新5-8微分方程應用

1、第八節(jié)第八節(jié)微分方程的應用 第五章 三、運動路線問題三、運動路線問題四、增長問題四、增長問題五、作戰(zhàn)模型五、作戰(zhàn)模型微分方程的應用微分方程的應用 1. 1. 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 列微分方程問題列微分方程問題建立微分方程建立微分方程( (共性共性) )利用物理規(guī)律利用物理規(guī)律利用幾何關系利用幾何關系確定定解條件確定定解條件( (個性個性) )初始條件初始條件可能還要銜接條件可能還要銜接條件2. 2. 解微分方程問題解微分方程問題3. 3. 分析解所包含的實際意義分析解所包含的實際意義 某些特定問題某些特定問題一、物理問題一、物理問題解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設條件由題設條件)0(衰

2、衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,CtM1ln,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律例例2 2繩索僅受繩索僅受重力作用而下垂重力作用而下垂, ,解解 取坐標系如圖取坐標系如圖. .考察最低點考察最低點 A 到到sg( : 密度密度, , s :弧長弧長) )弧段重力大小弧段重力大小按靜力平衡條件按靜力平衡條件, , 有有,cosHTsa1tan)(gHa sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 設有一均勻設有一均勻, , 柔軟的繩索柔軟的繩索, , 兩端固定兩端固定, , 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線問該繩索的

3、平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? ? 任意點任意點M ( x, y ) 弧段的受力情況弧段的受力情況: : A 點受水平張力點受水平張力 HM 點受切向張力點受切向張力T兩式相除得兩式相除得MsgoyxTHAMsgoyxHA211yya ,aOA 設設則得定解問題則得定解問題: : , 0ayx0 0 xy,xpy)( 令令,xdpdy 則則原方程化為原方程化為pdxad1兩端積分得兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由由,C01 得得則有則有axysh兩端積分得兩端積分得,ch2Cayax,ayx 0由由02 C得得故所求繩索的形狀為故所求繩索的形狀為axaych)(

4、2axaxeea懸懸 鏈鏈 線線a21p少少時時間間整整個個鏈鏈條條滑滑過過釘釘子子需需多多米米，試試問問垂垂米米，另另一一邊邊下下垂垂開開始始時時，鏈鏈條條的的一一邊邊下下動動一一無無摩摩擦擦的的釘釘子子上上，運運一一質(zhì)質(zhì)量量均均勻勻的的鏈鏈條條掛掛在在解解例例3 3oxm8m10,米米鏈鏈條條下下滑滑了了經(jīng)經(jīng)過過時時間間設設鏈鏈條條的的線線密密度度為為xt 則由牛頓第二定律得則由牛頓第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm .x,x,gxgx000099 )()(即即解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 tgtgeetx, 8, x即即整個鏈條滑過釘子整個鏈條滑過釘子代入

5、上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt例例4 4 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)凹鏡反射后與旋轉(zhuǎn)軸平行發(fā)出的一切光線經(jīng)凹鏡反射后與旋轉(zhuǎn)軸平行, 求這旋求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程轉(zhuǎn)曲面的方程.實例實例: : 車燈的反射鏡面車燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面解解軸軸設設旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸 ox如圖如圖),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL xyoMTNRL上上任任一一點點，為為設設LyxM),(,yMT 斜斜率率為為為為切切線線,1,yMN 斜率為斜率為為法線為法線,NMROMN yNMRyxyyxyOMN111tantan,

6、022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夾由夾角正角正切公切公式得式得xyoMTNRL，令令xyu ,112uudxduxu 得得分離變量分離變量,1)1(22xdxuuudu ，令tu 21,)1(xdxtttdt 積分得積分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即平方化簡得平方化簡得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 拋物線拋物線軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面方方程程為為所所求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為 ox).2(222CxCzy 例例5 5解解欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, , 為使其擺脫

7、地球為使其擺脫地球引引力力, , 初始速度應不小于第二宇宙速度初始速度應不小于第二宇宙速度, , 試計算此速度試計算此速度. .設人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為設人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為M , 衛(wèi)星衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為的質(zhì)心到地心的距離為 h , , 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得: : 222ddhmMGthm00dd,vthRht,v0為為( (G 為引力系數(shù)為引力系數(shù)) )則有初值問題則有初值問題: : 222ddhMGth又設衛(wèi)星的初速度又設衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑已知地球半徑51063 R,hvtdhd)( 設設,hdvdvtdhd 22則則代入原方程代入原方程,

8、 , 得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2兩邊積分得兩邊積分得ChMGv221利用初始條件利用初始條件, , 得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 為使為使,0v應滿足應滿足0vRMGv20因為當因為當h = R (在地面上在地面上) ) 時時, , 引力引力= =重力重力, , )sm81. 9(22ggmhmMG即即,gRMG2 故故代入代入即得即得81. 910632250gRv) s(m102 .113這說明第二宇宙速度為這說明第二宇宙速度為 skm2 .11例例6 6xxo解解質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端

