納維-斯托克斯方程(N-S方程)詳細(xì)推導(dǎo)培訓(xùn)講學(xué)

1、本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)納維-斯托克斯方程(N-S方程)詳細(xì)推導(dǎo)本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的分析分析流場(chǎng)中任意流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)是研究整個(gè)流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。流體運(yùn)動(dòng)要比剛體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多，流體微團(tuán)基本運(yùn)動(dòng)形式有平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形和角變形運(yùn)動(dòng)等。實(shí)際運(yùn)動(dòng)也可能遇到只有其中的某幾種形式所組成。當(dāng)流體微團(tuán)無限小而變成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)也是由平動(dòng)、線變形、角變形及旋轉(zhuǎn)四種基本形式所組成。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)右圖為任意t時(shí)刻

2、在平面流場(chǎng)中所取的一個(gè)正方形流體微團(tuán)。由于流體微團(tuán)上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不一致，經(jīng)過微小的時(shí)間間隔后，該流體微團(tuán)的形狀和大小會(huì)發(fā)生變化，變成了斜四邊形。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)速度的變化有關(guān)。設(shè)方形流體微團(tuán)中心 M 的流速分量為 ux 和 uy ，則微團(tuán)各側(cè)邊的中點(diǎn) A 、 B 、 C 、 D 的流速分量分別為：微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不同所引起的速度增量?jī)蓚€(gè)組成部分。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 平移運(yùn)動(dòng)速度 微團(tuán)上各點(diǎn)公有的分速度 ux 和uy ，使它們?cè)?/p>

3、 dt 時(shí)間內(nèi)均沿 x 方向移動(dòng)一距離 uxdt , 沿 y 方向移動(dòng)一距離 uydt 。因而，把中心點(diǎn) M 的速度 ux和 uy ，定義為流體微團(tuán)的平移運(yùn)動(dòng)速度。 線變形運(yùn)動(dòng) 微團(tuán)左、右兩側(cè)的 A 點(diǎn)和 C 點(diǎn)沿 x 方向的速度差為 ，當(dāng)這速度差值為正時(shí)，微團(tuán)沿 x 方向發(fā)生伸長(zhǎng)變形；當(dāng)它為負(fù)時(shí)，微團(tuán)沿 x 方向發(fā)生縮短變形。 線變形速度 單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線變形稱為線變形速度。流體微團(tuán)沿 x 方向的線變形速度：本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)旋轉(zhuǎn)角速度 把對(duì)角線的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個(gè)流體微團(tuán)在平面上的旋轉(zhuǎn)角速度。)(21zuyuyzx)(21xuzuz

4、xy)(21yuxuxyz； 角變形速度：直角邊 AMC （或BMD）與對(duì)角線 EMF 的夾角的變形速度)(21zuyuyzx)(2xuzuyzxy)(21yuxuxyz本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)亥姆霍茲速度分解定理整理推廣得本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)微元體內(nèi)的微元體內(nèi)的質(zhì)量變化率質(zhì)量變化率輸入微元體輸入微元體的質(zhì)量流量的質(zhì)量流量直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程連續(xù)性方程輸出微元體輸出微元體的質(zhì)量流量的質(zhì)量流量y xz dzdxdyxv dydzxxvvdx dydzx不可壓縮流體連續(xù)性微分方程本構(gòu)方程和

5、本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1 1、x x方向：方向：dtdt時(shí)間內(nèi)沿從六面體時(shí)間內(nèi)沿從六面體 x x 處與處與 x+dx x+dx 處輸入與輸出的處輸入與輸出的質(zhì)量差：質(zhì)量差：()()xxxxvvv dydzdtvdx dydzdtdxdydzdtxxdxdydzdtyvy )( dxdydzdtzvz )( Y Y方向：方向： ； Z Z方向：方向：2 2、dtdt時(shí)間內(nèi)，整個(gè)六面體內(nèi)輸入與輸出的質(zhì)量差：時(shí)間內(nèi)，整個(gè)六面體內(nèi)輸入與輸出的質(zhì)量差：()()()()()()yxzyxzvvvdxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtxyzvvvdxdydzdt

6、xyz 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)3 3、微元體內(nèi)的質(zhì)量變化：、微元體內(nèi)的質(zhì)量變化：dxdydzdtt從而有：()()()yxzvvvdxdydzdtdxdydzdtxyzt或：()()()0yxzvvvtxyz連續(xù)性方程連續(xù)性方程連續(xù)方程物理意義：連續(xù)方程物理意義：流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。矢量形式：()0t（適用于層流、湍流、（適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體）牛頓、非牛頓流體）本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流

7、體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)0zvyvxvzyx上式表明，對(duì)于不可壓縮液體，單位時(shí)間單位體積空間內(nèi)流上式表明，對(duì)于不可壓縮液體，單位時(shí)間單位體積空間內(nèi)流入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。適用范圍：適用范圍：恒定流或非恒定流；理想液體或?qū)嶋H液體。恒定流或非恒定流；理想液體或?qū)嶋H液體。連續(xù)性方程是流體流動(dòng)微分方程最基本的方程連續(xù)性方程是流體流動(dòng)微分方程最基本的方程之一。任何流體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)均必須滿足。之一。任何流體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)均必須滿足。一維流動(dòng)的連續(xù)方程一維流動(dòng)的連續(xù)方程1122AA若流體不可壓縮：若流體不可壓縮：本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方

8、程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)。可以用礎(chǔ)?？梢杂门ｎD第二定律牛頓第二定律加以加以推導(dǎo)推導(dǎo)。 l 受力分析：受力分析：1 1、質(zhì)量力：、質(zhì)量力：2 2、表面力：、表面力：fxdxdydz切向應(yīng)力切向應(yīng)力0 0（理想流體）（理想流體）法向應(yīng)力壓強(qiáng)法向應(yīng)力壓強(qiáng)2dxxpp2dxxppx軸正方向軸正方向x軸正方向軸正方向x軸負(fù)方向軸負(fù)方向aF本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體的運(yùn)動(dòng)

9、微分方程根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律得得x x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程dtduzyxzyxxppzyxxppzyxfxxddddd2ddd2dddddtduxpfxx1dtduypfyy1dtduzpfzz1理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程即歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程即歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程xpXuzuuyuuxutuzxyxxxx1ypYuzuuyuuxutuzyyyxyy1zpZuzuuyuuxutuzzyzxzz1本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 以流體微元為分析對(duì)象，流體的運(yùn)動(dòng)方程可寫為如下

10、的矢量形式： 這里 ： 是流體微團(tuán)的加速度，微分符號(hào)： 稱為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)，它表示流體微團(tuán)的某性質(zhì) 時(shí)間的變化率。 PFDtDVVVVVtDtDiixVttDtDV(1)(2)(3)本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等定律應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等定律xxxxxxdxxyxzxzxyxydxxzxzxdzzzxzzzzdzzzzyxyzyzyzdyyyxyxdyy應(yīng)力狀態(tài)：應(yīng)力狀態(tài)：切應(yīng)力互等定律切應(yīng)力互等定律xyyxzyyzxzzx本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)微元體表面力的總力分量微元體表面力的總力分量

11、X方向的表面力：方向的表面力：Y方向的表面力：方向的表面力：xyyyzydxdydzxyzZ方向的表面力：方向的表面力：yzxzzzdxdydzxyzdxdydzzyxdzdxdyzdydxdzydxdydzxzxyxxzxyxx本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率y xz dzdxdyxxv vx xx xv vv vdxxzxv vy xy xv vv vdyyz xz xv vv vdzzyxv v動(dòng)量流量動(dòng)量流量 動(dòng)量通量動(dòng)量通量x流通面積流通面積圖中標(biāo)注的是動(dòng)量的輸入或圖中標(biāo)注的是動(dòng)量的輸入或輸出方向，而動(dòng)量或其

12、通量輸出方向，而動(dòng)量或其通量本身的方向均指向本身的方向均指向x x方向，即方向，即分速度分速度v vx x的方向。的方向。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)x方向：方向：2()()()yxxzxdxdydzxyz 輸入輸出微元體的動(dòng)量流量輸入輸出微元體的動(dòng)量流量y方向：方向：z方向：方向：2()()()xyyzydxdydzxyz 2()()()yzxzzdxdydzxyz 微元體內(nèi)的動(dòng)量變化率微元體內(nèi)的動(dòng)量變化率x方向：方向：xdxdydzty方向：方向：ydxdydztz方向：方向：zdxdydzt流體的瞬時(shí)質(zhì)量為流體的瞬時(shí)質(zhì)量為dxdydzdxdydzv

