第五章相似矩陣、二次型

1、西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 向量?jī)?nèi)積向量?jī)?nèi)積 特征值與特征向量特征值與特征向量 相似矩陣相似矩陣 對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型 慣性定理、正定二次型慣性定理、正定二次型西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A基本要求基本要求1. 理解向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、正交、規(guī)范正交基、正交矩陣等概理解向量的內(nèi)積、長(zhǎng)

2、度、正交、規(guī)范正交基、正交矩陣等概念，掌握施密特正交化方法；念，掌握施密特正交化方法；2. 理解矩陣的特征值與特征向量的概念，掌握其性質(zhì)與求法；理解矩陣的特征值與特征向量的概念，掌握其性質(zhì)與求法；3. 理解相似矩陣的概念和性質(zhì)，理解方陣可相似對(duì)角化的充要理解相似矩陣的概念和性質(zhì)，理解方陣可相似對(duì)角化的充要條件；條件；4. 掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，掌握利用正交掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，掌握利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角陣的方法；矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角陣的方法；5. 熟悉二次型及其矩陣表示，知道二次型的秩。掌握用正交變熟悉二次型及其矩陣表示，知道二次型的秩。掌握用正交

3、變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；6. 了解用配方法化二次型為規(guī)范形的方法，知道慣性定理；了解用配方法化二次型為規(guī)范形的方法，知道慣性定理；7. 知道二次型的正定性及其判別方法。知道二次型的正定性及其判別方法。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 施密特正交化過(guò)程施密特正交化過(guò)程2. 求方陣的特征值和特征向量求方陣的特征值和特征向量3. 矩陣的相似矩陣及其對(duì)角化矩陣的相似矩陣及其對(duì)角化4. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形5. 二次型的正定性二次型的正定性西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)

4、課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積1向量?jī)?nèi)積向量?jī)?nèi)積定義（內(nèi)積）定義（內(nèi)積） 設(shè)有設(shè)有 n n 維向量維向量, n21n21yyyyxxxx令令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ，稱(chēng)稱(chēng) x , y 為向量為向量 x 與與 y 的的內(nèi)積內(nèi)積. . 易知易知, , x , y = = xTy 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積內(nèi)積具有下列性質(zhì)：內(nèi)積具有下列性質(zhì)：1. 1. x , y x , y = =

5、 y , x y , x ; ; ;y,xy,x. 23. 3. x + y , z = x , z + y , z ; ;4. 4. x , x 0 , ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) x = 0 時(shí)時(shí) x , x = 0. .其中其中 x，y，z 是為向量，是為向量，.為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積向量的長(zhǎng)具有性質(zhì)：向量的長(zhǎng)具有性質(zhì)：;.xx2 .yxyx3 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 1 1 的向量稱(chēng)為單位向量。的向量稱(chēng)為單位向量。若向量若向量 x x 0 , 0 , .是是單單位位向向量量則則xx1,

6、.0 x1 ;,0 x0 x 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)定義定義( (長(zhǎng)度長(zhǎng)度) ) 非負(fù)實(shí)數(shù)非負(fù)實(shí)數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為 n 維向量維向量 x 的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。2n2221xxxxxx ,西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式x,y2x,xy,y【證明【證明】對(duì)任意的實(shí)數(shù) t 及 n 維向量 x, y， x-ty，x-ty0 x，x- x，yt- y，xt+ y，yt20即即 x，x- 2x，yt+ y，yt20所以，所以， =(2x，y)2-4x，xy，y0即即 x，y2x，xy，

7、y 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積由施瓦茨不等式，知道由施瓦茨不等式，知道當(dāng)當(dāng) xy0 0 時(shí)，時(shí)， , 1.x yxy 定義（夾角）定義（夾角） 當(dāng)當(dāng) x00，y0 y0 時(shí)，時(shí)， , arccosx yxy 稱(chēng)為稱(chēng)為 n 維向量維向量 x 與與 y 的夾角的夾角 。當(dāng)當(dāng) x，y=0 時(shí)，稱(chēng)向量時(shí)，稱(chēng)向量 x 與與 y 正交正交。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積2正交向量組正交向量組定義（正交向量組

