直線的兩點式方程優(yōu)秀教案

1、直線的兩點式方程一、教學(xué)目標(biāo)1 .掌握直線方程的兩點式和截距式以及求法；2 .理解直線方程點斜式、斜截式、兩點式和截距式四種形式之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化；3 .通過直線方程多種形式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會對統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點.二、教學(xué)重點： 直線方程兩點式的推導(dǎo)和應(yīng)用；教學(xué)難點：直線方程的幾種形式之間的等價轉(zhuǎn)化.三、教學(xué)用具：投影儀或多媒體四、教學(xué)過程：(一)導(dǎo)入新課(教師活動)復(fù)習(xí)舊知，組織板演，并作小結(jié).復(fù)習(xí)直線方程的點斜式及推導(dǎo)過程.(提問)練習(xí)應(yīng)用直線方程的點斜式，求經(jīng)過下列兩點的直線方程：(1) A(2,1), B(6,-3)(2) A(0,5),B(5,0)(3) A(-4,-5),B(0,

2、0)(4) A(4yi),B(X2,y2)(其中 x1x2).(學(xué)生活動)其他同學(xué)筆答.歸納已知直線上兩點求直線方程時，首先利用直線的斜率公式求出斜率k,然后利用點斜式寫出直線方程.其中第(4)小題的直線方程為：y - y1y2 - y1 (x- X1),X2 - X1這時可向?qū)W生提出：這個答案對我們有什么啟示？能否將過兩點的直線方程公式化？以此揭 示、板書課題.設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)從學(xué)生利用上節(jié)課學(xué)過的直線方程的點斜式，求過兩已知點的直線方程出發(fā)，讓學(xué)生“悟”出學(xué)習(xí)兩點式的必要，同時也“悟”出兩點式的推導(dǎo)方法，以此導(dǎo)入 新課，目的在于為學(xué)生既加深學(xué)過知識的理解，又為學(xué)習(xí)新知識奠定良好的基礎(chǔ).(二

3、)新課講授【嘗試探求，建立新知】(教師活動)組織探討，并作分析.【探討兩點式】問題1由y y1 - y2- y1 (x -X1)可以推導(dǎo)出y y1= x X1,這兩者表示直線X2-X1y2 - y X2 - X1的范圍是否相同？分析1不同，后者必二丫2,即不能表示傾斜角是 0。的直線，顯然后者范圍縮小了，但后者這個方程的形式比較對稱和美觀，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，同時也便于記憶及應(yīng)用.所以采用 后者作為公式，由于這個方程是由直線上兩點確定的，可以把這種直線方程取一個什么名 字？(讓學(xué)生作合情分析)由此得出：當(dāng)x1 #x2,y1#y2時，經(jīng)過點P(x1, y1), P2(x2, y2)的直線方程可以寫成：

4、y -必 x- xiV2 - yix2 - xi由于這個方程是由直線上兩點確定的，所以叫做直線方程的兩點式.問題2哪些直線不能用此公式表示？(傾斜角是0或90的直線不能用兩點式公式表示)問題3若要包含傾斜角是 0或90。的直線，應(yīng)把兩點式變成什么形式？(應(yīng)變?yōu)?y y1)(x2 x1)=(x x1)(y2 %)的形式)問題4我們推導(dǎo)兩點式是通過點斜式推導(dǎo)出來的，還有沒有其它的途徑來進(jìn)行推 導(dǎo)？分析還可以利用同一直線上任何兩點確定的斜率相等進(jìn)行推導(dǎo).設(shè)P(x,y)是直線l上不同于P(x,yi), P2(x2，y2)的任意一點，由kPPl=kP1P2即得當(dāng) y1#y2 時，9=31，即_*=!.x

5、 - x1x2 - x1y2 - y1 x2 - x1所以，公式中的(x1、y1),(x2、y?)對一條具體直線而言，可以用直線上任意兩個不同的點代替.練習(xí)求過下列兩點的直線的兩點式方程，再化成斜截式方程：(1) A(2,1),B(0,-3)(2) A(-4,-5),B(010)(3) A(0,5),B(5,0)(4) A(a,0), B(b,0) (a = Qb=0)設(shè)計意圖：為更好地揭示直線方程的兩點式公式的內(nèi)涵，加深學(xué)生對公式的理解，本環(huán)節(jié)通過創(chuàng)設(shè)不同角度的四個問題，供學(xué)生思考、分析，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的“對稱美”，同時又培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力，滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.另外，通過學(xué)生

6、完成練習(xí)，既鞏固兩點式的應(yīng)用，又較自然地引導(dǎo)出下一環(huán)節(jié)講解的“截距式”【推出截距式】b 在練習(xí)(4)中，得到過點A(a,0), B(0,b)的直線方程為y = - x + b,將其變形成為：a若直線與x軸交于點(a, 0),定義a為直線在x軸上的截距，則以上直線方程是由直 線在x軸和y軸上的截距確定的，所以叫做直線方程的截距式.用截距式畫直線比較方便， 因為可以直接確定直線與 x軸和y軸的交點的坐標(biāo).問題1截距式中，a, b表示截距，是不是表示直線與坐標(biāo)軸的兩個交點到原點的距 離？(答：不是，應(yīng)是直線與坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，故a, b取值為任何非零實數(shù)，而不僅僅為正數(shù).)問題2有沒有截距

