正方形的復(fù)習(xí)課

1、 正方形正方形正方形正方形矩形矩形有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等菱形菱形有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角平行四邊形平行四邊形有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等正方形的判定方法：正方形的判定方法：(可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）平行四邊形平行四邊形正方形正方形1 1、 定義法定義法 2 2、正方形正方形菱形菱形菱形法菱形法矩形矩形3 3、正方形正方形矩形法矩形法對(duì)角線：對(duì)角線：相等相等 互相垂

2、直平分互相垂直平分 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。邊邊: 對(duì)邊平行對(duì)邊平行 四邊相等四邊相等角角 ：四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角圖形的對(duì)稱性：圖形的對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形既是軸對(duì)稱圖形, 又是中心對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ） A、四個(gè)角相等、四個(gè)角相等. B、對(duì)角線互相垂直平分、對(duì)角線互相垂直平分. C、對(duì)角互補(bǔ)、對(duì)角互補(bǔ). D、對(duì)角線相等、對(duì)角線相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A、四條邊相等、四條邊相等. B、對(duì)角線互相垂直平分、對(duì)角線互相垂直平分

3、. C、對(duì)角線平分一組對(duì)角、對(duì)角線平分一組對(duì)角. D、對(duì)角線相等、對(duì)角線相等.BD3、下列命題正確的是（、下列命題正確的是（ ） A、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 B、四條邊都相等的四邊形是正方形、四條邊都相等的四邊形是正方形 C、對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形、對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形 D、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形D 4四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（ ）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D平行四邊形平行四邊形 5在四邊形在四邊形ABCD中，中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，是對(duì)角線的交點(diǎn)

4、，能判定這個(gè)四邊形是正能判定這個(gè)四邊形是正 方形的是：（方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA6 四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：（是：（ ）A正方形正方形 B菱形菱形C矩形矩形 D平行四邊形平行四邊形A7 7、如圖：正方形如圖：正方形ABCDABCD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為15cm15cm，則矩，則矩形形EFCGEFCG的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 cmcm。 ABCDEGF7.57.58.8.已知：正方形已知：正方形ABCDABCD對(duì)角線對(duì)角線ACAC、BDBD相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)O O，

5、且，且ABAB2cm2cm，則，則AC=AC= , , 正方形的面積正方形的面積S=_.S=_. OBDAC22224 46 636369.9.已知：在正方形已知：在正方形ABCDABCD中，對(duì)角線中，對(duì)角線ACAC、BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，且，且ACAC6 cm6 cm，面積面積S=S=_. .則邊長(zhǎng)則邊長(zhǎng)ABAB_, , 2OBDAC1010、已知四邊形、已知四邊形ABCDABCD是平行四邊形，對(duì)角是平行四邊形，對(duì)角線線ACAC、BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O。若若AB=BC，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若AC=BD，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若BCD=9

6、00，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若OA=OB，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若AB=BC，且，且AC=BD，則四邊形，則四邊形ABCD是是 （ ）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形ABDCFEA AB BC CD DE EF FG G例例1 例例2 2、如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交于相交于O O，MNABMNAB且且MNMN分別交分別交OAOA、OBOB于于M M、N N，求證：，求證：BMBMCNCN。 證明：證明：OAOAOMOMOBOBONONOMOMONONOMNOMN1133ONMONM4545又又MNABM

7、NAB1122334545OAOAOB AB=BCOB AB=BC四邊形四邊形ABCDABCD是正方形是正方形即：即：AM=BNAM=BNABMABMBCNBCNBM=CNBM=CN例例3 3、 直角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求證：四邊形求證：四邊形CEDFCEDF是正方形。是正方形。ABCDEF四邊形四邊形ABCDABCD是正方形（是正方形（ ) ) DE=DF( ) DE=DF( )DEACDEAC， DFBCDFBC CD CD平分平分ACBACB 四邊形四邊形ABCDABCD為矩形為矩形(

8、 )( )而而ACB=90ACB=90 DEC=90 DEC=90， DFC=90DFC=90證明：證明： DEAC DEAC，DFABDFAB有三個(gè)角是有三個(gè)角是 直直角的四邊形是矩角的四邊形是矩形形角平分線的定理角平分線的定理有一組鄰邊相有一組鄰邊相等的矩形是正等的矩形是正方形方形例例4、已知：如圖已知：如圖(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F(xiàn)為為CD延長(zhǎng)線延長(zhǎng)線 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，CEAF于于E，交，交AD于于M， 求證：求證：MFD45分析：分析：欲證欲證MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只須證只須證MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要證即只要證 _=_要證要證

9、MDFD，大家只須證得哪兩個(gè)三角形全等，大家只須證得哪兩個(gè)三角形全等? 試一試試一試看能不能完成證明看能不能完成證明?CMD ADF例例4 4、已知：如圖、已知：如圖(4)(4)在正方形在正方形ABCDABCD中，中，F(xiàn) F為為CDCD延長(zhǎng)線上延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，一點(diǎn)，CEAFCEAF于于E E，交，交ADAD于于M M，求證：求證：MFDMFD4545證明：證明：DM=DFDM=DFRtRtCDMRtCDMRtADFADF(AAS)(AAS)又又CDCDADAD，ADFADFMDC=RtMDC=Rt1122CMDCMDAMEAMEADCADCAEMAEM9090CEAF CEAF 四邊形四邊形AB

