高考專題復習第一節(jié)　集合新課標試卷

1、第一章集合與常用邏輯用語、不等式第一節(jié)集合學習要求-公眾號：新課標試卷:1.了解集合的含義,體會元素與集合的屬于關(guān)系;能用自然語言、圖形語言、符號語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;在具體情境中了解全集與空集的含義.3.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集;理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集;能使用韋恩(Venn)圖表達集合的基本關(guān)系及集合的基本運算.1.元素與集合(1)集合中元素的性質(zhì): 確定性 、互異性、無序性. 提醒元素的互異性,即集合中不能出現(xiàn)相同的元素,此性質(zhì)常用于求

2、解含參數(shù)的集合問題.(2)集合與元素的關(guān)系:若a屬于集合A,則記作 aA ;若b不屬于集合A,則記作 bA . (3)集合的表示方法: 列舉法 、描述法、圖示法. (4)常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號 N N*或N+ Z Q R 提醒研究集合問題時,首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么,即弄清該集合是數(shù)集、點集,還是其他集合,然后看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么,從而準確把握集合的意義.常見的集合的意義如下表:集合x|f(x)=0x|f(x)>0x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)集合的意義方程f(x)=0的解集不等

3、式f(x)>0的解集函數(shù)y=f(x)的定義域函數(shù)y=f(x)的值域函數(shù)y=f(x)圖象上的點集2.集合的基本關(guān)系文字語言記法集合的基本關(guān)系子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素 AB 或BA真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一個元素不屬于A AB 或BA相等集合A中的每一個元素都是集合B中的元素,集合B中的每一個元素也都是集合A中的元素AB且BAA=B空集空集是 任何 集合的子集A空集是 任何非空 集合的真子集B(其中B)提醒(1)“”與“”的區(qū)別:ABA=B或AB,若AB和AB同時成立,則AB更準確.(2),0和的區(qū)別:是不含有任何元素的集合;0含有一個元素0;含有一個元素

4、,且和都正確.(3)在涉及集合之間的關(guān)系時,若未指明集合非空,則要考慮空集的可能性,如:若AB,則要考慮A=和A兩種情況.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示 AB AB 若全集為U,則集合A的補集為 UA 圖形表示意義AB= x|xA,或xB AB= x|xA,且xB UA= x|xU,且xA 知識拓展(1)子集的性質(zhì):AA,A,(AB)A,(AB)B.(2)交集的性質(zhì):AA=A,A=,AB=BA.(3)并集的性質(zhì):AB=BA,(AB)A,(AB)B,AA=A,A=A=A.(4)補集的性質(zhì):A(UA)=U,A(UA)=,U(UA)=A,AA=,A=A.(5)子集的個數(shù):含

5、有n個元素的集合共有2n個子集,其中有2n-1個真子集,2n-1個非空子集.(6)等價關(guān)系:AB=AAB;AB=AAB.(7)U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(UA)(UB).1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)任何一個集合都至少有兩個子集.()(2)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1.()(3)若x2,1=0,1,則x=0或1.()(4)對于任意兩個集合A,B,(AB)(AB)恒成立.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教B版必修第一冊P9練習BT1改編)若集合P=xN|x2 021,a=22,則()A.aPB.aPC.aPD.aP

6、答案D3.(2020課標理,1,5分)已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,則U(AB)=()A.-2,3B.-2,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,3答案A4.(易錯題)已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,則m的值為. 答案-32【易錯點分析】本題容易因忽視集合中元素的互異性致誤.5.(易錯題)已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,則A中元素的個數(shù)為. 答案9【易錯點分析】本題容易因?qū)系谋硎痉椒ɡ斫獠坏轿恢抡`.集合的基本概念1.設(shè)a,bR,集合1,a+b,a=0,ba,b,則b-a=()A.1B.-1C

7、.2D.-2答案C由題意知a0,因為1,a+b,a=0,ba,b,所以a+b=0,則ba=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故選C.2.若集合A=xR|ax2-3x+2=0中只有一個元素,則a=()A.92B.98C.0D.0或98答案D若集合A中只有一個元素,則方程ax2-3x+2=0只有一個實根或有兩個相等的實根.當a=0時,x=23,符合題意;當a0時,由=(-3)2-8a=0得a=98.所以a=0或98.3.已知P=x|2<x<k,xN,若集合P中恰有3個元素,則k的取值范圍是. 答案(5,6解析因為P中恰有3個元素,所以P=3,4,5,故k的取值范圍是