8、）定義（正交向量組）一組兩兩正交的非零向量。一組兩兩正交的非零向量。12(1,1,1),(1, 1,1).TTaa 求求一一非非零零向向量量與與向向量量都都正正交交例例1【解【解】 設(shè)所求的向量為設(shè)所求的向量為 xT=(x1，x2，x3)，那么它滿(mǎn)足，那么它滿(mǎn)足12312300 xxxxxx 解得解得1320 xxx 取向量取向量 xT=(1,0,-1) 即滿(mǎn)足要求。即滿(mǎn)足要求。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積定理定理 正交向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。正交向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。定義定義（規(guī)范正交向量組）（規(guī)范正交

9、向量組） 由單位向量構(gòu)成的正交向量組。由單位向量構(gòu)成的正交向量組。向量組向量組 e1，e2，er 為規(guī)范正交向量組為規(guī)范正交向量組 1 , ,1,2,., .0 ,ijije ei jrij 定理定理 設(shè)向量組設(shè)向量組 12,.,r 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則必有線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則必有規(guī)范正交向量組規(guī)范正交向量組12,.,re ee12,.,r 與與等價(jià)。等價(jià)。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積Schmidt 正交化方法：正交化方法：取取11, 1122111, 231333212211, 11111111,rrrrrr

10、rr 單位化：?jiǎn)挝换喝∪?21111122,.,rrreee為規(guī)范正交向量組且與為規(guī)范正交向量組且與12,.,re ee12,.,r 等價(jià)。等價(jià)。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積123123(1, 1,1), ,.Taa aa a a已已知知求求向向量量使使相相互互正正交交例例2【解【解】0 xxx321 取它的一個(gè)基礎(chǔ)解系 101b011b32,231, ,aaa因因向向量量都都與與向向量量正正交交所以，所以， 2 2， 3 3 的分量滿(mǎn)足齊次線(xiàn)性方程組的分量滿(mǎn)足齊次線(xiàn)性方程組西南交通大學(xué)峨眉校

11、區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積再把再把 b2 , , b3 正交化即為所求正交化即為所求 a2 , , a3 。也就是取也就是取, 011ba222223233aaababa, 101 01121. 21121向量組向量組 a1 , a2 , a3 是所求正交向量組。是所求正交向量組。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積定義（規(guī)范正交基）定義（規(guī)范正交基） 設(shè)設(shè) n 維向量維向量 e1，e2，er 是是 向量空間向量空間 V

12、 的一個(gè)基，如果向量組的一個(gè)基，如果向量組 e1，e2，er 為規(guī)范正交向量組在，則稱(chēng)為規(guī)范正交向量組在，則稱(chēng) e1，e2，er 是是 V 的的 一個(gè)規(guī)范正交基。一個(gè)規(guī)范正交基。【例【例】 Rn 的自然基的自然基 e1，e2，en 就是就是 Rn 的一個(gè)規(guī)的一個(gè)規(guī)范正交基。范正交基。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積3正交陣正交陣定義（正交陣）定義（正交陣） 如果如果 n 階矩陣階矩陣 A 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 ATA=E， 那么稱(chēng)那么稱(chēng) A 為正交矩陣。為正交矩陣。例例11221122100100cossin,

13、0,001sincos0100ABC 都是正交陣。都是正交陣。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積定理定理 n 階方陣階方陣 A 為正交陣為正交陣 A 的列（行）向量組是規(guī)范正交向量組的列（行）向量組是規(guī)范正交向量組 A 的列（行）向量組構(gòu)成的列（行）向量組構(gòu)成 Rn 的一個(gè)規(guī)范正交基。的一個(gè)規(guī)范正交基。正交陣的性質(zhì)：正交陣的性質(zhì)：若若 A 是正交陣，則是正交陣，則1. |A|=1或或-1；2. A-1 也是正交陣；也是正交陣；3. 若若 B也也為正交陣，則為正交陣，則 AB 也為正交陣；也為正交陣；4

14、. A* 是正交陣。是正交陣。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積例例3 3 設(shè)設(shè) A、B 均為正交陣，且均為正交陣，且|A|=-|B|，證明，證明 |A+B|=0?！咀C明【證明】22(1)| A| 11 |B|1-1 | A|B|1| |1ABAB 或或，或或又又(2) | | | |() |TTTTTTTABAB BAA BABABBAABAB 所以，所以， |A+B|=0。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)

