求向量組的極大無關組圖文ppt課件

1、重要結論重要結論 矩陣矩陣A的初等行的初等行(列列)變換不改變矩陣的秩變換不改變矩陣的秩, 且不改變其列且不改變其列(行行)向量間的線性關系向量間的線性關系.(證明略證明略)思路之一思路之一: 定義法定義法.(2) 向量組向量組 中含向量個數(shù)最多的線中含向量個數(shù)最多的線性無關部分組都是向量組的極大無關組性無關部分組都是向量組的極大無關組;12,m (1) 假定假定 是某向量組中的是某向量組中的 r 個向量個向量, 假如假如 線性無關線性無關, 且向量組中任一向且向量組中任一向量都可由量都可由 線性表示線性表示, 那么那么 是向量組的一個極大無關組是向量組的一個極大無關組;12,r 12,r 1

2、2,r 12,r 此方法比較煩瑣此方法比較煩瑣, 較少用較少用求向量組的極大無關組的方法總結求向量組的極大無關組的方法總結思路之二思路之二: 初等行變換法初等行變換法.(1) 將向量組中的各向量作為矩陣將向量組中的各向量作為矩陣A的各列的各列;(2) 對對A施行初等行變換施行初等行變換(注意僅限初等行變換注意僅限初等行變換);(3) 化化A為階梯形為階梯形, 在每一階梯中取一列為代表在每一階梯中取一列為代表, 則所得向量組即為原向量組得一個極大無關組則所得向量組即為原向量組得一個極大無關組.用初等行變換求極大無關組是最基本的方法用初等行變換求極大無關組是最基本的方法.思路之三思路之三: 利用等

3、價性利用等價性.設設 為某向量組的一個極大無關組為某向量組的一個極大無關組, 則任意則任意 r 個線性無關的部分組均為極大無關組個線性無關的部分組均為極大無關組.12,r 例例1 求下列向量組的一個極大無關組求下列向量組的一個極大無關組1(2,1,3, 1), 3(4,2,6, 2), 4(4, 3,1,1). 2(3, 1,2,0), 分析分析: 按定義向量個數(shù)最多的線性無關部按定義向量個數(shù)最多的線性無關部分組都是向量組的極大無關組分組都是向量組的極大無關組.思想思想:(i) 通過觀察找出一個無關組通過觀察找出一個無關組;(ii) 往前面找出的無關組中增加一個向量往前面找出的無關組中增加一個

4、向量, 若得若得到新的向量組仍然線性無關到新的向量組仍然線性無關, 則得到了新的線性則得到了新的線性無關組無關組, 否則否則, 繼續(xù)考慮下一個向量繼續(xù)考慮下一個向量(iii) 重復步驟重復步驟(ii)直到考慮完所有的向量為止直到考慮完所有的向量為止, 這這樣最后得到的線性無關組便是原向量組的一個樣最后得到的線性無關組便是原向量組的一個最大無關組最大無關組.解解:1(2,1,3, 1)0, 1 線性無關線性無關.1)2) 因為因為 的對應分量不成比例的對應分量不成比例, 12, 所以所以 線性無關線性無關. 12, 3) 下面考慮向量組下面考慮向量組123,. 3112220, 123, 線性相

5、關線性相關.4) 下面考慮向量組下面考慮向量組124,. 設存在一組數(shù)設存在一組數(shù) 使得使得124,k k k1122440.kkk 即即124(2,1,3, 1)(3, 1,2,0)(4, 3,1,1)(0,0,0,0).kkk 從而從而124124124142340,30,320,0,kkkkkkkkkkk 解得解得1231,2,1.kkk 即即12420, 也即也即4122. 所以所以 是向量組是向量組 的一個極大無關組的一個極大無關組.12, 1234, 例例2 考慮向量組考慮向量組112,12 52243 210,31 321,01 421,22 求此向量組的一個極大線性無關組求此向

6、量組的一個極大線性無關組, 并把其余并把其余向量分別用該極大無關組線性表示向量分別用該極大無關組線性表示.解解:用這些向量作為矩陣用這些向量作為矩陣A的列向量，并的列向量，并對矩陣對矩陣A作初等行變換作初等行變換11222201121302421123A 112220253202242013211122201321001100088011222013210011000000可見可見, 為一個極大無關組為一個極大無關組.123, 135,; 124,; 145,. 事實上事實上,均為極大無關組均為極大無關組.進一步有進一步有11002010110011000000A100110101100110

7、00000 所以有所以有4123, 51230. 注注: 這里用到初等行變換不改變列向量之這里用到初等行變換不改變列向量之間的線性關系間的線性關系.分析分析: 若能證明向量組若能證明向量組 例例3 試證試證: 假設假設 n 維單位向量維單位向量 可可以由以由 n 維向量維向量 線性表示線性表示, 那么那么 線性無關線性無關.12,n 12,n 12,n 12,n I:12,n II:等價等價, 那么那么 又又 從而從而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因而因而, 線性無關線性無關. 12,n 證明證明: 由于由于 n 維單位向量維單位向量 可以由可以由12,n 故向量組故向量

8、組n 維向量維向量 線性表示線性表示,12,n 又顯然有又顯然有 n 維維向量向量 可以由可以由 n 維單位向量維單位向量12,n 12,n 線性表示線性表示,12,n I:12,n II:等價等價, 那么那么 又又 從而從而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因而因而, 線性無關線性無關. 12,n 例例4 設設 為齊次線性方程組為齊次線性方程組 的基礎解系的基礎解系, 試判別下述向量組是否仍是的基試判別下述向量組是否仍是的基礎解系礎解系.123, 0Ax 11232123323(1)3,3,;112321233123(2),2,23.分析分析: 本題實際上已知本題實際上已知

9、 為為 的解的解空間的極大無關組空間的極大無關組, 要求證明要求證明 是否是否仍是仍是 的解空間的極大無關組的解空間的極大無關組. 由于已知由于已知極大無關組為三個向量極大無關組為三個向量, 所以任意三個線性無所以任意三個線性無關向量均為極大無關組關向量均為極大無關組, 這只要證明這只要證明 與與 是否等價即可是否等價即可. 注意注意: 作為基礎解作為基礎解系系, 應說明應說明 為解向量為解向量. 123,123, 0Ax 0Ax 123, 123,123,解解:只需證明只需證明 線性無關即可線性無關即可, 123,顯然顯然 均為均為 的解的解, 0Ax 123,而這又轉化為證明而這又轉化為證

10、明 與與 等價等價.123, 123,(1)由由112321233233,3,. 知知123123110(,)(,)131 .311 記為記為A又又1101310,311A 從而從而()2,R A 因此秩因此秩123,2. (注注: )()min ( ),( ).R ABR A R B 即即 線性相關線性相關, 故故 不是不是 的的基礎解系基礎解系.0Ax 123,123,(2)由由112321233123,2,23. 知知123123112(,)(,) 111 .123 記為記為B又又11211110,123B 從而從而()3,R B 所以矩陣所以矩陣B可逆可逆, 且且所以所以 線性無關線性無關, 123,1123123112