8、5<k6.名師點評與集合中的元素有關(guān)的問題的求解策略(1)用描述法表示集合時,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點集還是其他類型的集合.(2)集合中元素的三個性質(zhì)中的互異性對解題的影響較大,特別是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.集合的基本關(guān)系典例1已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,則實數(shù)m的取值范圍為. 答案(-,3解析因為BA,所以若B=,則2m-1<m+1,解得m<2;若B,則2m-1m+1,m+1-2,2m-15,解得2m3.故符合題意的實數(shù)m的取值范

9、圍為m3.變式1本例中,若將“BA”變?yōu)椤癇A”,求m的取值范圍.解析因為B A,所以若B=,則2m-1<m+1,解得m<2;若B,則2m-1m+1,m+1-2,2m-1<5或2m-1m+1,m+1>-2,2m-15,解得2m3.故m的取值范圍為(-,3.變式2本例中,若將“BA”變?yōu)椤癆B”,求m的取值范圍.解析若AB,則m+1-2,2m-15,即m-3,m3.所以m的取值范圍為.變式3若將本例中的“集合A=x|-2x5”變?yōu)椤凹螦=x|x<-2或x>5”,試求m的取值范圍.解析因為BA,所以當B=時,2m-1<m+1,解得m<2,符合題意;

10、當B時,m+12m-1,m+1>5或m+12m-1,2m-1<-2,解得m2,m>4或m2,m<-12,故m>4.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍為(-,2)(4,+).名師點評根據(jù)兩集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法求參數(shù)時,關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件,常用數(shù)軸、Venn圖等來解決這類問題.1.(2020安徽安慶模擬)已知集合A=1,3,a,B=1,a2-a+1,若BA,則實數(shù)a=()A.-1B.2C.-1或2D.1或-1或2答案C因為BA,所以必有a2-a+1=3或a2-a+1=a.若a2-a+1=3,則a2-a-2=0,解得a=-1或

11、a=2.當a=-1時,A=1,3,-1,B=1,3,滿足條件;當a=2時,A=1,3,2,B=1,3,滿足條件.若a2-a+1=a,則a2-2a+1=0,解得a=1,此時集合A=1,3,1,不滿足集合中元素的互異性,所以a=1應舍去.綜上,a=-1或a=2.2.若集合A=1,2,B=x|x2+mx+1=0,xR,且BA,則實數(shù)m的取值范圍為. 答案-2,2)解析若B=,則=m2-4<0,解得-2<m<2,符合題意;若1B,則12+m+1=0,解得m=-2,此時B=1,符合題意;若2B,則22+2m+1=0,解得m=-52,此時B=2,12,不符合題意.綜上所述,實數(shù)

12、m的取值范圍為-2,2).集合的基本運算角度一集合的運算典例2(1)(2020課標理,1,5分)已知集合A=(x,y)|x,yN*,yx,B=(x,y)|x+y=8,則AB中元素的個數(shù)為() A.2B.3C.4D.6(2)(2020天津,1,5分)設(shè)全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3,則A(UB)=()A.-3,3B.0,2C.-1,1D.-3,-2,-1,1,3(3)2021年1月“八省(市)聯(lián)考”已知M,N均為R的子集,且(RM)N,則M(RN)=()A.B.MC.ND.R答案(1)C(2)C(3)B解析(1)由yx,x+y=8,x,y

13、N*得x=1,y=7或x=2,y=6或x=3,y=5或x=4,y=4,所以AB=(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故AB中元素的個數(shù)為4,選C.(2)因為U=-3,-2,-1,0,1,2,3,B=-3,0,2,3,所以UB=-2,-1,1,又A=-1,0,1,2,所以A(UB)=-1,1,故選C.(3)作出Venn圖,由圖可知選B.角度二利用集合的運算求參數(shù)典例3(1)(2020課標理,2,5分)設(shè)集合A=x|x2-40,B=x|2x+a0,且AB=x|-2x1,則a=()A.-4B.-2C.2D.4(2)(2020河北邯鄲二模)已知集合A=xZ|x2-4x-5<0,B=x

14、|4x>2m,若AB中有三個元素,則實數(shù)m的取值范圍是()A.3,6)B.1,2)C.2,4)D.(2,4答案(1)B(2)C解析(1)由已知可得A=x|-2x2,B=x|x-a2,又AB=x|-2x1,-a2=1,a=-2.故選B.(2)集合A=xZ|x2-4x-5<0=0,1,2,3,4,B=x|4x>2m=x|x>m2,AB中有三個元素,1m2<2,解得2m<4,實數(shù)m的取值范圍是2,4).名師點評1.解決集合的基本運算問題一般應注意:先看元素組成,對有些集合是先進行化簡,注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.集合的運算常借助于數(shù)軸和Venn圖解決.2.關(guān)于利用集合

