21大學(xué)大學(xué)應(yīng)用概率與統(tǒng)計ppt課件

1、隨機變量及其概率分布隨機變量及其概率分布第二章第二章 n離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律n正態(tài)分布正態(tài)分布n連續(xù)型隨機變量及其分布律連續(xù)型隨機變量及其分布律n隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布 在前面的學(xué)習(xí)中,我們用字母A、B、C.表示事件，并視之為樣本空間的子集；針對等能夠古典概型，主要研究了用排列組合手段計算事件的概率。 本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機現(xiàn)象。隨機變量隨機變量 P28P28n基本思想基本思想將樣本空間數(shù)量化將樣本空間數(shù)量化, ,即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果n 有些隨機試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示有些隨

2、機試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示. .例如例如: 在擲骰子試驗中在擲骰子試驗中,結(jié)果可用結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示來表示n 有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，n 但可數(shù)量化但可數(shù)量化10X=正面向上=反面向上 例如例如: 擲硬幣試驗擲硬幣試驗,其結(jié)果是用其結(jié)果是用 “正面向上和正面向上和“反面向上反面向上” 來表示的來表示的 P28可規(guī)定可規(guī)定: 用用1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上” 特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了 對應(yīng)關(guān)系繼續(xù)繼續(xù)隨機變量的定義隨機變量的定義 1) 它是一個變量，它的取值隨試驗結(jié)

3、果而改變 2隨機變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個 隨機事件n隨機變量隨機變量 P28P28n隨機變量的兩個特征隨機變量的兩個特征: :設(shè)隨機試驗的樣本空間為設(shè)隨機試驗的樣本空間為，如果對于每一，如果對于每一個樣本點個樣本點 ，均有唯一的實數(shù)，均有唯一的實數(shù) 與與之對應(yīng)，稱之對應(yīng)，稱 為樣本空間為樣本空間上上的隨機變量。的隨機變量。( )X( )XX前往前往某個燈泡的使用壽命某個燈泡的使用壽命X X。 某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)X.X.在在00，11區(qū)間上隨機取點，該點的坐標(biāo)區(qū)間上隨機取點，該點的坐標(biāo)X.X.X X 的可能取值為的可能取值為 0,+ 0,+

4、) )X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，11上的全體實數(shù)。上的全體實數(shù)。用隨機變量表示事件用隨機變量表示事件n若若X X是隨機試驗是隨機試驗E E的一個隨機變量，的一個隨機變量，S SR R，那么，那么n n XSXS可表示可表示E E中的事件中的事件 如在擲骰子試驗中，用如在擲骰子試驗中，用X X表示出現(xiàn)的點數(shù)表示出現(xiàn)的點數(shù), ,那么那么 “ “出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)偶數(shù)點可表示為：可表示為：X=2X=2 X=4 X=4 X=6X=6 “ “出現(xiàn)的點數(shù)小于出現(xiàn)的點數(shù)小于可表示為：可表示為：X4X4或或XX33n E中的

5、事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值來表示的不同取值來表示.隨機變量的類型隨機變量的類型 P29P29n 離散型離散型n 非離散型非離散型隨機變量的所有取值是有限個或可列個隨機變量的所有取值是有限個或可列個隨機變量的取值有無窮多個，且不可列隨機變量的取值有無窮多個，且不可列其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型 稱此式為離散型隨機變量稱此式為離散型隨機變量 X的的 分布律列或概率分布分布律列或概率分布kkpxXP 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率為的概率為X12,nx xxkxkp即即隨機變量隨機

6、變量X X的概率分布全面表達了的概率分布全面表達了X X的所有可能取的所有可能取值以及取各個值的概率情況值以及取各個值的概率情況 p1 ， p2 ， pk P x1， x2， xk， X離散隨機變量分布律的表示法離散隨機變量分布律的表示法 P29n 公式法公式法kkpxXPn 表格法表格法1)01,2,kpk12)1kkp性質(zhì)性質(zhì) 例例2 2、 設(shè)設(shè)X X的分布律的分布律為為求求 P0X2=2/3 例例3 3、 設(shè)有一批產(chǎn)品設(shè)有一批產(chǎn)品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，從中任意抽取件次品，從中任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次表示取得的次品數(shù)，求隨機變量品數(shù)，求隨機變

7、量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品的概率。的概率。解：解：X的可能取值為的可能取值為 0，1，2 實際上，這仍是古典概型的計算題，只是表達事實際上，這仍是古典概型的計算題，只是表達事件的方式變了件的方式變了設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布律為的分布律為2() ,1,2,3,3kP Xkbk試確定常數(shù)試確定常數(shù)b.例例4、12111,.0| 1limnnniiniiaa aqaqaa引理：若為等比數(shù)列，且滿足，則12b 11aq1(1)lim1nnaqq幾種常見的離散型分布幾種常見的離散型分布 1p p P 0 1 X 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p 的兩點分布