13、xX X方向的瞬時(shí)動(dòng)量為方向的瞬時(shí)動(dòng)量為本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)x方向的運(yùn)動(dòng)方程：方向的運(yùn)動(dòng)方程：以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程()yxxxxxxxzxxyzxftxyzxyzy方向的運(yùn)動(dòng)方程：方向的運(yùn)動(dòng)方程：z方向的運(yùn)動(dòng)方程：方向的運(yùn)動(dòng)方程：yyyyxyyyzyxyzyftxyzxyzyzxzzzzzzzxyzzftxyzxyz注：上式就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程，注：上式就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程，適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體。適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性

14、流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)方程的物理意義：方程的物理意義：方程左邊是：任意時(shí)刻方程左邊是：任意時(shí)刻t t通過考察點(diǎn)通過考察點(diǎn)A A的流體質(zhì)點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)加速度的三個(gè)分量；加速度的三個(gè)分量；方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體積力在各坐標(biāo)上的分量。積力在各坐標(biāo)上的分量。方程可簡(jiǎn)略表示成：方程可簡(jiǎn)略表示成：aF這就是以單位體積的流體質(zhì)量為基準(zhǔn)的這就是以單位體積的流體質(zhì)量為基準(zhǔn)的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律xxaDtDv/本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程N(yùn)avierNavierSto

15、kesStokes方程方程對(duì)一維流動(dòng)問題：對(duì)一維流動(dòng)問題：對(duì)粘性流體流動(dòng)問題：對(duì)粘性流體流動(dòng)問題：目的目的關(guān)鍵：關(guān)鍵：尋求尋求流體流體應(yīng)力與應(yīng)力與變形速率變形速率之之間的關(guān)系間的關(guān)系本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程引入的基本假設(shè)：引入的基本假設(shè)：為了尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，為了尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，StokesStokes提出三個(gè)提出三個(gè)基本假設(shè)：基本假設(shè)：應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系; ;應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系各向同性；應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系各向同性；靜止流場(chǎng)中，切應(yīng)力為零，

16、各正應(yīng)力均等于靜壓力靜止流場(chǎng)中，切應(yīng)力為零，各正應(yīng)力均等于靜壓力pzzyyxx本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)牛頓流體的本構(gòu)方程：牛頓流體的本構(gòu)方程：223yxxzxxvvvpxxyz 223yxzzzzvvvpzxyz 223yyxzyyvvvpyxyz yxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)本構(gòu)方程的討論：本構(gòu)方程的討論：正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：線變形率與流體流動(dòng)：線變形率與流體流動(dòng)：正應(yīng)力與線變形速率：正應(yīng)力與線變形速率：223yxxzxxvvvp

17、xxyz xx xxxxp 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)正應(yīng)力與壓力：正應(yīng)力與壓力：這說明：這說明：三個(gè)正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平三個(gè)正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。均值卻總是與壓力大小相等。切應(yīng)力與角邊形率：切應(yīng)力與角邊形率：牛頓流體本構(gòu)方程牛頓流體本構(gòu)方程反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，是流體力學(xué)的虎克定律（反映應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系）。是流體力學(xué)的虎克定律（反映應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系）。vppzzyyxxm3本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基

18、礎(chǔ)流體運(yùn)動(dòng)微分方程流體運(yùn)動(dòng)微分方程N(yùn)avierNavierStokesStokes方程方程223xxxDvpfDtxxxx yxxzvvvvyyxzzx適用于牛頓流體適用于牛頓流體本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)常見條件下常見條件下N NS S方程的表達(dá)形式：方程的表達(dá)形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz適用于牛頓流體適用于牛頓流體常粘度條件下常粘度條件下NS方程：方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz222222113zzzzzDvpfDtzzxyz矢量形式：矢量形式：211()3DvfpDt 本構(gòu)方程和本構(gòu)

19、方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2222221xxxxxDvpfDtxxyz適用于牛頓流體適用于牛頓流體不可壓縮流體的不可壓縮流體的NS方程：方程：const2222221yyyyyDvpfDtyxyz2222221zzzzzDvpfDtzxyz矢量形式：矢量形式：21DvfpDt 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2222221xxxxxxxxyzxvvvvpvvvftxyzxxyz常粘度條件下不可壓縮流體的常粘度條件下不可壓縮流體的NS方程：方程：const2222221yyyyyyyxyzyvvvvpvvvftxyzyxyz2222