15、積4正交變換正交變換定義（線(xiàn)性變換）定義（線(xiàn)性變換） 變量變量 x1，x2，xn 與變量與變量 y1，y2，yn 之間的關(guān)系式：之間的關(guān)系式：11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy 叫做從變量叫做從變量 y1，y2，yn 到變量到變量 x1，x2，xn 的的線(xiàn)性變線(xiàn)性變換換。線(xiàn)性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣線(xiàn)性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣 P=(pij)nn ，則，則 x=Py 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量?jī)?nèi)積一、向量?jī)?nèi)積定義（正交變換）定義（正交變換）

16、 若若 P 為正交矩陣，則線(xiàn)性變換為正交矩陣，則線(xiàn)性變換 x=Py 稱(chēng)為稱(chēng)為正交變換正交變換 。正交變換具有下列性質(zhì)：正交變換具有下列性質(zhì)：1. 正交變換保持向量的內(nèi)積不變；正交變換保持向量的內(nèi)積不變；2. 正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變；正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變；3. 正交變換保持向量的夾角不變；正交變換保持向量的夾角不變；4. 正交變換把標(biāo)準(zhǔn)正交基仍變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基。正交變換把標(biāo)準(zhǔn)正交基仍變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量1 概念概念定義（特征值、特征向量）定義（特征值

17、、特征向量） 設(shè)設(shè) A 是是 n 階方陣，階方陣， 如果數(shù)如果數(shù) 和和 n 維非零列向量維非零列向量 p 使得使得 Ap=p ， 那么，數(shù)那么，數(shù) 稱(chēng)為方陣稱(chēng)為方陣 A 的的特征值特征值，非零列向量，非零列向量 p 稱(chēng)為稱(chēng)為 A 的對(duì)于特征值的對(duì)于特征值 的的特征向量特征向量 。( ) |pAE特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式( ) | 0pAE特征方程特征方程結(jié)論結(jié)論： （1）方陣）方陣 A 的特征值是的特征值是 |A-E|=0 的根；的根； （2） 的特征向量的特征向量 p 是是 (A-E)x=0 的非零解。的非零解。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L

18、 G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量2特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法【方法【方法】 求出方陣求出方陣 A 的特征多項(xiàng)式，即計(jì)算的特征多項(xiàng)式，即計(jì)算 P()=|A-E|； 解特征方程解特征方程 P()=0，得特征值，得特征值 1，2，n； 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè) i，解方程，解方程 (A-iE)x=0， 其非零解都是其非零解都是 i 的特征向量。的特征向量。例例4 求下列矩陣的特征值和特征向量。求下列矩陣的特征值和特征向量。110100123(1)430 , (2)252 ,(3)213.102241336AAA 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年

19、制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量【解【解】2123110(1)( )430102(2)(1,1)2pAE 1232020 ,0;111:2,0.1pkkRkpkkRk 1 1：但但但但110430102A 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量100252241A 2123100(2)( )2523 ,1241(3)(1);pAE 123212031 ,0;1221:11,00pkkRkpkk 1 1：但但k1，k2不同時(shí)為零。

20、不同時(shí)為零。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量123213336A 123(3)( )(1)1,0,9(9);pAE 12233111 ,0;010:1,0;119:1 ,0 .2pkkRkpkkRkpkkRk 1 1：但但但但但但西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量例例5 如果矩陣如果矩陣 A 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 A2=A，則稱(chēng)，則稱(chēng) A 是冪等矩陣。是冪等矩陣。 試證：冪等矩陣的特征值

21、只能是試證：冪等矩陣的特征值只能是 0 或或 1 ?！咀C明【證明】, (0) ,A設(shè)設(shè)則則22()AAA 2AA 又又22()0 0 ,01 或或。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量由前面的證明過(guò)程可得結(jié)論：由前面的證明過(guò)程可得結(jié)論：若若 是是 A 的特征值，則的特征值，則 2 是是 A2 的特征值。的特征值。從而從而 k 是是 Ak 的特征值。的特征值。定理定理 設(shè)設(shè) 12,.,m 是是 n 階方陣階方陣 A 的特征值，的特征值，12,.,mppp依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，依次是與之