15、的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法:與不等式有關(guān)的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點值能否取到;若集合中的元素能一一列舉,則先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程(組)求解.1.(2020北京,1,4分)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|0<x<3,則AB=()A.-1,0,1B.0,1C.-1,1,2D.1,2答案D集合A與集合B的公共元素為1,2,由交集的定義知AB=1,2,故選D.2.已知集合A=x|1<x<3,B=x|2m<x<1-m,若AB=,則實數(shù)m的取值范圍是. 答案0,+)解析當2m1-m,即m13時,B=,符合題意;當

16、2m<1-m,即m<13時,需滿足m<13,1-m1或m<13,2m3,所以0m<13.綜上,實數(shù)m的取值范圍是0,+).數(shù)學抽象集合的新定義問題(1)定義集合的商集運算為AB=x|x=mn,mA,nB,已知集合A=2,4,6,B=x|x=k2-1,kA,則集合BAB中的元素個數(shù)為() A.6B.7C.8D.9(2)給定集合A,若對任意a,bA,都有a+bA,且a-bA,則稱集合A為閉集合,給出如下三個結(jié)論:集合A=-4,-2,0,2,4為閉集合;集合A=n|n=3k,kZ為閉集合;若集合A1,A2為閉集合,則A1A2為閉集合.其中正確結(jié)論的序號是. 答

17、案(1)B(2)解析(1)由題意知,B=0,1,2,BA=0,12,14,16,1,13,則BAB=0,12,14,16,1,13,2,共有7個元素,故選B.(2)中,-4+(-2)=-6A,所以不正確;中,設(shè)n1,n2A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2Z,則n1+n2A,n1-n2A,所以正確;中,令A1=n|n=3k,kZ,A2=n|n=2k,kZ,則A1,A2為閉集合,但3k+2k(A1A2),故A1A2不是閉集合,所以不正確.以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心,以“探究”為途徑,以“發(fā)現(xiàn)”為目的,這類試題只是以集合為依托,考查學生對新定義的理解和解決新定義問題的能力,充

18、分體現(xiàn)了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).解決集合的新定義問題的兩個切入點:正確理解創(chuàng)新定義.這類問題不是簡單的考查集合的概念或性質(zhì)問題,而是以集合為載體的有關(guān)新定義問題.常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等;合理利用集合性質(zhì).運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵.在解題時要善于從題設(shè)條件中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運算與性質(zhì).1.設(shè)數(shù)集M=x|mxm+34,N=x|n-13xn,且M,N都是集合U=x|0x1的子集,定義b-a為集合x|axb的長度,則集合MN的長度的最小值為. 答案112解析在數(shù)軸上表示出集合M與N(

19、圖略),可知當m=0且n=1或n-13=0且m+34=1時,MN的長度最小.當m=0且n=1時,MN=x23x34,其長度為3423=112;當n=13且m=14時,MN=x14x13,其長度為1314=112.綜上,MN的長度的最小值為112.2.用C(A)表示非空集合A中元素的個數(shù),定義A*B=C(A)-C(B),C(A)C(B),C(B)-C(A),C(A)<C(B).若A=1,2,B=x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0,且A*B=1,設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S,則C(S)=. 答案3解析因為C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2

20、+ax=0,得x1=0,x2=-a.關(guān)于x的方程x2+ax+2=0,當=0,即a=±22時,易知C(B)=3,符合題意;當>0,即a<-22或a>22時,易知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合題意;當<0,即-22<a<22時,方程x2+ax+2=0無實數(shù)解,當a=0時,B=0,C(B)=1,符合題意,當-22<a<0或0<a<22時,C(B)=2,不符合題意.綜上,S=0,-22,22,故C(S)=3.A組基礎(chǔ)達標1.(2020新高考,1,5分)設(shè)集合A=x|1x3,B=x|2<x<

21、;4,則AB=()A.x|2<x3B.x|2x3C.x|1x<4D.x|1<x<4答案C2.已知集合P=x|1<x<4,Q=x|2<x<3,則PQ=()A.x|1<x2B.x|2<x<3C.x|3x<4D.x|1<x<4答案B3.(2020重慶第八中學三模)若集合A=xN|(x-3)(x-2)<6,則A中的元素個數(shù)為()A.3B.4C.5D.6答案B4.(2020黑龍江哈爾濱第三中學五模)已知集合A=x|y=lg(x-x2),B=x|x2-cx<0,c>0,若AB,則實數(shù)c的取值范圍為()A.