9、固定的彈簧上的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上, ,在彈性力與阻力作用下做往復運動在彈性力與阻力作用下做往復運動, ,初始初始求物體的運動規(guī)律求物體的運動規(guī)律 ,v0速速度度為為. )(txx 坐標系如圖坐標系如圖, , ,0 xx 設設 t = 0 時物體的位置為時物體的位置為取其平衡位置為原點取其平衡位置為原點00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2該定解問題為該定解問題為阻力的大小與阻力的大小與運動運動速度成正比速度成正比, ,方向相反方向相反. .建立建立方程方程: :22ddtx02xk特征方程特征方程: :, 022krkir2,1特征根特征根: :tkCtkC

10、xsincos21利用初始條件得利用初始條件得: :,01xC 故所求特解故所求特解: :tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解方程通解: :1) 無阻尼自由振動情況無阻尼自由振動情況 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto簡諧振動簡諧振動 A: 振幅振幅, , : 初相初相, ,周期周期: : kT2:mck 固有頻率固有頻率 T0dd00vtxt ,xxt000 下下圖圖中中假假設設( (僅由系統(tǒng)特性確定僅由系統(tǒng)特性確定) )方程方程: :特征方程特征方程: :0222krnr22

11、2,1knnr特征根特征根: :小阻尼小阻尼: : n k臨界阻尼臨界阻尼: :n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk trtreCeCx2121tnetCCx)(21( ( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 1) 無振蕩現(xiàn)象無振蕩現(xiàn)象; ; trtreCeCx21212221knnr, 其中其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此圖參數(shù)此圖參數(shù): : 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 2) 對任何初始條件對任何初始條件即隨時間即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置的增大物體總趨于平衡位置.

12、 .( ( n = k ) 臨界阻尼解的特征臨界阻尼解的特征 : : 任意常數(shù)由初始條件定任意常數(shù)由初始條件定, , tnetCCx)(21)() 1tx最多只與最多只與 t 軸交于一點軸交于一點; ; 取何值都有取何值都有無論無論21C,C)(lim)3txt即隨時間即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置的增大物體總趨于平衡位置. .0)(lim21tntetCC2)2)無振蕩現(xiàn)象無振蕩現(xiàn)象 ; ;yoy例例7 7 從船上向海中沉放某種探測儀器從船上向海中沉放某種探測儀器, , 按探測要求，按探測要求，需確定儀器的下沉深度需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度與下沉速度 v 之間的函數(shù)之間的函

13、數(shù)關關在下沉過程中還受到阻力和浮力作用在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, ,設儀器質(zhì)設儀器質(zhì)體積為體積為B, , 海水比重為海水比重為 , , 儀器所受阻力與下沉儀器所受阻力與下沉速度成正速度成正比比, ,比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立試建立 y 與與 v 所所滿足的微分滿足的微分方程方程, , 并求出函數(shù)關系式并求出函數(shù)關系式 y = y (v) . . 提示提示: :建立坐標系如圖建立坐標系如圖. .質(zhì)量質(zhì)量 m體積體積 B由牛頓第二定律由牛頓第二定律B22ddtymvk重力重力 浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: : 量為

14、量為m,系系.BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始條件為初始條件為00yv用分離變量法解上述初值問題得用分離變量法解上述初值問題得yoy質(zhì)量質(zhì)量m體積體積B得得.,.求求浮浮筒筒的的質(zhì)質(zhì)量量為為周周期期浮浮筒筒在在水水中中上上下下振振動動的的當當稍稍向向下下壓壓突突然然放放開開，鉛鉛直直放放在在水水中中，設設圓圓柱柱形形浮浮筒筒，直直徑徑為為例例2s5m08222rs,gsxdtxdm解解kg)195( m.7260 .312h8009的的人人數(shù)數(shù)疫疫苗苗運運到到時時患患此此傳傳染染病病估估算算小小時時內(nèi)內(nèi)將將疫疫苗苗運運到到，試試至至直直升升機機將將在在隔隔

15、離離時時狀狀，故故感感染染者者不不能能被被及及這這種種傳傳染染病病沒沒有有早早期期癥癥由由于于人人發(fā)發(fā)病病后后有有染染病病，人人一一名名游游客客患患了了某某種種傳傳一一只只游游船船上上有有人人數(shù)數(shù)游游船船上上的的傳傳染染病病患患者者的的例例.分析分析)(800txt 人數(shù)為人數(shù)為時，未感染該傳染病的時，未感染該傳染病的在時刻在時刻)(txt為為時感染此傳染病的人數(shù)時感染此傳染病的人數(shù)設在時刻設在時刻)()(ddtxtkxtx800則則31120ttx,xt.tx091760e7991800)( 解得解得188e7991800)60(60091760 .x385e7991800)72(72091