20、221zzzzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzzxyz矢量形式：矢量形式：const21()vfpDt 非定常項(xiàng)非定常項(xiàng)定常流動(dòng)為定常流動(dòng)為0靜止流場(chǎng)為靜止流場(chǎng)為0對(duì)流項(xiàng)對(duì)流項(xiàng)靜止流場(chǎng)為靜止流場(chǎng)為0蠕變流時(shí)蠕變流時(shí) 0單位質(zhì)量流體單位質(zhì)量流體的體積力的體積力單位質(zhì)量流體單位質(zhì)量流體的壓力差的壓力差擴(kuò)散項(xiàng)（粘性力項(xiàng)）擴(kuò)散項(xiàng)（粘性力項(xiàng)）對(duì)靜止或理想流體為對(duì)靜止或理想流體為0高速非邊界層問題高速非邊界層問題0本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流動(dòng)微分方程的應(yīng)用求解步驟流動(dòng)微分方程的應(yīng)用求解步驟 根據(jù)問題特點(diǎn)對(duì)一般形式的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行根據(jù)問題特點(diǎn)對(duì)一般形式的運(yùn)動(dòng)

21、方程進(jìn)行簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化，獲，獲得針對(duì)具體問題的得針對(duì)具體問題的微分方程或方程組微分方程或方程組。 提出相關(guān)的初始條件和邊界條件。提出相關(guān)的初始條件和邊界條件。 初始條件初始條件：非穩(wěn)態(tài)問題：非穩(wěn)態(tài)問題邊界條件邊界條件固壁流體邊界：固壁流體邊界：流體具有粘性，在與壁面接流體具有粘性，在與壁面接觸處流體速度為零。觸處流體速度為零。液體氣體邊界：液體氣體邊界：對(duì)非高速流，氣液界面上，對(duì)非高速流，氣液界面上，液相速度梯度為零。液相速度梯度為零。液體液體邊界：液體液體邊界：液液界面兩側(cè)的速度或切應(yīng)液液界面兩側(cè)的速度或切應(yīng)力相等。力相等。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)廣義牛

22、頓粘性應(yīng)力公式廣義牛頓粘性應(yīng)力公式粘性流體動(dòng)力學(xué)基本方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基本方程一、應(yīng)一、應(yīng)力張量分析力張量分析二、變二、變形速率張量形速率張量三、本三、本構(gòu)方程構(gòu)方程四、連四、連續(xù)方程續(xù)方程六、能六、能量方程量方程五、運(yùn)五、運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程七、方七、方程組的封閉性程組的封閉性本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)廣義牛頓粘性應(yīng)力公式 在流體作直線層流運(yùn)動(dòng)的條件下，我們可以直接由試驗(yàn)得到切應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系式。 在流體作非直線層流運(yùn)動(dòng)的條件下，并不能直接由試驗(yàn)給出應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系式。為了得到這樣的關(guān)系式，必須對(duì)粘性流體中的應(yīng)力性質(zhì)作仔細(xì)的分析。 yx

23、dudyp本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)一、應(yīng)力張量分析 運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可以由九個(gè)分量來表示，這九個(gè)應(yīng)力分量組成一個(gè)二階對(duì)稱張量 xxxxyxzxyzyyxyyyzzzxzyzzppppPipjpkpppppppppxxxyxzxipjpkppyxyyyzyipjpkppzxzyzzzipjpkpp分別為與坐標(biāo)軸x，y，z相垂直的平面上的應(yīng)力 xyyxppxzzxppyzzypp 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 任意平面上的應(yīng)力可表示為()xxzyyzzzzk n pn pn p()()xxyyzzxxx

24、yyxzzxxxyyyyzzynn Pn pn pn pi n pn pn pj n pn pn pp+n為任意平面的法向單位向量 cos( , )xnn icos( , )ynn jcos( , )znn k 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 為便于書寫，我們規(guī)定：分別用e1、e2、e3代替i、j、k，帶有下標(biāo)的量的下標(biāo)分別用i=1，2，3代替x,y,z。并且遵循愛因斯坦符號(hào)算法規(guī)則：一項(xiàng)中下標(biāo)符號(hào)重復(fù)的量，表示此項(xiàng)是變換下標(biāo)后的各項(xiàng)相加。 112233iijjjjnpn pn pn p1122331111212313()i jijjjjjjjnepn e