22、對(duì)應(yīng)的特征向量，如果如果 12,.,m 各不相等，那么各不相等，那么12,.,mppp線(xiàn)性無(wú)關(guān)。線(xiàn)性無(wú)關(guān)?！咀C明】【證明】 （數(shù)學(xué)歸納法）（數(shù)學(xué)歸納法） 略。略。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量3特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì)設(shè)設(shè)12,.,n 是是 n 階方陣階方陣 A 的的 n 個(gè)特征值，則個(gè)特征值，則12112212(1)( )(2)det( )nnnnaaatr AA (3) 若若 是是 A 的一個(gè)特征值，則的一個(gè)特征值，則 () ) 是矩陣多項(xiàng)式是矩陣多項(xiàng)式 (A)(A) 的特征值

23、，其中的特征值，其中0101( ),( ).mmmmaaaAa Ea Aa A （4） 當(dāng)當(dāng) A 可逆時(shí)，可逆時(shí)，1/i 是是 A-1 的特征值，的特征值， -k() 是是 A-k (A) 的特征值。的特征值。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量例例6 6 設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為1，-1，2，求，求 |A*+3A-2E|?！敬鸢浮敬鸢浮?9。例例7 7 設(shè)設(shè)A為正交陣，且為正交陣，且|A|=-1，證明，證明 =-1 是是 A 的特征值。的特征值。【證明【證明】 由特

24、征值方程的定義，由特征值方程的定義， =-1 是是 A 的特征值的特征值 |A+E|=0 為此只需證明為此只需證明 |A+E|=0，事實(shí)上，事實(shí)上 |A+E|=|A+ATA| =|(E+A)TA| =|A+E|A| =-|A+E|所以，所以， |A+E|=0 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量例例8 8 設(shè)設(shè) 00 是是 m 階方陣階方陣 AmnBnm的特征值，的特征值， 證明證明 也是也是 BA 的特征值。的特征值。【證明【證明】（根據(jù)特征值的定義證明）（根據(jù)特征值的定義證明）設(shè)設(shè)

25、 是是 AB 的非零特征值，的非零特征值， 是對(duì)應(yīng)的特征向量，即是對(duì)應(yīng)的特征向量，即AB ()()()()()BA BB ABBB若若 B0，則有特征值的定義知道，則有特征值的定義知道， 為為BA的特征值。的特征值。事實(shí)上，若事實(shí)上，若 BB=0=0，得到，得到 =0=0， 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?為特征向量，所以為特征向量，所以 00，所以，所以， =0=0，這與假設(shè)矛盾。，這與假設(shè)矛盾。所以，所以，B0B0 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩陣三、相似矩陣1概念概念定義（相似矩陣）定義（相似矩陣） 設(shè)設(shè) A , BA

26、, B 都是都是 n n 階矩陣，若有可逆矩陣階矩陣，若有可逆矩陣P P ，使，使P P -1-1AP = B ,AP = B ,則稱(chēng)則稱(chēng)矩陣矩陣 A A 與與 B B 相似相似，可逆矩陣可逆矩陣 P 稱(chēng)為把稱(chēng)為把 A 變成變成 B 的的相相似變換矩陣似變換矩陣。例例 設(shè)設(shè)1211011,120311ABPPAPB 則則 A 與與 B 相似，相似，P為相似變換矩陣。為相似變換矩陣。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩陣三、相似矩陣2性質(zhì)與定理性質(zhì)與定理性質(zhì)性質(zhì)1 相似矩陣有相同的行列式，相同的秩。相似矩陣有相同的行列

27、式，相同的秩。性質(zhì)性質(zhì)2 若若 A 與與 B 相似，則相似，則 A 與與 B 有相同的特征多項(xiàng)式有相同的特征多項(xiàng)式和特征值。和特征值。 若若 n 階方陣階方陣 A 與對(duì)角陣與對(duì)角陣 12(,.,)ndiag 相似，相似，則則 即為即為 A 的的 n 個(gè)特征值。個(gè)特征值。12,.,n 定理定理n 階方陣階方陣 A 與對(duì)角陣與對(duì)角陣 相似相似 A 有有 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。12(,.,)ndiag 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩陣三、相似矩陣【定理證明【定理證明】必要性：必要性：如果有可