16、760 .x二、用微元法建模二、用微元法建模 t例例 10 一容器內(nèi)含有一容器內(nèi)含有100 升清水升清水, 現(xiàn)將每升含鹽量現(xiàn)將每升含鹽量4克克的鹽水以每分鐘的鹽水以每分鐘5升的速率由升的速率由A管注入容器管注入容器, 假設瞬間假設瞬間即可混合均勻即可混合均勻, 同時讓混合液以同樣的速率由同時讓混合液以同樣的速率由B管流管流出容器出容器(容器內(nèi)的液體始終保持為容器內(nèi)的液體始終保持為100升升), 問在任意時問在任意時刻刻容器內(nèi)溶液的含鹽量是多少容器內(nèi)溶液的含鹽量是多少?dtmdtdm510054)(tmt 時時刻刻含含鹽鹽量量為為設設任任意意0)0(2020mmdtdm 通解為通解為 400)(

17、20 tCetm . 解解1010020tmtmtmdd例例11 一容器內(nèi)含有一容器內(nèi)含有100 升鹽水升鹽水, 共含鹽共含鹽 10kg. 現(xiàn)現(xiàn)以以 3L/min的速度把凈水由的速度把凈水由A管均勻注入容器管均勻注入容器, 并并以以2L/min的速度讓鹽水由的速度讓鹽水由B管勻速流出容器，問管勻速流出容器，問1h后容器內(nèi)溶液的含鹽量后容器內(nèi)溶液的含鹽量.dtttmm21000)(d升升量為量為此時容器內(nèi)共有鹽水的此時容器內(nèi)共有鹽水的t100)(tmt 時時刻刻含含鹽鹽量量為為設設任任意意m=3.91kg解解400C)1(400)(20tetm 由初始條件得由初始條件得 解解 設鼓風機開動后設鼓

18、風機開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),例例12 12 某車間體積為某車間體積為1200012000立方米立方米, , 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的 , ,為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, , 用一臺風量為每分用一臺風量為每分20002000立方米的鼓風機通立方米的鼓風機通入含入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, , 同時以同樣的風同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出量將混合均勻的空氣排出, , 問鼓風機開動問鼓風機開動6 6分鐘后分鐘后, , 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少? ?0.1%2CO2CO0

19、.03%2CO2CO該車間該車間 濃度的改變量微元為濃度的改變量微元為 2CO03. 0200012000 dtdx),(2000txdt 2CO的通入量的通入量%,.dt03020002CO的排出量的排出量%,txdt)( 2000),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO量量不超過不超過 0.06 % ? ?解解: : 設每分鐘應輸入設每分鐘應輸入,m3k t 時刻車間空氣

20、中含時刻車間空氣中含2CO,m3x為則在則在,ttt內(nèi)車間內(nèi)內(nèi)車間內(nèi)2CO25005400ddkxktx很快混合均勻后很快混合均勻后, , 以相同的流量排出以相同的流量排出 ) )得微分方程得微分方程tk10004. 0txk54005400( (假定輸入的新鮮空氣假定輸入的新鮮空氣與原有空氣與原有空氣的改變量微元為的改變量微元為 ,m630303,2CO的的的新鮮空氣的新鮮空氣應輸入多少才能在應輸入多少才能在 30 30 分鐘后使車間空分鐘后使車間空2CO氣氣中中2CO040%.現(xiàn)現(xiàn)以以含含輸入輸入, , %.120其中含其中含例例13 已知某車間的容積為已知某車間的容積為問每分鐘問每分鐘的

21、含的含t = 30 時時5406. 0540010006. 0 x2504ln180k25005400ddkxktx5412. 00tx解定解問題解定解問題)04. 008. 0(545400tkex因此每分鐘應至少輸入因此每分鐘應至少輸入 250 250 3m新鮮空氣新鮮空氣 . .初始條件初始條件540010012. 00tx5412. 0得得 k = ? 例例14 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小水從它的底部小孔流出孔流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開始開始時容器內(nèi)盛滿了水時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器求水從

22、小孔流出過程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時隨時間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學知識得由力學知識得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度) 1 (,262. 0dtghdV1 S,cm2)2(,)200(2dhhhdV比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh cm100horhdhh dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,d)100(

23、100()(220hhhvh而,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為?)()(51形形式式應應是是什什么么曲曲線線液液體體的的表表面面均均勻勻下下降降液液體體流流出出時時為為了了使使出出孔孔，使使容容器器內(nèi)內(nèi)的的液液體體流流的的，在在容容器器底底部部開開一一小小軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周產(chǎn)產(chǎn)生生繞繞設設容容器器是是由由平平面面曲曲線線例例xfy,.yxfy ,262. 0gySdtdVQ,kdtdy.cxy4,xkgyS.22620則則,)d(d2yyxV 而分析分析例例1616 設河邊點設河邊點 O 的正對岸為點的正對岸為點 A , ,河寬河寬 OA = h, , 一鴨子從點一鴨子從點 A 游向