25、pn epn epn e pe pe p21212223233131232333()()n e pe pe pn e pe pe p例如： ijijpepi jijPeepniii jijpn Pnpnep本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 在靜止流體中或理想流體中，過一點(diǎn)的任意平面的法向應(yīng)力的方向，都與該平面的單位法線向量n的方向相反，且法向應(yīng)力的數(shù)值p與n無關(guān)，即 np =n p式中，p只是坐標(biāo)位置及時(shí)間的函數(shù)p=p(x,y,z,t)。這個(gè)壓力就是經(jīng)典熱力學(xué)平衡態(tài)意義上的壓力。在粘性流體動(dòng)力學(xué)中，流體質(zhì)點(diǎn)的物理量都處在變化過程中，過一點(diǎn)的不同平面上的法向應(yīng)

26、力的數(shù)值并不一定相同。因此，嚴(yán)格說來，并不存在平衡態(tài)意義上的壓力。但我們可以定義一平均意義上的壓力Pm, ，它是球形流體微團(tuán)(也可取任意形狀的流體微團(tuán)，結(jié)果相同)表面所承受的法向應(yīng)力Pnn的平均值的負(fù)值，即本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 式中 a為球形微團(tuán)的半徑。201lim4mnnAapp dAa 球面上的法向應(yīng)力nnp和球面微元面積分別可寫成n1232n psincossinsincossinnnijijpnnpnnndAad d 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 于是200sin4ijmijppnnd d 此式右側(cè)

27、包括9項(xiàng)，分別積分之，最后得1122331133miippppp 即 13miipp 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 由此可見，流場(chǎng)中任意一點(diǎn)的平均壓力pm，等于過此點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面上的法向應(yīng)力p11,p22,p33的算術(shù)平均值的負(fù)值。 平均壓力偏量: 平均壓力與平衡態(tài)壓力之差pm-p。 現(xiàn)在讓我們把從應(yīng)力張量pm中分離出來。為此，令100010001xxxyxzxxmxyxzxyyyyxxyyymyxmzxyzzzzxyzzzmpppppppPpppppppppppppppmPDp即為單位二階張量；D稱作偏應(yīng)力張量。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體

28、動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上式可寫成分量形式ijijmijpdpijdij式中為偏應(yīng)力張量的分量；為單位二階張量的分量 01ijijije eij因此應(yīng)力張量又可寫成 i jiji jiji jmiji jijijmP eepeedeepe eee de ep本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)二、變形速率張量 我們?cè)?jīng)得到描寫流體變形速率的9個(gè)分量，由這9個(gè)分量可以組成一個(gè)描寫變形速率的二階對(duì)稱張量ExxxxyxzxyzyyxyyyzzzxzyzzEijk式中xxxxyxzyyxyyyzzzxzyzzijkijkijk因此變形速率張量E可表示為i jijEe

29、e12jiijjijiVVxx式中本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 過一點(diǎn)的任意平面上的變形速率可寫成i ii jiji jijnn Ene eenecos( , )iinn e式中 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)三、應(yīng)力張量與變形速率張量的關(guān)系 斯托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了關(guān)于應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系的三條假定：(1)應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系；(2)應(yīng)力與變形速率的關(guān)系在流體中各向同性；(3)在靜止流體中,切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的數(shù)值為靜壓力p。 根據(jù)這三條假定,不難給出應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式。我們將分兩步討論：

30、第一步，建立偏應(yīng)力張量第一步，建立偏應(yīng)力張量D與變形速率與變形速率E之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；第二步，建立平均壓力偏量與變形速率第二步，建立平均壓力偏量與變形速率E之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)(一)偏應(yīng)力張量D與變形速率張量E之間的關(guān)系 根據(jù)斯托克斯的第(1)、(2)條假定，偏應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系可寫成DaEbijijijdab或 式中系數(shù)a，b可以是坐標(biāo)位置的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與作用面的方向無關(guān)。將該式用于牛頓平板試驗(yàn)，上式可寫成 12yxyxudpay對(duì)比牛頓粘性應(yīng)力公式y(tǒng)xupy可以確定系數(shù)2a本

