初中數(shù)學平面幾何軸對稱變換習題教案

1、幾何變換-軸對稱變換提高題【知識提要】 1. 如果已知平面上直線和一點，自點作的垂線，垂足設為，在直線上、的另一側取點，使得，如圖所示，我們稱點是點關于直線的軸對稱點，或者說點與點關于直線為軸對稱，其中稱為對稱軸.2. 圖形的每一點關于直線的對稱點組成的圖形，稱為關于軸的軸對稱圖形.把一個圖形變?yōu)殛P于直線的軸對稱圖形的變換，叫作軸對稱變換(或反射變換)，直線稱為對稱軸(反射軸).3. 我們?nèi)菀紫氲?，一條線段關于它的垂直平分線為軸對稱圖形，一個角關于它的角平分線為軸對稱圖形.在幾何證題或解題時，如果圖形是軸對稱圖形，則經(jīng)常要添加對稱軸以便充分利用軸對稱圖形的性質(zhì)；如果圖形不是軸對稱圖形，往往可選

2、擇某直線為對稱軸，補為軸對稱圖形，或?qū)ΨQ軸一側的圖形反射到該直線的另一側，以實現(xiàn)條件的相對集中.4. 在幾何問題中有兩種常用而比較普遍的對稱圖形，它們是軸對稱圖形和中心對稱圖形.利用對稱性解題是解決幾何問題的有效方法之一，本講重點講解軸對稱圖形.(1) 軸對稱變換：把一個圖形變?yōu)殛P于某一直線為對稱軸的軸對稱圖形，這種變換稱為軸對稱變換.在幾何圖形中，如果是軸對稱圖形，則常添加對稱軸，以充分利用對稱的性質(zhì).如等腰三角形、等腰梯形的對稱軸可以應用三線合一等；對于正方形、菱形，經(jīng)常添加對角線等.(2) 中心對稱變換：把一個圖形繞著一個定點按一定方向、一個角度旋轉(zhuǎn)而得到另一個圖形，這種變換稱為旋轉(zhuǎn)變

3、換.特殊地，當旋轉(zhuǎn)角為時，稱為中心對稱變換.平行四邊形是中心對稱圖形，矩形、菱形、正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.在對稱變換下，可使某些相關元素相對集中，為充分運用已知條件、轉(zhuǎn)化結論提供方便.【例題精講】 【例1】在中，由點向邊引高線，垂足落在上，如果，求證：.【解法1】如圖所示，以為對稱軸翻折到的位置，則在上，.在中，根據(jù)外角定理可知，所以，故.【解法2】以為對稱軸翻折到的位置，則，從而.進而，而(由“翻折”的特點決定)，故.【解法3】回顧一下我們在第10講中所學的知識，可知，即.注意到，故，即，亦即，故.【點評】題設中的給了我們太多的聯(lián)想！我們不妨回憶一下第4講、第5講、第10講，

4、看看是否還有其他解法(比如延長至，使).【例2】如圖所示，在四邊形中，求證：.【解析】注意到，這提示我們可以進行對稱變換以“創(chuàng)造”出角.以為對稱軸將翻折到的位置，連接.則，故為等邊三角形.從而，等號成立時平分.【變式】(第3屆英國數(shù)學奧林匹克競賽試題) 如圖所示，在中，、為的兩條高，求證：.【解法1】將改寫為，可形成下面的思路：的平分線記為，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，過點作的垂線，因為，而，故.【解法2】我們用“分析法”尋求思路：.注意到，故.而由、.【例3】如圖所示，在四邊形中，求四邊形的面積.【解析】直接計算四邊形的面積有困難，注意到，我們以的垂直平分線為對稱軸，作的關于的軸對稱

5、圖形，從而可以將角度集中.，所以，因此，是直角三角形.由勾股定理求得.在中，.而.由勾股定理的逆定理可知.【變式】在凸四邊形中，,.如果厘米，求四邊形的面積.【解析】如圖所示，以邊上的中垂線為對稱軸作的軸對稱圖形，則，故、共線.又因為，由可知，而，故.因此，是等腰直角三角形.故.【例4】(1993年圣彼得堡數(shù)學奧林匹克競賽試題) 已知點是四邊形的邊的中點，且,證明：.【解析】顯然，要證題設的不等式，應當把，三條線段首尾連接成一條折線，然后再與線段比較.要實現(xiàn)這一構想，折線之首端應與點重合，尾端應與點重合，這可由軸對稱來實現(xiàn).以為對稱軸，作點關于的對稱點，連接、，則，即，由此.再以為對稱軸，作點

6、關于的對稱點，連接、，則，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等邊三角形，.由于兩點之間以直線段為最短，所以，即.【變式】(2001年波羅的海地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題) 設是凸四邊形的邊的中點，求證：.【解析】作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接、，則，且，.而，則，故.【例5】(2001年波羅的海地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題) 如圖所示，在中，的平分線交于點，已知，且，求的各個內(nèi)角.【解析】是角平分線提示我們可以進行“翻折”.將點翻折到的位置，且在的延長線上，且，.延長至點，使，則，故，從而，則，故為等邊三角形.故，.【變式】如圖所示，已知在中，的平分線交于，求之長.【解法1】由于平