28、逆矩陣如果有可逆矩陣 P，使得，使得 PAP= 為對(duì)角陣，即為對(duì)角陣，即 AP=P，=diag(1，2，n) 若記矩陣若記矩陣 P=(p1，p2，pn)，其中，其中 p1，p2，pn 是是 P 的列向量組，就有的列向量組，就有 A (p1，p2，pn )=(p1，p2，pn )即為即為 (Ap1，Ap2，Apn )=(1p1，2 p2， npn )于是有于是有 Api= i pi ，i=1,2,n ，再由再由 P 可逆便知，可逆便知， p1，p2，pn 就是就是 A 的的 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A

29、R A L G E B R A三、相似矩陣三、相似矩陣充分性：充分性：如果如果 n 階方陣階方陣 A 有有 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 p1，p2，pn，于是，應(yīng)有數(shù)于是，應(yīng)有數(shù) 1，2，n，使，使 Api=ipi，i=1,2,n 以向量組以向量組 p1，p2，pn 構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣 P=( p1，p2，pn )，則則 P 為可逆矩陣，且為可逆矩陣，且 AP=P，其中其中 是以是以 構(gòu)成的對(duì)角矩陣，即構(gòu)成的對(duì)角矩陣，即 P-1AP=，即，即 A 與對(duì)角矩陣相似。與對(duì)角矩陣相似。推論推論 如果如果n階方陣階方陣A的特征值互不相等，則的特征值互不相等，則A與對(duì)角陣相似。與對(duì)角陣相

30、似。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩陣三、相似矩陣?yán)? 判斷矩陣判斷矩陣 A 是否與對(duì)角矩陣相似，是否與對(duì)角矩陣相似， 若是，求出相似變換矩陣和對(duì)角陣。若是，求出相似變換矩陣和對(duì)角陣。312202211A【解【解】A 的特征多項(xiàng)式為：的特征多項(xiàng)式為：P()=|A-E|=-(-1)2，因此，因此，A 的特征值為的特征值為 1=0，2=3=1 。T1123TT12320:(0)0 ,p(1,1,1) ;1:()0 ,p( ,1,0) ,p(1,0,1) .AE xAE x 解解得得解解得得所以，所以，A 有有3個(gè)線(xiàn)

31、性無(wú)關(guān)的特征向量，它能與對(duì)角陣相似。個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，它能與對(duì)角陣相似。令令123(,)Pppp ，則，則 P 為所求相似變換矩陣，且為所求相似變換矩陣，且1(0,1,1).PAPdiag 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩陣三、相似矩陣?yán)?010 設(shè)設(shè)2階方陣階方陣 A 的特征值為的特征值為 1，-5，與特征值對(duì)應(yīng)的，與特征值對(duì)應(yīng)的 特征向量分別為特征向量分別為 (1,1)T，(2,-1)T，求，求 A ?！敬鸢浮敬鸢浮?4.21A 例例1111 如果如果21011,(1)0101ABAEBE那那么么于是，

32、于是，A 與與 B 有相同的特征多項(xiàng)式，但有相同的特征多項(xiàng)式，但 A 與與 B 不相似。不相似。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩陣三、相似矩陣?yán)?212 已知已知20020000100,01001AByxyx 與與相相似似 求求 ， 。【解【解】因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?，故因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦担蔄與與B有相同的特征值：有相同的特征值：2，y，1 。 根據(jù)根據(jù)123123( ),det( ),tr AA 得到得到221|22oxyAy 所以，所以， x=0，y=1 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研

33、組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化1實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的結(jié)論實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的結(jié)論定理定理1 1 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)?！咀C明【證明】設(shè)設(shè),App 于于是是()00 ,0TTTTTTTTTp App pp App A pAp pp pp ppp p 而而即即 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化定理定理2

34、 2 設(shè)設(shè) 1，2 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，的兩個(gè)不同的特征值， p1，p2 依次是它們對(duì)應(yīng)的特征向量，則依次是它們對(duì)應(yīng)的特征向量，則 p1 與與 p2 正交。正交?！咀C明【證明】設(shè)設(shè)111222,AppApp于于是是12212121211211212121212()()()00TTTTTTTTp App pp ApAppppp pp pp p 所以，所以， p1 與與 p2 正交。正交。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化定理定理3 3 設(shè)設(shè)A為為n階對(duì)稱(chēng)