31、構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 于是 2ijijijdb系數(shù)b可以應(yīng)用平均壓力pm的性質(zhì)來確定。 111111222222333333222mmmVdppbxVdppbxVdppbx本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 將此三式相加可得123112233123323mVVVppppbxxx1122331()3mpppp 而由定義故上式左側(cè)為零 于是由 123123230VVVbxxx得2V3b 22V3ijijijd從而 22V3DE或?qū)懗杀緲?gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)（二）平均壓力偏量與

32、變形速率之間得關(guān)系 我們?cè)赋?，?yán)格說來，在粘性流體動(dòng)力學(xué)中并不存在平衡態(tài)壓力，而是人為定義的平均壓力。平均壓力與平衡態(tài)壓力是又差別的，這個(gè)差別反映了由于速度場(chǎng)的不均勻所造成的流體質(zhì)點(diǎn)得狀態(tài)對(duì)于平衡態(tài)得偏離。 利用斯托克斯假定可以確定平均應(yīng)力偏量與變形速率之間的關(guān)系。由于斯托克斯的第（1），（2）條假定，可以給出下列線性關(guān)系1()3miiiippppgc 式中g(shù),c為系數(shù)，它們可以是坐標(biāo)的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與平均壓力偏量的作用面的方向無關(guān)。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 利用斯托克斯的第三條假定，可以確定系數(shù)c。 在靜止流體中 ，0iimp

33、p代入上述關(guān)系式可得 c=0Vmiippggg Vmpp 令 則上式可寫成 于是Vmijijpp Vmpp 或或通常稱為第二粘性系數(shù)，或體變形粘性系數(shù) 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)(三)應(yīng)力張量與變形速率張量的一般關(guān)系式 將式(1218)、(1222)代入式(1210)可得應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式22VV3ijijmijijijijijpdpp 2()V23ijijijpp 或?qū)懗纱耸椒Q作廣義牛頓粘性應(yīng)力公式。 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)(四)討論 (1)應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系的假定，對(duì)于大多數(shù)真實(shí)流動(dòng)來說是

34、與實(shí)際相符的。但是在像激波層這樣的區(qū)域中，應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系的假定是不符合實(shí)際的，此時(shí)廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。 (2)應(yīng)力與變形速率關(guān)系在流體中各向同性是建立在流體分子結(jié)構(gòu)各向同性的前提之下的。對(duì)于絕大多數(shù)的流體來說，這個(gè)前提能夠得到滿足。但是對(duì)于長(zhǎng)分子結(jié)構(gòu)的流體，就不再具有各向同性的性質(zhì)，因此廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) (3)由關(guān)系式可見，平均壓力偏量 pm-p取決于 。對(duì)于不可壓縮流體，由于 ，因此pm=p，即平均壓力等于平衡態(tài)壓力。但是應(yīng)當(dāng)注意，平均壓力仍然是法向應(yīng)力的平均值的負(fù)值， 而并不是pm、p11

35、、p22、p33這四個(gè)值相等。對(duì)于靜止流體，由于變形速率為零，因此 pm=p ，此時(shí)VV01122331()3mpppp 112233mpppppp本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 對(duì)于可壓縮流體，在一般情況下，V與p相比往往是小量。因此，斯托克斯又假定0 mpp于是， 0 V0 實(shí)際上對(duì)絕大多數(shù)氣體和液體的真實(shí)流動(dòng)都可以認(rèn)為但是在像激波層這樣的區(qū)域中，由于與p相比可能是同量級(jí)的這時(shí)候就不能再假定因此也就不能認(rèn)為p=pm本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) （4）第二粘性系數(shù) 只可能是正值。 0 在 的條件下，平衡態(tài)壓力總是大

36、于平均壓力的結(jié)論，即ppm2VVVmpp首先對(duì)式上式兩側(cè)乘以 ，則可得 V單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的實(shí)際膨脹功 單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體在平衡態(tài)條件下所作的可逆膨脹功 單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的體積變化的耗散功 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基本方程 一、連續(xù)方程式與應(yīng)力無關(guān)，因此它的形式不變0DDt 二、運(yùn)動(dòng)方程,一般形式的運(yùn)動(dòng)方程如下 V1fDPDt為作用在單位質(zhì)量流體上的表面力 1P本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 利用張量表示法()()ijijjiijii jijii jjiiiiijjppppP