22、(0,1B.1,+)C.(0,1)D.(1,+)答案B5.(2020湖南高三二模)設(shè)A=x|x>1,B=x|x2-x-2<0,則(RA)B=()A.x|x>-1B.x|-1<x1C.x|-1<x<1D.x|1<x<2答案B6.(2020山西適應性測試)已知集合A=(x,y)|y=x2,B=(x,y)|y=x+2,則AB中元素的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案C7.(2020河南商丘質(zhì)量監(jiān)測)已知集合A=x|x2+2>3x,B=(a,a+2,若AB=R,則實數(shù)a的取值范圍為()A.0,1)B.(1,2)C.(-,0D.(1,+)答案A8

23、.(多選題)(2020福建廈門雙十中學高三月考)集合A,B是實數(shù)集R的子集,定義A-B=x|xA且xB,A*B=(A-B)(B-A)叫做集合的對稱差,若集合A=y|y=(x-1)2+1,0x3,B=y|y=x2+1,1x3,則以下說法正確的是()A.A=-1,5B.A-B=1,2)C.B-A=(5,10D.A*B=(1,2(5,10答案BCA=y|y=(x-1)2+1,0x3=y|1y5,B=y|y=x2+1,1x3=y|2y10,故A-B=x|xA且xB=x|1x<2,B-A=x|xB且xA=x|5<x10.A*B=(A-B)(B-A)=1,2)(5,10.9.(2020廣東佛山

24、二中高三月考)已知集合A=x|5x2+x-4<0,B=x|x<13,則A(RB)=()A.13,45B.13,45C.-1,13D.-1,13答案AA=x|5x2+x-4<0=x|(5x-4)(x+1)<0=-1,45,B=x|x<13,RB=13,+,故A(RB)=-1,4513,+=13,45.故選A.10.(2020江蘇,1,5分)已知集合A=-1,0,1,2,B=0,2,3,則AB=. 答案0,2解析A=-1,0,1,2,B=0,2,3,AB=0,2.11.(2020江蘇南京玄武高級中學模擬)已知全集M=x|2x2+5x<0,xZ,集合N=

25、0,a,若MN,則a等于. 答案-1或-2解析由2x2+5x<0,解得-52<x<0,由xZ,得M=-2,-1,因為N=0,a,且MN,所以a=-1或a=-2.B組能力拔高12.(多選題)定義平面點集R2=(x,y)|xR,yR,MR2,若P0M,r>0,使得PR2|PP0|<rM,則稱集合M為“開集”.下列說法中正確的是() A.集合(x,y)|(x-1)2+(y-3)2<1是開集B.集合(x,y)|x0,y>0是開集C.開集在全集R2上的補集仍然是開集D.兩個開集的并集是開集答案AD集合(x,y)|(x-1)2+(y-3)2<1表示

26、以點(1,3)為圓心,1為半徑的圓面(不含邊界),取在該平面點集中的任一點(x0,y0),則該點到圓周上的點的最短距離為d,取r=d,滿足“開集”的定義,故A正確;在x0,y>0的區(qū)域上任意取點(x0,y0),以任意正實數(shù)r為半徑的圓面,均不滿足條件,故B錯誤;依題意可確定開集不含邊界,所以開集在全集R2上的補集有邊界,不是開集,故C錯誤;兩個開集的并集滿足開集的定義,故D正確.故選AD.13.(2020四川高三二模)已知集合A=1,3,m,B=1,m,若AB=A,則m=()A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3答案B因為AB=A,所以BA,所以m=3或m=m.若m=3,則A=1,3,

27、3,B=1,3,符合題意.若m=m,則m=0或m=1.當m=0時,A=1,3,0,B=1,0,符合題意;當m=1時,A=1,3,1,B=1,1,顯然不成立.綜上m=0或m=3,故選B.14.(多選題)(2020山東濟寧第一中學模擬)若集合A=x|sin 2x=1,B=y|y=4+k2,kZ,則下列結(jié)論正確的是()A.AB=BB.RBRAC.AB=D.RARB答案ABA=x|sin 2x=1=xx=k+4,kZ=xx=4k+4,kZ,B=yy=4+k2,kZ=yy=2k+4,kZ,顯然集合xx=4k+4,kZxx=2k+4,kZ,所以AB,則AB=B成立,所以選項A中結(jié)論正確.RBRA成立,所以選項B中結(jié)論正確,選項D中結(jié)論不正確.AB=A,所以選項C中結(jié)論不正確.15.(2020河南八市質(zhì)檢)在實數(shù)集R上定義運算:x*y=x·(1-y).若關(guān)于x的不等式x*(x-a)>0的解集