35、矩陣，階對(duì)稱(chēng)矩陣， 是是 A 的特征方程的的特征方程的 r 重根，重根， 則則 R(A-E)=n-r，從而，從而 對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 恰有恰有 r 個(gè)個(gè) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。這條性質(zhì)不作證明。這條性質(zhì)不作證明。定理定理4 設(shè)設(shè) A 為為 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣 P ，使，使 P-1AP= ， 其中其中 是以是以 A 的的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。這個(gè)定理不作證明。這個(gè)定理不作證明。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩

36、陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化2實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的對(duì)角化舉例實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的對(duì)角化舉例步驟步驟1. 求出方陣求出方陣 A 的全體特征值；的全體特征值；2. 求出每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，并正交、單位化；求出每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，并正交、單位化；3. 寫(xiě)出正交矩陣寫(xiě)出正交矩陣 P 以及對(duì)角矩陣以及對(duì)角矩陣 。 （詳細(xì)描述參見(jiàn)教材（詳細(xì)描述參見(jiàn)教材 P127。）。）西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化例例1313 設(shè)設(shè) 求一個(gè)正交矩陣求一個(gè)正交矩陣 P ， 使使 P-1AP= 為對(duì)角陣。為對(duì)

37、角陣。111111111A 【解【解】2(3),AE 故，得到特征值故，得到特征值 1233,0 .13:(3)0(1,1,1) ,TAE x解解得得單位化后得到單位化后得到113(1,1,1) ;Tp 23230:(0)0( 1,1,0) ,( 1,0,1) ,TTAE x 解解得得西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化正交化：正交化： 取取22( 1,1,0) ,T 2333222111222,( 1,0,1)( 1,1,0)(,1) ,TTT 單位化，得單位化，得112326(

38、1,1,0) ,( 1, 1,2) .TTpp取取 P=(p1 , p2 , p3)，則，則 P-1AP=PTAP=diag(3,0,0) 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化例例1414 設(shè)設(shè) 21,.12nAA 求求【解【解】 因?yàn)橐驗(yàn)?A 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故 A 可對(duì)角化，即可對(duì)角化，即存在可逆矩陣存在可逆矩陣 P 及對(duì)角陣及對(duì)角陣 ，使得，使得 P-1AP=。于是，于是， A=PP-1，從而，從而 An=PnP-1 。2| (1)(3),1,3 ,(1,3),

39、(1,3 ).nnAEdiagdiag 1 1得得特特征征值值 11211:()0(1,1) ,3:(3)0(1, 1) ,TTAE xAE x解解得得解解得得西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化取取 12(,),P 11211,11P 于于是是112121110111103111313.1313nnnnnnnAPP 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化四、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化例例1515 設(shè)設(shè)

40、3 階對(duì)稱(chēng)矩陣階對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的特征值為的特征值為6，3，3，與特征值，與特征值 6 對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量為 p1=(1,1,1)T，求，求 A 。 【答案【答案】411141.114A 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1基本概念基本概念,aaijji 若取若取ijjijiijjiijxxaxxaxxa2 則則于是（于是（1 1）式可寫(xiě)成）式可寫(xiě)成12,1(,.,)(2)nnijiji jf xxxa x x 定義定義( (二次型二次型) ) n 個(gè)變量個(gè)變量 x1 , x

41、2 , , xn 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù) 稱(chēng)為稱(chēng)為二次型二次型 。22212111222121213131,1(,.,)222(1)nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxx 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)二次型對(duì)二次型 (2) (2) ，記，記, nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaA n21xxxx, , 則則 (1) (1) 又表示為又表示為12(,.,)Tnf xxxx Ax 其中其中A為對(duì)稱(chēng)陣，為對(duì)稱(chēng)陣，叫做叫做二次

42、型二次型 f (x1 , x2 , , xn ) 的矩陣的矩陣，也把也把 f (x1 , x2 , , xn ) 叫做叫做對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣 A A 的二次型的二次型。R(A) 叫做二次型叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) = xTA x 的的秩秩。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形例例1616 用矩陣記號(hào)表示二次型用矩陣記號(hào)表示二次型 22123112233(,)242.f xxxxx xx xx 【解【解】123123110102,(,),022(,).TTAxxxx

