高中數(shù)學(xué)思維校本課程

1、肥城市第六中學(xué)校本研修評(píng)估考核材料二 0 一 五 年 十一 月目 錄課程開發(fā)與實(shí)施安排表校本課程實(shí)施綱要第一部分 數(shù)學(xué)思維的變通性（1）善于觀察（2）善于聯(lián)想（3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化第二部分 數(shù)學(xué)思維的反思性(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤(2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練(3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解校本課程開發(fā)與實(shí)施安排表課程開發(fā)生活中的數(shù)學(xué)開發(fā)教師教研組數(shù)學(xué)組課程學(xué)習(xí)目標(biāo)以全面貫徹落實(shí)課改精神為宗旨，以數(shù)學(xué)思維為主線，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，全面推進(jìn)素質(zhì)教育。1、 通過教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；2、 通過教學(xué)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)源于生活、應(yīng)用于生活；3、 通過數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決

2、問題等自主學(xué)習(xí)的能力課程內(nèi)容設(shè)計(jì)第一部分 數(shù)學(xué)思維的變通性第二部分 數(shù)學(xué)思維的反思性第三部分 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性第四部分 數(shù)學(xué)思維的開拓性可提供的總教案數(shù)教材方式適用年級(jí)高一、高二選課人數(shù)60教學(xué)設(shè)備要求多媒體所需課時(shí)6-8上課形式集體參考文獻(xiàn)考核方式考核指標(biāo)及標(biāo)準(zhǔn)出勤率日常作業(yè)考核（學(xué)分）總評(píng)0.20.10.61學(xué)科組長意見學(xué)生選報(bào)情況綜述（包括學(xué)生應(yīng)具備的基本素質(zhì)）上屆學(xué)生反饋及需完善的地方校本課程指導(dǎo)小組意見數(shù)學(xué)思維校本課程綱要一、基本項(xiàng)目課程名稱：數(shù)學(xué)思維授課老師：授課對象：高一、高二年級(jí)部分學(xué)生教學(xué)材料：相關(guān)網(wǎng)站、資料二、課程目標(biāo)以全面貫徹落實(shí)課改精神為宗旨，以數(shù)學(xué)思維為主線，提高學(xué)生

3、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，全面推進(jìn)素質(zhì)教育。1、通過教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；2、通過教學(xué)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)源于生活、應(yīng)用于生活；3、通過數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題等自主學(xué)習(xí)的能力課程內(nèi)容：第一部分 數(shù)學(xué)思維的變通性第二部分 數(shù)學(xué)思維的反思性第三部分 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性第四部分 數(shù)學(xué)思維的開拓性四、課程實(shí)施建議基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)、實(shí)物演示、電教配合、圖上作業(yè)、小組研討、模擬訓(xùn)練、考查等。五、課程評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)指標(biāo)（一）：學(xué)生自評(píng)與互評(píng)相結(jié)合，即上課出勤情況、課堂紀(jì)律情況、參與練習(xí)情況、團(tuán)結(jié)協(xié)作情況；評(píng)價(jià)指標(biāo)（二）：平時(shí)模擬訓(xùn)練與考查相結(jié)合；評(píng)價(jià)指標(biāo)（三）：教師綜合評(píng)定給與相應(yīng)等級(jí)；評(píng)價(jià)等級(jí)均為：優(yōu)秀、良好、中

4、等、須努力四檔第一講 數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：（1）善于觀察（2）善于聯(lián)想（3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化（1）觀察能力的訓(xùn)練任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練

5、，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1 已知都是實(shí)數(shù)，求證 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而xyO圖121左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè)如圖121所示，則 在中，由三角形三邊之間的關(guān)系知： 當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立。 因此， 例2 已知，試求的最大值。解 由 得又當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為思路分析 要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條

6、件，體現(xiàn)了思維的變通性。例3 已知二次函數(shù)滿足關(guān)系，試比較與的大小。xyO2圖122思路分析 由已知條件可知，在與左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。解 （如圖122）由，知是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線它與距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。（2）聯(lián)想能力的訓(xùn)練聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組.這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為，這兩

7、個(gè)數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，、是一元二次方程 的兩個(gè)根，所以或.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。例4 在中，若為鈍角，則的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定思路分析 此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。解 為鈍角，.在中且故應(yīng)選擇（B）例5 若思路分析 此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來證題。證明 當(dāng)時(shí)，等式 可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 即

8、若，由已知條件易得 即,顯然也有.例6 已知均為正實(shí)數(shù),滿足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:思路分析 由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)所對的角分別為、則是直角，為銳角，于是 且當(dāng)時(shí)，有于是有即 從而就有 （3）問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系

9、。例如，已知,求證、三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 例11 已知求證、中至少有一個(gè)等于1。思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我

10、們熟悉的形式。、中至少有一個(gè)為1，也就是說中至少有一個(gè)為零，這樣，問題就容易解決了。證明 于是 中至少有一個(gè)為零，即、中至少有一個(gè)為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。例12 直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點(diǎn)在軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，問在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到直線的距離。思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線

11、（1）是，又從已知條件可得橢圓的方程為 （2）因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求的取值范圍。將（2）代入（1）得： （3）確定的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組： 在的條件下，得本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。 逆向思維的訓(xùn)練逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13 已知函數(shù)，求證、中至少有一個(gè)不小于1.思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證

12、結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。證明 （反證法）假設(shè)原命題不成立，即、都小于1。則 得 ，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即、中至少有一個(gè)不小于1。 一題多解訓(xùn)練 由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例14 已知復(fù)數(shù)的模為2，求的最大值。解法一（代數(shù)法）設(shè)解法二（三角法）設(shè)yxOi-2i圖123Z則 解法三（幾何法）如圖123 所示，可知當(dāng)時(shí)，解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)）而當(dāng)時(shí)，解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)） 又第二講 數(shù)學(xué)思維

13、的反思性一、概述數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓(xùn)練實(shí)例(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。 例1 已知，若求的范圍。錯(cuò)誤解法 由條件得 ×2得 ×2得 則 +得 錯(cuò)誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大（小）值時(shí)，不一定取最大（?。┲?，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。正確解法 由題意有解得：把和的范圍代入得

14、 在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問題。例2 證明勾股定理：已知在中，求證錯(cuò)誤證法 在中，而，即錯(cuò)誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。(2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解

15、題過程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。例3 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：例4 實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等正根，得 解之，得錯(cuò)誤分析 （如圖221；222）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。xyO圖222xyO圖221要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，（1） 有一個(gè)公共點(diǎn)；（2） 有三個(gè)公共點(diǎn)；（3） 有四個(gè)公共點(diǎn)；（4） 沒有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的