五年級奧數(shù)容斥問題學科競賽

1、容斥問題容斥問題 1、什么是容斥問題、什么是容斥問題 2、容斥原理、容斥原理容斥原理的進階練習容斥原理的進階練習基礎基礎 詳解：什么是容斥問題詳解：什么是容斥問題 探索之旅 容斥問題容斥問題容容包括包括斥斥排除排除661=11（人）（人）答：共有答：共有11人。人。排隊問題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第排隊問題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第6，這一排共有幾個人？，這一排共有幾個人？ 洗好的洗好的8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個夾子？塊手帕夾在繩子上晾干，同一個夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個夾子？ 827=9（個）（個）答：一共要答

2、：一共要9個夾子。個夾子。即當兩個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。即當兩個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。容斥原理：對幾個事物，如果采用兩種不同的分類，那么具有性質(zhì)容斥原理：對幾個事物，如果采用兩種不同的分類，那么具有性質(zhì)1或性質(zhì)或性質(zhì)2的事物個數(shù)等于性質(zhì)的事物個數(shù)等于性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)2減減去它們的共同性質(zhì)。去它們的共同性質(zhì)。例：學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有例：學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有24人，會彈電子琴的有人，會彈電子琴的有17人，人，其中兩種樂器都會演奏的有其中兩種樂器都會演

3、奏的有8人。這個文藝組一共有多少人？人。這個文藝組一共有多少人？ 拉手風拉手風琴的人琴的人數(shù)：數(shù)：2424人人彈電子琴的彈電子琴的人數(shù)：人數(shù)：1717人人兩種兩種都會都會彈的彈的人數(shù)：人數(shù)：8 8人人？人？人24178=33（人）（人）答：一共有答：一共有33人。人。容斥原理：容斥原理：1 1、找分的類：、找分的類：2 2類類 找找1 1、2 2類共有的類共有的2 2、2 2類的總個數(shù)等于類的總個數(shù)等于2 2類的和減去它們類的和減去它們的共有的。的共有的。五年級學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有五年級學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成

4、績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)人，數(shù)學優(yōu)秀的有學優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有30人，問五年級一共有多少人？人，問五年級一共有多少人？ 語文優(yōu)秀的語文優(yōu)秀的人數(shù)：人數(shù)：6565人人數(shù)學優(yōu)秀的數(shù)學優(yōu)秀的人數(shù)：人數(shù)：8787人人兩科都優(yōu)秀兩科都優(yōu)秀的人數(shù)：的人數(shù)：3030？人？人658730=122（人）（人）答：五年級一共有答：五年級一共有122人。人。四（一）班學生參加數(shù)學小組和科技小組，每個學生至少參加一個小組，有四（一）班學生參加數(shù)學小組和科技小組，每個學生至少參加一個小組，有25人參加數(shù)學小人參加數(shù)學小組，組，23人參加科技小組，有人參加科技小組，有19

5、人兩個小組都參加了。那么四（一）班一共有多少人？人兩個小組都參加了。那么四（一）班一共有多少人？252319=29（人）（人）答：一共有答：一共有29人。人。例：一班有例：一班有48人，班主任在班會上問：人，班主任在班會上問：“誰做完了語文作業(yè)？請舉手誰做完了語文作業(yè)？請舉手”有有37人舉手，又問：人舉手，又問：“誰做完誰做完了數(shù)學作業(yè)？請舉手了數(shù)學作業(yè)？請舉手”有有42人舉人，最后問：人舉人，最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒做完？請舉手誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒做完？請舉手”結(jié)果沒有人舉結(jié)果沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個？手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個？ 做完

6、語文的做完語文的人數(shù)：人數(shù)：3737人人做完數(shù)學的做完數(shù)學的人數(shù)：人數(shù)：4242人人兩科做完的兩科做完的人數(shù)：？人數(shù)：？48人人374248=31（人）（人）答：這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的人數(shù)是答：這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的人數(shù)是31人。人。五年級有五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有名學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學優(yōu)秀的有人，數(shù)學優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？ 語文優(yōu)秀的語文優(yōu)秀的人數(shù)：人數(shù)：6565人人數(shù)學優(yōu)秀的數(shù)學優(yōu)秀的人數(shù)：