43、f xxxx Ax 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型二次型 f (x1 , x2 , , xn )經(jīng)過(guò)可逆的線(xiàn)性變換經(jīng)過(guò)可逆的線(xiàn)性變換11111221221122221122(3)nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 即用即用(3) (3) 代入代入 (1) (1) ，還是變成二次型，那么新二次型的矩陣，還是變成二次型，那么新二次型的矩陣與原二次型的矩陣與原二次型的矩陣 A A 的關(guān)系是什么？的關(guān)系是什么？可逆

44、線(xiàn)性變換可逆線(xiàn)性變換 (3),(3),記作記作x = C y ,x = C y , ).(ijcC 其中矩陣其中矩陣西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形把可逆的線(xiàn)性變換把可逆的線(xiàn)性變換 x = C y 代入二次型代入二次型 f = xTA x , , 得二次型得二次型f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y 就是說(shuō)，若原二次型的矩陣為就是說(shuō)，若原二次型的矩陣為 A ，那么新二次型的矩陣為，那么新二次型的矩陣為 C CT TAC AC , ,其中其中

45、C C 是所用可逆線(xiàn)性變換的矩陣。是所用可逆線(xiàn)性變換的矩陣。 f (x1 , x2 , , xn ) g(y1 , y2 , , yn ) x = C y 可逆線(xiàn)性變換可逆線(xiàn)性變換AT = A C C T TA AC C = B=B = B=BT T西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形主要問(wèn)題：主要問(wèn)題： 求可逆線(xiàn)性變換求可逆線(xiàn)性變換 x=Cy，將二次型將二次型 f=xTAx 化為只含平方項(xiàng)，即化為只含平方項(xiàng)，即 用用 (3) 代入代入 (1) ，使得，使得 222121122(,.,)

46、nnnf xxxk yk yk y稱(chēng)上式為二次型稱(chēng)上式為二次型 (1) 的的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形。換句話(huà)講換句話(huà)講，就是，就是 已知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣已知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A ，求一個(gè)可逆矩陣，求一個(gè)可逆矩陣 C，使得，使得 CTAC= 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。注意：注意： 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形如果存在，則不唯一二次型的標(biāo)準(zhǔn)形如果存在，則不唯一 。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形定理定理5 任意二次型任意二次型 12,1(,.,)(),nnijijijjii jf xxxa x xaa 總有正交變換總有正交變換 x

47、=Py，使，使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 2221122nnfyyy其中其中 12,.,n 是是 f 的矩陣的矩陣 A=(aij) 的特征值。的特征值。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形例例1717 求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換 x=Py，把二次型，把二次型222122335222fxxx xx化為標(biāo)準(zhǔn)形?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形?！窘狻窘狻慷涡偷木仃嚍槎涡偷木仃嚍?00021012A 下面先求下面先求 A 的特征值：的特征值：123(1)(3)(5)1,3,5 .AE西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課

48、部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形下面求出對(duì)應(yīng)的特征向量：下面求出對(duì)應(yīng)的特征向量：111:()0(0, 1,1) ,TAE x解解得得單位化后得到：?jiǎn)挝换蟮玫剑?1122(0,) ;Tp 223:(3)0(0,1,1) ,TAE x解解得得單位化后得到：?jiǎn)挝换蟮玫剑?1222(0,) ;Tp 235:(5)0(1,0,0) ,TAE x解解得得單位化后得到：?jiǎn)挝换蟮玫剑?(1,0,0) ;Tp 所以，所以， 取取 P=(p1 , p2 , p3) ，正交變換為，正交變換為 x=Py ，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：二

49、次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：22212335.fyyy西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形例例1818 已知在直角坐標(biāo)系已知在直角坐標(biāo)系 ox1x2 中，二次曲線(xiàn)的方程為：中，二次曲線(xiàn)的方程為：221122321xx xx試確定其形狀。試確定其形狀?！窘狻窘狻?先將曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，也就是用正交變換把先將曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，也就是用正交變換把二次型二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形。22112232fxx xx二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為323212A A 的特征值為的特征值為 511222,西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研組 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形五、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量為3311122222( ,) ,(, )TTpp設(shè)設(shè) P=(p1,p2)， x=Py ，則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：，則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：22511222fyy在新坐標(biāo)系在新坐標(biāo)系 oy1y2 中該曲線(xiàn)的方程為：中該曲線(xiàn)的方程為：225112221yy這是