7、式不能表示的直線？(答：有，當(dāng)直線在x軸或y軸上的截距為零的時候.截距式不能表示過原點以及與坐標(biāo)軸平行的直線.故使用截距式表示直線方程時，應(yīng)注意單獨考慮這幾種情形，分類討論， 防止遺漏.)練習(xí)2.說出下列直線的方程，并畫出圖形：(1)傾斜角為45 ,在y軸上的截距為0;(2)在工軸上的截距是5,在y軸上的截距是6;(3)在工軸上的截距是3,與y軸平行； (4)在y軸上的截距是4,與x軸平行。設(shè)計意圖：在講完兩點工后，緊接著講解截距工，有利于比較兩種表式的方程，從而有助于不生理解兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，在具體應(yīng)用截虎式時能考慮到截距為0與不為0的兩種情況，并建立完善的知識結(jié)構(gòu)?！纠}示范，變式

8、訓(xùn)練】(教師活動)投影例題和練習(xí)，要求同學(xué)獨立完成變式練習(xí)。字幕例1.三角形的頂點是 A(5,0),B(3,-3),C(0,2),求這個三角形三邊所在直線的方程。分析1為使所求直線方程更簡單、方便、根據(jù)A, B, C坐標(biāo)的特征，求 AB所在直線的方程應(yīng)選用兩點式；求 BC所在直線的方程應(yīng)選用斜截式；求AC所在直線的方程應(yīng)選用截距式。解：(詳見課本例3解答過程)字幕(變式一)求例1中 ABC的三邊上的中線所在的直線方程。(變式二)已知 AABC的三個頂點為 A(2,8), B(Y,0),C(6,0),求過點B且將AABC 面積平分的直線方程。(答案：x2y + 4=0)設(shè)計意圖：例1主要訓(xùn)練學(xué)生

9、在復(fù)雜的背景中，如何選用直線方程的四種特殊形式求直線方程，變式題主要訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的學(xué)習(xí)能力。字幕例2.求過點P(-2,-1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程。分析要注意分類討論，不要遺漏截距為0的直線。1投影1解：若直線截距為0,設(shè)所求直線方程為 y = kx ,將點(-2,-1)代入求得k =，2故所求直線方程為y = 1x。2若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0,則設(shè)直線方程為)+2=1 ,把點(一2, 1)代入求得a aa = -3 ,則直線方程為x + y +3 = 0。1綜上所述，所求直線方程為y=1x或x + y+ 3 = 0。2字幕1 (變式一)求經(jīng)過點 P(1,2)且與兩坐標(biāo)

10、軸構(gòu)成等腰直角三角形的直線方程。投影設(shè)所求方程形如x y =1,將P(1,2)代入求得a = 3或a = 1,故所求直線a a方程為x+y =3或x y+1 = 0。(變式二)一條直線過點 A(1,2),且與兩坐標(biāo)軸的正方向所圍成的三角形面積是4,求這條直線的方程。投影1解：設(shè)所求直線方程為+ y =1(a 0,b0),則, a3:1, a b 1 , ab = 412a = 2,9=4.所以，所求直線方程為 -1.24字幕1 (變式三)已知直線l過點A(1,4)且在第一象限與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積 最小，求直線l的方程。投影解：設(shè)l的方程為%+ ? =1(a A0,b 0),a a因為l過

11、點A(1,4),14所以1 4 =1.a b1 4 所以 1 =1 4 _2a a1 一所以ab -4 ab - 8.214.因此，當(dāng)且僅當(dāng) 一=一時，三角形面積有最小值8。a b1 +4 d-十一 =1, r 八此時有a b=產(chǎn)=2,1 _4” =8.a b所以l在方程為x + y=1,即4x + y8 = 0。 2 8注：本題不可以引導(dǎo)學(xué)生采用直線方程的點斜式求解。設(shè)計意圖：例2及變式題力求由淺入深，層層梯進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生對直線方程的截距式的應(yīng)用，加深學(xué)生在使用截距式時應(yīng)單獨考慮截距為0的情況的印象，通過教師及時調(diào)控、講評,幫助學(xué)生進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。(三)小結(jié)(師生共同完成)通過列表從名稱、

12、形式、已知條件、使用范圍、示意圖等方面對所學(xué) 直線方程的上種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式)進(jìn)行填表比較。投影1直線方程的名稱已知條件直線方程使用范圍示意圖點斜式斜截式兩點式截距式設(shè)計意圖：為幫助學(xué)生用聯(lián)系的觀點來學(xué)習(xí)知識，又能把四種形式的直線方程加以區(qū)別，以便更好地運用它們，本環(huán)節(jié)主要采用比較法的形式小結(jié)。五、布置作業(yè)1 .課本作業(yè)：課本，習(xí)題 第7, 8, 10題。2 .思考題(1)過點P(1,2)的直線分別交x,y軸于A,B兩點，若點P恰為線段AB的中點，求此直線的方程。(2)求與兩坐標(biāo)軸正方向圍成面積為2個單位的三角形，并且截距之差為3的直線方程。(3)直線Ax + By+C =0通過第二、三、四象限，則系數(shù)A,B,C需滿足條件()。(A) A,B,C 同號(B) AC 0,BC 0(C) C=0,AB0(D) A=0,BC0(4)直線Ax+by-1=0在y軸上的截距是1,而且它的傾斜角是直線J3x y = 33的傾斜角的2倍