自動控制理論 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2

1、4/24/2022 1:31:27 PM12.3 傳遞函數(shù)4/24/2022 1:31:27 PM2 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。 了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響 -分析 可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求-綜合傳遞函數(shù)的基本概念4/24/2022 1:31:27 PM3一、傳遞函數(shù)的基本概念一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasammmmnnnn傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)的定

2、義定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù))()()()()()(0) 1(1)(0) 1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn)0,0(,mjnibaji式中：x（t）輸入，y（t） 輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：4/24/2022 1:31:27 PM4 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明 v傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。v傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)

3、，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。v傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。v傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。v傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。v傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。 v傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可相互轉(zhuǎn)換； 傳遞函數(shù)的基本概念4/24/2022 1:31:27 PM5傳遞函數(shù)的基本概念 例例1求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。解已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：)(22ccamaumma

4、mdtdmTKuKdtdTdtdTT)()1()()()1(2sMsTKsUKssTsTTcamaumma方程兩邊求拉氏變換為：令 ，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：0)(sMc1)()()(2sTsTTKsUssGmmauau令 ，得轉(zhuǎn)速對負載力矩的傳遞函數(shù)：0)(sUa1) 1()()()(2sTsTTsTKsMssGmmaamcm最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：)()()()()(sMsGsUsGscmau4/24/2022 1:31:27 PM6傳遞函數(shù)的基本概念 例2例2 求下圖的傳遞函數(shù)：TsTssUsUsGi111)()()(01RC2iiu1i2ROu0121111iRiRdtiCi

5、uiRiRiR221121OuiR220)()()1(2111sIRsIRCs)()()()(22111sUsIRRsIRi)()(22sUsIRO2121RRCRRT221RRR 4/24/2022 1:31:28 PM7傳遞函數(shù)的基本概念 例2例2 求下圖的傳遞函數(shù)：2121RRCRRT221RRR 1RCs1iu2ROu21211RRCsRUUio21121212112)1()1()1(RRCsRRCsRRCsRRRCsRRTsTssRRCRRRRRsRRCRRRRR111)1)()1(211222121122214/24/2022 1:31:28 PM8傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)

6、形式 傳遞函數(shù)的幾種表達形式傳遞函數(shù)的幾種表達形式 ：表示為有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm式中： 為實常數(shù)，一般nm上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。jiba ,表示成零點、極點形式：11()( )( )( )( )( )()mimignnjjszbY sQ sG sKX saP sspizjp式中： 稱為傳遞函數(shù)的零點， 稱為傳遞函數(shù)的極點。nmgabK 傳遞系數(shù)或根軌跡增益4/24/2022 1:31:28 PM9傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫成時間常數(shù)形式：njjmiisTsKsPsQabsG1100) 1() 1

7、()()()(jiT,分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然： ，,1iiz,1jjpT jnjimigpzKK11若零點或極點為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項來表示。若 為共軛復(fù)極點，則：12,p p221211()()2nnspspss或121)1)(1(12221TssTsTsT其系數(shù) 由 或 求得；、21pp、21TT、4/24/2022 1:31:28 PM10若有零值極點，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式 從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。121222112211()(2)(

8、 )()(2)mmikkkgiknnjllljlszssKG sssps ,221mmmnnn212式中：) 12() 1() 12() 1()(221122112121lllnljnjkkkmkimiTsTsTssssKsG或：4/24/2022 1:31:28 PM113.傳遞函數(shù)的零點和極點對輸出的影響 （1）傳遞函數(shù)的極點可受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運動模態(tài)。 現(xiàn)舉例說明： 由于傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)，而且在強迫運動中（即零初始條件響應(yīng)）也會包含這些自由運動的模態(tài)。 設(shè)某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 式中，前兩項具有與輸入函數(shù)r（t）相

9、同的模態(tài)，后兩項中包含了由極點-1和-2形成的自由運動模態(tài)。這是系統(tǒng)“固有”的成分，但其系數(shù)卻與輸入函數(shù)有關(guān)，因此可以認(rèn)為這兩項是受輸入函數(shù)激而形成的。 4/24/2022 1:31:28 PM12（2）傳遞函數(shù)的零點不形成自由運動模態(tài)，卻影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，影響響應(yīng)曲線的形狀。 現(xiàn)舉例說明： 設(shè)具有相同極點但零點不同的傳遞函數(shù)分別為 其極點都是-1和-2，G1（s）的零點Z1-0.5，G2（s）的零點Z2-1.33。 在零初始條件下，它們的價躍響應(yīng)分別是 ：上述結(jié)果表明，模態(tài)e-t和e-2t在兩個系統(tǒng)的單位價躍響應(yīng)中所占的比重是不同的，它取決于極點之間的距離和極點與零點之間的距離，

10、以及零點與原點之間的距離。在極點相同的情況下，G1(s) 的零點z1 接近原點，距兩個極點的距離都比較遠，因此，兩個模態(tài)所占比重大且零點z1 的作用明顯；而G2(s)的零點z2距原點較遠且與兩個極點均相距較近，因此兩個模態(tài)所占比重就小。這樣，盡管兩個系統(tǒng)的模態(tài)相同，但由于零點的位置不同，其單位價躍響應(yīng)C1(t)和C2(t)卻具有不同的形狀。 4/24/2022 1:31:28 PM134 、 典型元部件的傳遞函數(shù) 電位器一種線位移或角位移變換為電壓量的裝置單個線繞式圓環(huán)電位器（角位移型）。空載時的傳遞函數(shù)為： 由一對電位器組構(gòu)成的誤差檢測器，空載時的傳遞函數(shù)為：4/24/2022 1:31:2

11、8 PM14測速發(fā)電機 測量角速度并轉(zhuǎn)換為電壓量的裝置，一般有交流和直流兩種。 永磁式直流測速發(fā)電機： 交流測速發(fā)電機 在定子上有兩個互相垂直放置的線圈。激磁線圈：輸入頻率一定、電壓一定。輸出線圈：產(chǎn)生與角速度成比例的交流電壓u(t).4/24/2022 1:31:28 PM15電樞控制直流伺服電動機： 4/24/2022 1:31:28 PM16無源網(wǎng)絡(luò) 無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容和電感組成，可以用兩種方法求取無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，一種方法是先列寫網(wǎng)絡(luò)的微分方程，然后在零初始條件下進行拉氏變換，從而得到輸出變量與輸入變量之間的傳遞函數(shù)；另一種方法是引用復(fù)數(shù)阻抗直接列寫網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程，然后求其傳遞函數(shù)。圖中，由圖可直接寫出電路的傳遞函數(shù)為 4/24/2022 1:31:28 PM17 單容水槽 水槽是常見的水位控制系統(tǒng)的被控對象。設(shè)單容水槽如圖所示，水流入量Qi由調(diào)節(jié)閥開度u加以控制，流出量Q0則由用戶根據(jù)需要通過負載閥來改變。被調(diào)量為水位h，它反應(yīng)水的流入與流出之間的平衡關(guān)系。A為液槽橫截面積，R為流出端負載閥門的阻力即液阻，u表示調(diào)節(jié)閥的開度。 4/24/2022 1:31:28 PM18電加熱爐 電加熱爐傳遞函數(shù)為 4/24/2022 1:31:28 PM19有純延