10、CDABCD是正方形是正方形MFDMFD45451 1、如圖，在、如圖，在ABAB上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)C C，以，以ACAC、BCBC為正方形的一邊為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形在同一側(cè)作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG連結(jié)連結(jié)AFAF、BDBD延長(zhǎng)延長(zhǎng)BDBD交交AFAF于于H H。求證：求證：(1) (1) ACFACFDCB (2) BHAFDCB (2) BHAF 練一練練一練例例5、如圖如圖(6)(6)，ABCABC的外面作正方形的外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，連，連結(jié)結(jié)BGBG、CECE，交點(diǎn)為，交點(diǎn)為N N。求證：求證：CEACEAABGABG 證明：證

11、明：四邊形四邊形ABDEABDE和四邊形和四邊形ACFGACFG是正方形。是正方形。AEAEABABAGAGACAC11229090又又EACEAC11BACBAC9090BACBACBAGBAG22BACBAC9090BACBAC EACEACBAGBAG AECAECABGABG(SAS)(SAS) CEACEAABGABG6 6、在、在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn),DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.1)1)試說(shuō)明試說(shuō)明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一個(gè)條件只添加一個(gè)條件, ,使四邊形使四邊形ED

12、FAEDFA是正方形是正方形. .請(qǐng)你至少寫出兩種不同的添加方法請(qǐng)你至少寫出兩種不同的添加方法.(.(不另外不另外添加輔助線添加輔助線, ,無(wú)需證明無(wú)需證明) )F FE ED DC CB BA A1 1、在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小、在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說(shuō)出三種）方法？（至少說(shuō)出三種） 課外拓展：課外拓展： 如何設(shè)計(jì)花壇？如何設(shè)計(jì)花壇？ 在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直在一塊正方形的花壇上，欲

13、修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說(shuō)出三寬度），你有幾種方法？（至少說(shuō)出三種）種） 請(qǐng)你當(dāng)設(shè)計(jì)師請(qǐng)你當(dāng)設(shè)計(jì)師7 7、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，AC=10AC=10，P P是是ABAB上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，PEACPEAC于點(diǎn)于點(diǎn)E E，PFBDPFBD于點(diǎn)于點(diǎn)F F，求，求PE+PFPE+PF的值。的值。ABCDEPF8、如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為8 8， M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N

14、N是是ACAC上一個(gè)動(dòng)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN8、如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為8 8， M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一個(gè)動(dòng)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN9 9、已知，如圖在、已知，如圖在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分線，的平分線，CEANCEAN垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)E E，求證：四邊形求證：四邊形ADCEADCE是矩形。是矩形。當(dāng)當(dāng)ABC

15、ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADCEADCE是正方形，說(shuō)明理由。是正方形，說(shuō)明理由。ABCEMND10、如圖、如圖B、C、E是同一直線上的三個(gè)是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形點(diǎn)，四邊形ABCD與與CEFG是正方形，連是正方形，連接接BG、DE（1）觀察、猜想）觀察、猜想BG與與DE之間的大小關(guān)之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。系，并說(shuō)明理由。（2）正方形）正方形CEFG在繞點(diǎn)在繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG與與DE之間的關(guān)系是否仍然成立。之間的關(guān)系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC11、如圖，、如圖，M為正方形為正方形ABCD邊邊AB的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，E是是AB延長(zhǎng)線上

16、一點(diǎn)，延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM，且交且交CBE的平分線于點(diǎn)的平分線于點(diǎn)N。（1）求證：）求證：MD=MN（2）若將上述條件中的）若將上述條件中的“M是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)”改為改為“M為為AB上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)”，其它條件不，其它條件不變，問(wèn)結(jié)論變，問(wèn)結(jié)論MD=MN是否仍然成立。是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP思考題：思考題： 如圖正方形如圖正方形ABCDABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)的對(duì)角線相交于點(diǎn)O O，O O又是另一個(gè)正方形又是另一個(gè)正方形OEFGOEFG的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形OEFGOEFG繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中. .探究二探究二

17、: :若正方形若正方形OEFGOEFG與正方形與正方形ABCDABCD兩邊兩邊分別相交于分別相交于M NM N，試判斷線段，試判斷線段AMAM于于BNBN之間之間的關(guān)系的關(guān)系. .探究一探究一: :兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)發(fā)生變化？并說(shuō)明理由。發(fā)生變化？并說(shuō)明理由。探究四：探究四： 如圖，有兩個(gè)大小不等的兩個(gè)正如圖，有兩個(gè)大小不等的兩個(gè)正 方形，其中小正方形的面積是大正方形面方形，其中小正方形的面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積為積的一半，若陰影部分的面積為8 8，則小正，則小正方形的邊長(zhǎng)為多少？方形的邊長(zhǎng)為多少？探究三探究三: 若正方形若正方形OE

18、FGOEFG繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM AM 與與 BNBN之間的關(guān)系是否還之間的關(guān)系是否還成立？成立？構(gòu)建與證構(gòu)建與證明明ODCBA如圖，分別延長(zhǎng)等腰直角三角形如圖，分別延長(zhǎng)等腰直角三角形OAB的兩條直的兩條直角邊角邊AO和和BO，使，使AO=OC，BO=OD求證：四邊形求證：四邊形ABCD是正方形。是正方形。八年級(jí)八年級(jí) 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第十九章第十九章 四邊形四邊形 四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形,兩條對(duì)角線相交兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)于點(diǎn)O,(1)求求AOB,OAB的度數(shù)的度數(shù)8解：解：四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOEF(2)若若AC=4，則正方形邊長(zhǎng)，則正方形邊長(zhǎng) ; 正方正方形的面積是形的面積是4(3)正方形的面積正方形的面積64cm，則對(duì)角線交點(diǎn)，則對(duì)角線交點(diǎn)到正方形一邊的距離到正方形一邊的距離22