7、人數(shù)：8787人人兩科做完的兩科做完的人數(shù)：？人數(shù)：？122人人6587122=30（人）（人）答：語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有答：語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有30人。人。在在1到到100的全部自然數(shù)中，既不是的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)，也不是的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)有多少個？的倍數(shù)有多少個？ 5 5的倍數(shù)的的倍數(shù)的個數(shù)數(shù)：個數(shù)數(shù)：6 6的倍數(shù)的的倍數(shù)的個數(shù)：個數(shù)：3030的倍數(shù)的的倍數(shù)的個數(shù)：個數(shù)：？個？個1005=20（個）（個）答：有答：有67個。個。不是不是5的倍數(shù)；不是的倍數(shù)；不是6的倍數(shù)；的倍數(shù)；不是不是30的倍數(shù)的倍數(shù)5的倍數(shù)的個數(shù)；的倍數(shù)的個數(shù)；6的倍數(shù)的個數(shù)；的倍數(shù)的個數(shù)；30的倍數(shù)的個的

8、倍數(shù)的個數(shù)數(shù)1006=16 （個）（個） 410030=3 （個）（個） 1020163=33 （個）（個）10033=67 （個）（個）例：例：全班學生全班學生40人，愛好音樂的有人，愛好音樂的有18人，愛好舞蹈的有人，愛好舞蹈的有21，愛好美術(shù)的有，愛好美術(shù)的有9人，既愛好音樂又愛好舞蹈的有人，既愛好音樂又愛好舞蹈的有3人，既愛好音樂又愛好美術(shù)的有人，既愛好音樂又愛好美術(shù)的有1人，但沒有人這三種都愛好，也沒有人都不愛好的。問有多少既愛人，但沒有人這三種都愛好，也沒有人都不愛好的。問有多少既愛好舞蹈又愛好美術(shù)？好舞蹈又愛好美術(shù)？ 182193140=4440=4（人）（人） 答：有答：有4人

9、既愛好舞蹈又愛好美術(shù)。人既愛好舞蹈又愛好美術(shù)。某班有學生某班有學生50人，其中人，其中35人會游泳，人會游泳，38人會騎自行車，人會騎自行車，40人會溜冰，人會溜冰，46人會打乒乓。問四項活動都會人會打乒乓。問四項活動都會的至少有多少人？的至少有多少人？ 一項不會的就不符合一項不會的就不符合 一項不會的盡可能的多，即考一項不會的盡可能的多，即考慮重復的慮重復的 不會游泳的：不會游泳的： 5035=15（人）（人） 不會騎自行車的：不會騎自行車的： 5038=12（人）（人） 不會溜冰的：不會溜冰的： 5040=10（人）（人） 不會打乒乓的：不會打乒乓的： 5046=4（人）（人）四項都會的至

10、少有：四項都會的至少有： 50（1512104）=9（人）（人）課后過關：課后過關：一個旅行社有一個旅行社有36人，其中會英語的有人，其中會英語的有24人，會法語的人，會法語的18人，兩樣都不會的有人，兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多少人？人。兩樣都會的有多少人？ 練習時間：容斥原理練習時間：容斥原理 探索之旅五年級五年級96名學生都訂了刊物，有名學生都訂了刊物，有64人訂了少年報，有人訂了少年報，有48人訂了小學生報，問兩種刊物都訂的有多少人？人訂了小學生報，問兩種刊物都訂的有多少人？64人48人？人（兩種都訂的）？人（兩種都訂的）96人64+48-96=112-96=16（人）1、一個班

11、的、一個班的52人都在做語文和數(shù)學作業(yè)，有人都在做語文和數(shù)學作業(yè)，有32人做完了語文作業(yè)，有人做完了語文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學作業(yè)，這個班語文、人做完了數(shù)學作業(yè)，這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的有多少人？數(shù)學作業(yè)都做完的有多少人？2、五年級有、五年級有112人參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課得優(yōu)，其中，語文得優(yōu)的有人參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課得優(yōu)，其中，語文得優(yōu)的有65人，數(shù)學得優(yōu)的人，數(shù)學得優(yōu)的有有87人，問語文、數(shù)學得優(yōu)的有多少人？人，問語文、數(shù)學得優(yōu)的有多少人？3、某班有、某班有50名學生，在一次測試中有名學生，在一次測試中有26人滿分，在第二次測試中有人滿分，在第二次測

12、試中有21人滿分。如果兩次測試都沒有得過滿分人滿分。如果兩次測試都沒有得過滿分的學生有的學生有17人，那么，兩次測試都獲滿分的有多少人？人，那么，兩次測試都獲滿分的有多少人？某地區(qū)的外語教師中，每人至少懂得英語和日語中一種語言。已知有某地區(qū)的外語教師中，每人至少懂得英語和日語中一種語言。已知有35人懂英語，有人懂英語，有34人懂日語，兩種語人懂日語，兩種語言都懂的有言都懂的有21人，這個地區(qū)有多少個外語教師？人，這個地區(qū)有多少個外語教師？1、某校的每個學生至少愛好體育和文娛中的一種活動，已知有、某校的每個學生至少愛好體育和文娛中的一種活動，已知有900人愛好體育活動，有人愛好體育活動，有850