37、eeepeeeeeexxxxx1ijiijDVpfDtx運(yùn)動(dòng)方程可寫成 將廣義牛頓粘性應(yīng)力公式代入上式 112V3iiiiDVpfDtxx 1jijjiVVxxx此式又稱納維-斯托克斯方程，向量形式為 V112fV3iiDpeDtx 1jiijijVVexxx本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)各種特殊情況下的NS方程 （1）對(duì)于 ，的流體，N-S方程可以寫成 constconst 112V3iiiiDVpfDtxx1jijijVVxxx式中右側(cè)第四項(xiàng)中的偏微分部分可寫稱22jjjiiijijjjjijjjjVVVVVVxxxxxxxxxxx 2VViiiiVV

38、xx 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 于是納維-斯托克斯方程可寫成21111V3iiiiijjDVVpfDtxxxx 它的向量形式為2V111fVV3DDt =constV=02）對(duì)于不可壓縮流體，由于211iiiijjDVVpfDtxxx 2V11fVDpDt 向量形式 張量形式 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)三、能量方程 能量方程的一般式為 211()f VV2RDVePqqDt 為表面力在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)單位質(zhì)量流體所作的功。 1VPVii jijjjiiijjiiPeeepeVeep Vxxiiijjijjiie

39、ep Vp Vxx為以熱傳導(dǎo)方式傳給單位質(zhì)量流體的熱量。 1q由富里埃定律知 qiiTTex 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 從分子輸運(yùn)的觀點(diǎn)來看，熱傳導(dǎo)反映了分子的能量輸運(yùn)，粘性力反映了分子的動(dòng)量輸運(yùn)。若假定分子輸運(yùn)通量(即動(dòng)量或能量)與分子的輸運(yùn)強(qiáng)度(即宏觀速度梯度或溫度梯度)成正比，并假定概率分布函數(shù)隨空聞與時(shí)間的變化都很小，則由分子運(yùn)動(dòng)論可以直接得到廣義牛頓粘性應(yīng)力公式和富里埃熱傳導(dǎo)定律。 211()f V2ijjRiiiDVTep VqDtxxx 將以上兩式代入能量方程可得 三種形式的能量方程式：能量，溫度，焓 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘

40、性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)四、關(guān)于粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組的封閉性四、關(guān)于粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組的封閉性 連續(xù)方程式，納維-斯托克斯方程式和能量方程式是研究牛頓流體的粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程組。在這些方程中，獨(dú)立的未知物理量共包含14個(gè)標(biāo)量函數(shù)，但是基本方程組中只包含5個(gè)獨(dú)立方程，因此這組方程并不封閉。 為了使方程組封閉，除必須給出 三個(gè)表示流體物性的確切關(guān)系式外，還必須補(bǔ)充6個(gè)獨(dú)立方程。而這些補(bǔ)充的關(guān)系式和方程組只能由其它的條件、假定、或規(guī)律來提供。 本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 在通常的流體力學(xué)問題中，輻射熱與其它量相比為小量，故可假定 0Rq 在

41、通常的流體力學(xué)問題中，質(zhì)量力為重力，即 f=g如果能再找到兩個(gè)聯(lián)系熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程，則可使方程封閉。但是，到目前為止，尚未找到普遍適用的狀態(tài)方程。我們?cè)谶@里只準(zhǔn)備討論一類簡(jiǎn)單的流體，即它們?cè)跓釋W(xué)上和熱量上是完全的氣體，即它們滿足 pR Tvec T本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 由以上諸式構(gòu)成了重力場(chǎng)中完全氣體在無輻射條件下的封閉方程組 0DDt 112123iiijiijDVpgDtxxx 1ViiDepTDtxx pR Tvec T7個(gè)未知物理量 7個(gè)方程，封閉本構(gòu)方程和本構(gòu)方程和NS方程方程粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)常物性不可壓縮流體基本方程式 constconst0uvwxyz1xuuuupuvwgtxyzx222222uuuxyz1yvvvvpuvwgtxyzy222222vvvxyz1zw