7、分，因此這就提供了以為軸進行對稱變換的可能性.取的中點，連接，交于，易知與關于對稱，且.由于，所以.延長至，使，連接交的延長線于點.顯然和關于對稱，且.由于是的中位線，所以，.因為，所以.所以，.于是.【解法2】回顧一下我們學過的第9講例3之“變式2”：如圖所示，在中，平分且交于點，求證：.直接應用此結論可得，即.下面的題目作為備用題：【備選1】如圖所示，在中，為三角形內(nèi)一點，求證：.【解析】由已知條件，考慮作直線于，并以為對稱軸將翻折至的位置，連接.由軸對稱的性質(zhì)有，.因為，于是，即是正三角形，從而可得，.再由三內(nèi)角之和為，即，整理后得.【備選2】如圖所示，在中，為的中點，是邊上的點，求的面

8、積與的面積的兩倍的和.【解析】將補成一個等邊三角形，并作的對稱三角形，可以發(fā)現(xiàn)等邊三角形的面積等于.作，其中點在的延長線上，則為等邊三角形.作于點，并取點關于點的對稱點，則有.而，故，且相似比為.則.而()，故.【復習鞏固】 練習1. 如圖所示，在中，是邊上的高，點在內(nèi)部，求證：.【解析】作點關于的對稱點，連接并延長交于點，連接.因為，是邊上的高，易得.因為，故.練習2.(1997年羅馬尼亞數(shù)學奧林匹克競賽試題) 如圖所示，在四邊形中，求證：(1) ；(2) .【解析】(1) 以為對稱軸將翻折到的位置，則由可知在上，且，.將平移到的位置，則由可知在的延長線上，且，因此是一個等腰梯形，所以，于是

9、.(2) 由(1)可得，即，而由及勾股定理可得，故.練習3. 在中，為內(nèi)部一點，求的度數(shù).【解析】容易求得，.的對稱軸為，作點關于的對稱點，則，故為等邊三角形，則平分，.故.練習4. 如圖所示，為邊上的一點，且，已知，試求的度數(shù).【解析】作出點關于直線的對稱點，連接、，則，如圖所示.取的中點，連接，則為等邊三角形，故，.又因為，故，故平分，故點到直線、等距，從而是的外角平分線，所以. 別看悉尼奧運會開著的時候很風光，但賽事一結束，許多奧運會的設施就將告別悉尼，以賽場座椅為例，比賽結束后，將有一半的座椅要遠渡重洋，運回法國。為了節(jié)約開支，本屆奧運會有不少東西都是“借的”。據(jù)負責奧林匹克公園場館建

10、筑設計的官員介紹，本屆奧運會不少場館是臨時的，比如排球館是娛樂中心，舉重館是會議中心，擊劍館則是展覽中心，羽毛球館竟是農(nóng)展館。這里面的觀眾席大多是臨時搭建的，由于澳洲根本沒那么多椅子，新生產(chǎn)又擔心在奧運會后無法處置，因此精明的澳大利亞人想起了租借，這五六萬把椅子就是從遙遠的法國租來的，賽后就將被拆下來運回法國。臨時性的不僅是場館和座椅，就連奧林匹克公園里的所有的空調(diào)系統(tǒng)都是從美國租來的，賽后也都物歸原主。老家院里有幾棵核桃樹，每年春夏之交，長得枝繁葉茂，一派欣欣向榮的景象。沒事的時候我就數(shù)樹上的花朵，看看今年到底能結多少核桃。數(shù)不勝數(shù)的花讓我心里暖暖的，今年核桃肯定能夠大豐收。我望著核桃樹，臉

11、上是絲毫掩飾不住的對豐收的渴盼表情。核桃剛成形的時節(jié)，鄰居家饞嘴的小孩經(jīng)常趁我們不注意的時候，用石塊、長棍將我家伸出墻外的核桃樹一陣亂打。等我出門時，他們早已跑得無影無蹤?？吹降厣洗蚵涞臉渲腿~子，我很心疼。畢竟果實還沒成熟不能入口??！再看看被打傷的核桃樹，有的樹枝被打斷了，歪歪斜斜地掉了下來；有的枝丫主干被打斷了，僅僅連著一點點樹皮；有的核桃皮被打爛了，慘不忍睹。我很痛心地嘆息道：“完了，今年的核桃肯定減產(chǎn)了！”站在一邊的父親卻笑嘻嘻地說：“這是好事啊，這是好事！”我弄不懂父親到底是什么意思。父親說：“等秋天收核桃的時候你就明白了。”語氣平和坦然，一點都沒有責備人家的意思。此后，經(jīng)常有不懂事

12、的小孩子光顧我家，趁我們不在家或者不注意的時候襲擊我家的核桃樹。我想出門攔阻時，總被父親勸?。骸坝芍麄儼?，實際上他們在幫我們的忙呢?！备赣H如此寬宏大量，我也不好再說什么了，眼睜睜地看著他們由著性子用石塊、棍子和我家的核桃樹親密接觸?？斓角锾焓蘸颂业臅r節(jié)，我發(fā)現(xiàn)我家的核桃樹遍體鱗傷，幾乎沒有一根完整的樹枝。同時，我發(fā)現(xiàn)了一個奇怪的現(xiàn)象，被小孩子打過的核桃枝上的核桃比沒有打過的樹枝上結的核桃大多了，而且結的果實也比一般的多。核桃成熟后一嘗，果然受傷的核桃比沒受傷的核桃可口得多。這引起了我濃厚的興趣，便向父親請教其中的原因。父親解釋說：“核桃樹的脾性和一般的果樹不一樣，越是使它的枝丫受傷，它長得越茂盛，果實越香，而且第二年比第一年更好，尤其是正在結果成形的時候受的懲罰越多越利于結果?！背粤硕嗄旰颂?，我從沒深究過其中的奧秘，父親的一席話使我恍然大悟。第二年挨打的那些枝丫的長勢比第一年還茂盛蓬勃，花開得更艷更密。