13、人愛好文娛活人愛好文娛活動，其中動，其中260人兩種活動都愛好。這個學校共有學生多少人？人兩種活動都愛好。這個學校共有學生多少人？2、某班在一次測試中有、某班在一次測試中有26人語文獲優(yōu)，有人語文獲優(yōu)，有30人數(shù)學獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學雙優(yōu)的有人數(shù)學獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學雙優(yōu)的有12人，另外還有人，另外還有8人語人語文、數(shù)學都未獲優(yōu)，這個班共有多少個學生？文、數(shù)學都未獲優(yōu)，這個班共有多少個學生？3、第一小組的同學們都在兩道數(shù)學思考題，做對第一題的有、第一小組的同學們都在兩道數(shù)學思考題，做對第一題的有15人，做對第二題的有人，做對第二題的有10人，兩題都做對的人，兩題都做對的有有7人，兩題都做錯的有

14、人，兩題都做錯的有2人，第一小組一共有多少人？人，第一小組一共有多少人？612= 0.87-0.49= 1740= 1.68= 2.80.4= 14-7.4= 5.4400= 51.06= 4.30.5= 0.1450= 4= 0.1250.25= 2.56-0.37= 1.054= 1.5+0.254= 30.20.5= 0.841.60.840.6= 12.518.50.8= 在在100個外語教師中，懂得英語的個外語教師中，懂得英語的75人，懂日語的人，懂日語的45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師，問：只懂人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師，問：只懂英語的教師有多少人？英語的教師有多

15、少人？75+45=120（人）120-100=20（人）75-20=55（人）答：只懂英語的教師有答：只懂英語的教師有55人。人。1、40人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題，已知做對第一題的有人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題，已知做對第一題的有30人，做對第二題的有人，做對第二題的有21人，問：只做對第一題的有多少人？人，問：只做對第一題的有多少人？2、五年級、五年級122名同學參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門得優(yōu)，已知語文名同學參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門得優(yōu)，已知語文65 人得優(yōu)，數(shù)學人得優(yōu)，數(shù)學78人得優(yōu)，人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。求只有語文一門

16、得優(yōu)的人數(shù)。3、全班、全班46名同學，僅會打乒乓球的有名同學，僅會打乒乓球的有28人，會打乒乓球又會打羽毛球的有人，會打乒乓球又會打羽毛球的有10人，不會打乒乓球又不會打人，不會打乒乓球又不會打羽毛球的有羽毛球的有6人，僅會打羽毛球的有多少人？人，僅會打羽毛球的有多少人？例：學校開展課外活動，共有例：學校開展課外活動，共有250250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學不同時活動，參加象棋組的人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學不同時活動，參加象棋組的8383人，參加乒乓球組的有人，參加乒乓球組的有8686人，這兩個小組都參加的有人，這兩個小組都參加的有2525人。問：這人。問：這2502

17、50名同學中，乒乓球組都不會參加的有名同學中，乒乓球組都不會參加的有多少人？多少人？83+86-25=169-25=144（人）250-144=106（人）答：乒乓球組都不會參加的有答：乒乓球組都不會參加的有106人。人。1、100位旅客中，有位旅客中，有70人懂英語，有人懂英語，有65人懂日語，既懂英語又懂日語的有人懂日語，既懂英語又懂日語的有45 人，那么，既不懂英語又不人，那么，既不懂英語又不懂日語的有多少人？懂日語的有多少人？2、五（、五（1）班有學生）班有學生50人，在一次測試中，語文人，在一次測試中，語文90分以上的有分以上的有30人，數(shù)學人，數(shù)學90分以上的分以上的35人，語文和

18、數(shù)學都人，語文和數(shù)學都在在90分以上的有分以上的有20人，人，90分以下的有多少人？分以下的有多少人？3、老師在統(tǒng)計考試成績。數(shù)學得、老師在統(tǒng)計考試成績。數(shù)學得90分以上的有分以上的有25人，語文得人，語文得90分以上的有分以上的有21人，兩科中有一科有人，兩科中有一科有90分以分以上的有上的有38人，問：兩樣都得人，問：兩樣都得90分以上的有多少人？分以上的有多少人？例：實驗小學各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有例：實驗小學各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有2020人獲獎，在獲獎者中有人獲獎，在獲獎者中有1616人不是四人不是四年級的，有年級的，有1212人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？1、五一小學舉行小學生田徑運動會，其中、五一小學舉行小學生田徑運動會，其中24名運動員不是六年級的，名運動員不是六年級的，28名運動員不是五年級的，已知五、名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員共六年級運動員共32名，五、六年級和中低年級運動員各有幾名？名，