D102二重積分的計算法ppt課件

1、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 二重積分的計算法二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第十章 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案xbad 設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱體的)(2xy)(1xyzxyo

2、ab0 xD一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案ydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd)(1yx)(2yxzyxocd0yD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知,

3、若D為 X 型區(qū)域 那么)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那么機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案當(dāng)被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負(fù)均非負(fù)DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案o

4、xy闡明闡明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD那么 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案xy211xy o221d y例例1. 計算計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x

5、解法解法1. 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例2. 計算計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy126123

6、44216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線那么 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案練習(xí)：練習(xí)：計算計算其中 是由直線所圍成的閉區(qū)域。 Ddyxy 221Dxy 1 x1 y，及解既是X型的， 103111222221)1(3211dxxdxdyyxydyxyDx 111222211yDdydxyxydyxy D是Y型的（計算比較麻煩）D機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例3. 計算計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyD

7、xxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxx先對 x 積分不行, 闡明闡明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例4. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD

8、21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例5. 計算計算,dd)22(22yxxyyxID其中D 由, 10 x10 y所圍成.解解:yxyxIDdd)2(oxy1D1xy 2DyxyxDddyxDdd2yxyxDdd)(1yxxyDdd)(22機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例6. 計算計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解

9、: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下圖)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例7. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.xyzRRo解解: 設(shè)兩個直圓柱方程為設(shè)兩個直圓柱方程為,222RyxyxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(8022222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD機(jī)動 目錄

10、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos對應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為krkrkkkr機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)

11、sin,cos(drrddrd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè),)()(:21rD那么Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案假設(shè) f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思索思索: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點軸相切于原點,試試答答: ;0

12、) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例8. 計算計算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2reddrr20d由于故坐標(biāo)計算.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案注注:利用例8可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex事實上, 當(dāng)D 為 R2 時,Dyxyx

13、edd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的結(jié)果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例9. 求球體求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換

14、元法*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:那么Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設(shè)Dyxf變換:是一一對應(yīng)的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案oyxDovuD證證: 根據(jù)定理條件可知變換根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在vou 直線分割區(qū)域 ,D任

15、取其中一個小矩T形, 其頂點為),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊形, 其對應(yīng)頂點為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令那么12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy當(dāng)h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊

16、形, 故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxhkvyuyvxuxhkvuJ),(khkhvyvxuyux機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案vuvuJdd),(d因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子

17、教案例例10. 計算計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解解: 令令,xyvxyu那么2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例11. 計算由計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解解: 令

18、令Duvopqab那么bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A電子教案電子教案例例12. 試計算橢球體試計算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的體積V.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束