障及其原因，并提供正確的解決途徑。及其原因，并提供正確的解決途徑。被控過程數(shù)學(xué)模型在過程控制中的重要性：被控過程數(shù)學(xué)模型在過程控制中的重要性：一般步驟一般步驟 1) 1) 分析系統(tǒng)運動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及分析系統(tǒng)運動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、

5、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。 2) 2) 忽略一些次要因素，合理簡化。忽略一些次要因素，合理簡化。 3) 3) 根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 4) 列寫中間變量的輔助方程。（方程數(shù)與變量數(shù)相等）列寫中間變量的輔助方程。（方程數(shù)與變量數(shù)相等） 5) 5) 聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。程式。系統(tǒng)微分方程的建立系統(tǒng)微分方程的建立基本定理：基本定理：1.1.牛頓第二定律：牛頓第二定律：F=maF=ma2.2.簡化

6、模型為阻尼器簡化模型為阻尼器f f、彈簧、彈簧k k、質(zhì)量塊、質(zhì)量塊m m大?。捍笮。篸tdyfvfFff粘滯摩擦系數(shù)粘滯摩擦系數(shù)大?。捍笮。簓kFkk彈簧系數(shù)彈簧系數(shù)方向均為阻礙物體運動趨勢方向均為阻礙物體運動趨勢 例例 彈簧彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。 試列出以外力試列出以外力F(t)F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)y(t)為為輸出量的運動方程式。輸出量的運動方程式。 解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：解：遵照列寫微分方程的一般步驟有： （1 1）確定）確定輸入量輸入量為為F(t)，輸出量輸出量為為y(t)，作用于質(zhì)，作用于質(zhì)量量m的

7、力還有彈性阻力的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力和粘滯阻力Ff(t)，均作為，均作為中間變量。中間變量。 （2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時，且無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 KmfF(t)y(t)（3 3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即）按牛頓第二定律列寫原始方程，即 （5 5）將以上輔助方程式代入原始方程）將以上輔助方程式代入原始方程, ,消去中消去中間變量間變量, ,得得)(22tFdtdyfkydtydm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式kytFk

8、 )( )(dtdyffvtFfKmfF(t)y(t)sfTTTTdtdJ22TkdtdfdtdJ22f f 轉(zhuǎn)動時粘滯摩擦系數(shù)轉(zhuǎn)動時粘滯摩擦系數(shù)k k 彈性扭轉(zhuǎn)變形系數(shù)彈性扭轉(zhuǎn)變形系數(shù)課堂習(xí)題課堂習(xí)題 求圖所示機械系統(tǒng)的微分方程式，圖中求圖所示機械系統(tǒng)的微分方程式，圖中F(t)F(t)為輸入量，位移為輸入量，位移x(t)x(t)為輸出量，為輸出量，m m為質(zhì)量，為質(zhì)量，k k為彈簧的彈性系數(shù)，為彈簧的彈性系數(shù)，f f為粘滯阻尼系數(shù)為粘滯阻尼系數(shù)基本定理：基本定理：1.1.環(huán)路電壓定律環(huán)路電壓定律2.2.典型元件的電壓與電流的關(guān)系典型元件的電壓與電流的關(guān)系0iU和節(jié)點電流定律和節(jié)點電流定律oi

9、II 例例 電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-CR-L-C串聯(lián)電路，試串聯(lián)電路，試列出以列出以u ur r( (t t) )為輸入量，為輸入量，u uc c( (t t) )為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。 R C ur(t) uc(t) L 解：（解：（1 1）確定輸入量為）確定輸入量為ur(t)，輸出量為，輸出量為uc(t)，中間變量為，中間變量為i(t)。 （2 2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。 rcuuRidtdiL （4 4）列寫中間變量）列寫中間變量i i與輸出變量與輸出變量uc u

10、c 的關(guān)系式的關(guān)系式: : dtduCic （5 5）將上式代入原始方程，消去中間變量得）將上式代入原始方程，消去中間變量得 R Cur(t)uc(t) L（3 3）由）由KVLKVL寫原始方程：寫原始方程：i(t)rcccuudtduRCdtudLC22 下圖是一個由理想運算放大器組成的電容負(fù)反饋電路。電壓下圖是一個由理想運算放大器組成的電容負(fù)反饋電路。電壓ui(t)ui(t)和和uo(t)uo(t)分別表示輸入量和輸出量，試確定這個電路的微分方程式。分別表示輸入量和輸出量，試確定這個電路的微分方程式。 dttuudCIRutuoAAi)()(tudttduRCio課堂習(xí)題課堂習(xí)題 求圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程式，圖中求圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程式，圖中Ui(t)Ui(t)為輸入量，為輸入量，Uo(