8、或的兩點分布或(0-1)分布分布如：上拋一枚硬幣，新生兒性別的判別，如：上拋一枚硬幣，新生兒性別的判別， 檢驗產(chǎn)品是否合格等等。檢驗產(chǎn)品是否合格等等。 例例6、設(shè)一個袋中裝有設(shè)一個袋中裝有3 3個紅球和個紅球和7 7個白球，現(xiàn)在從中個白球，現(xiàn)在從中隨機抽取一球，并且用數(shù)隨機抽取一球，并且用數(shù)“1 1代表取得紅球，代表取得紅球，“0 0代表取得白球代表取得白球10X（取得紅球）（取得白球）其概率分布為其概率分布為即即X X服從兩點分布。服從兩點分布。 7/10 3/10 P 0 1 X(1)0,1, 2.,;kknknP XknkCpp其中其中0 p 0, 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分

9、布的泊松分布XP()n定義定義交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)X;礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目醫(yī)院在一天內(nèi)的急癥病人數(shù)醫(yī)院在一天內(nèi)的急癥病人數(shù)n 實際問題中若干隨機現(xiàn)象是服從或近似服從實際問題中若干隨機現(xiàn)象是服從或近似服從n PoissonPoisson分布的分布的例例9 9、已知某商店某種商品每月的銷、已知某商店某種商品每月的銷售數(shù)售數(shù)X X服從服從解解 每月銷售某種商品每月銷售某種商品X X

10、件，月底進貨件，月底進貨a a件件010010 =0.95!akkakP XaP Xkek的泊松分布，為了以的泊松分布，為了以95%以上的把握保證以上的把握保證不會供不應(yīng)求，問商店在月底至少要進某種商品不會供不應(yīng)求，問商店在月底至少要進某種商品多少件？多少件？10a=15 已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X X服從服從4 的泊松分布，分別的泊松分布，分別 求求1 1每分鐘內(nèi)恰好接到每分鐘內(nèi)恰好接到3 3次呼喚的概率；（次呼喚的概率；（2 2每分鐘不超過每分鐘不超過4 4次的概率次的概率例例1010、至少要聘用多少個服務(wù)員，才能使得每分鐘至少要聘用多少個服

11、務(wù)員，才能使得每分鐘沒有顧客等待服務(wù)的概率不小于沒有顧客等待服務(wù)的概率不小于80%呢呢解解 設(shè)每分鐘接到設(shè)每分鐘接到X X次呼喚次呼喚至少至少6人人ekppCkknkkn!)1 (二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似P32The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp 某人騎摩托車上街某人騎摩托車上街, ,出事故率為出事故率為0.020.02，獨立重，獨立重復(fù)上街復(fù)上街400400次，求出事故至少兩次的概率次，求出事故至少兩次的概率. .(400, 0.02)XBn 結(jié)果表明，隨著實驗次數(shù)的增多，結(jié)果表明，隨著實驗次數(shù)的增多，n

12、 小概率事件總會發(fā)生的！小概率事件總會發(fā)生的！ 例例1111、 解解思索：出事故率為思索：出事故率為0.002，至少發(fā)生兩次事故的概率為多少至少發(fā)生兩次事故的概率為多少隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) P34P34 設(shè)設(shè)X X為一隨機變量為一隨機變量, ,則對任意實數(shù)則對任意實數(shù)x x，稱函數(shù)，稱函數(shù)為隨機變量為隨機變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)表示隨機變量表示隨機變量X X落在區(qū)間（落在區(qū)間（，x)x)內(nèi)內(nèi)的概率的概率定義域為定義域為 (,)；值域為值域為,。n分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義( )F xP Xx 引進分布函數(shù)F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函數(shù)值來表示。P34nPX

13、b=F(b)nPaXb=F(b) - F(a)nPXb=1 PXb=1 - F(b)PaXb=PX b-PX a= F(b)- F(a)PaXb=PX b-PX a= F(b)- F(a)分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)n F(x)是單調(diào)不減函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù) P34n 0 F(x) 1, 0 F(x) 1, 且且 P35 P35 ()lim ( )0,()lim ( ) 1xxFF xFF x 12xx若12()()F xF x()FP X 不可能事件不可能事件()FP X 必然事件必然事件分布函數(shù)分布函數(shù) F(x)F(x)的圖形的圖形nF(x)是單調(diào)不減函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù)21(1) ( )1F xx是不是某一隨機變量的分布函數(shù)？是不是某一隨機變量的