數分課件第二章21函數的極限

1、函數與極限1第一節(jié)第一節(jié) 函數極限的概念函數極限的概念第一章第一章 函數與極限函數與極限極限概念的引入極限概念的引入 自變量趨于有限值時函數的極限自變量趨于有限值時函數的極限單側極限單側極限自變量絕對值無限增大時函自變量絕對值無限增大時函數的極限數的極限函數值趨于無窮的情形函數值趨于無窮的情形小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)2一、極限概念的引入一、極限概念的引入 極限概念是從常量到變量極限概念是從常量到變量,從有限到無限從有限到無限, 即從初等數學過渡到高等數學的關鍵即從初等數學過渡到高等數學的關鍵. 極限的思想源遠流長極限的思想源遠流長.莊子莊子(約公元前約公元前355275年年)在在天下篇

2、天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬世不竭萬世不竭”.意思是意思是:一尺長的棍子一尺長的棍子,第一天取其一半第一天取其一半, 第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,這樣永遠也取不完這樣永遠也取不完. 中寫道中寫道:函數極限的概念函數極限的概念3劉徽劉徽(三世紀三世紀)的的“割圓術割圓術”中說中說:意思是意思是:設給定半徑為設給定半徑為1尺的圓尺的圓,從圓內接正從圓內接正6邊邊形開始形開始,每次把邊數加倍每次把邊數加倍,屢次用勾股定理屢次用勾股定理.求出求出正正12邊形、邊形、等等正多邊形的邊長等等正多邊形的邊長,正正24邊形邊形

3、.邊數越多邊數越多, 圓內接正多邊形越與圓接近圓內接正多邊形越與圓接近,最后與最后與圓周重合圓周重合, 則正多邊形周長與圓周長就沒有誤則正多邊形周長與圓周長就沒有誤差了差了. “割之彌細割之彌細,所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,則與圓周合體則與圓周合體,而無所失矣而無所失矣.”函數極限的概念函數極限的概念4正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR函數極限的概念函數極限的概念5二、二、自變量趨于有限值時函數的極限自變量趨于有限值時函數的極限例 已知自由落體的運動方程是212sgt,s其

4、中 是物體的下降距離2,9.8/,tgm s是下落時間為重力加速度求落體在1ts時的即時速度.函數極限的概念函數極限的概念61,1 ,tt時間段或22111224.911gtgvtt發(fā)現1,9.8tv時如何描述無限接近呢?9.84.910.01?vt能否11.490t 可以,只要00,能否101.49t可以,只要0我們就說1,9.8,tv時 t=1時的即時速度為9.8m/s.或者說1,9.8/ .tvm s 時 的極限為17世紀 Leibniz, Newton18,19世紀 Bernoulli, Euler, Gauss如此定義極限.函數極限的概念函數極限的概念到1841-1856年, Wei

5、erstrass給出以下嚴格的定義8 Axf)( 00 xx 0 x 0 x,0鄰域鄰域的去心的去心點點 x.0程度程度接近接近體現體現xx 用數學語言刻劃用數學語言刻劃,0 xx 無限接近無限接近)(xf函數函數于確定值于確定值A.;)(任意小任意小表示表示Axf .0的過程的過程表示表示xx 00 xx ),(0 xU函數極限的概念函數極限的概念xO0 x 9, 0 若若)( , 0 若若1.1.定義定義定義定義2 2設函數設函數有有定義定義., 0 00,xxx使得 : Axf)(,)(0Axfxx有有極極限限時時函函數數則則稱稱 ,)(lim0Axfxx 記作記作).()(0 xxAx

6、f或或, 0 恒有恒有)(xf在點在點x0某去心鄰域內某去心鄰域內函數極限的概念函數極限的概念10(1)的任意性( )f xA衡量了與 的接近程度.,是是任任意意給給定定的的正正數數 它就是確定了它就是確定了;0.可預先假定注注 定義中定義中 標志標志x接近接近x0的程度的程度, 也將越小也將越小. 它與它與一般地說一般地說, 越小越小,有關有關.(2)的存在性0.可預先假定函數極限的概念函數極限的概念11注注(3) 定義中的定義中的00 xx 所以所以,0時時xx f (x)有沒有極限與有沒有極限與f (x)在點在點x0 是否有定義并無關系是否有定義并無關系.,0 xx 表示表示(4) 不等

7、式 Axf)(成立的條件只是針對于滿足00 xx的x而言,對于不滿足此條件的x不考慮.函數極限的概念函數極限的概念(5),若 是任意給定的正數 則22 ,1.3 與 的作用相同,但不同12, 0 AyA必存在必存在x0的去心鄰域的去心鄰域,00 xx對于此鄰域內的對于此鄰域內的 x,對應的函數圖形位于這一帶形區(qū)域內對應的函數圖形位于這一帶形區(qū)域內.02. lim( )xxf xA 的幾何意義作出帶形區(qū)域作出帶形區(qū)域, 0 ,00 xx當當 Axf)(, 0 xyO)(xfy A A0 x 0 x 0 xA函數極限的概念函數極限的概念1303. lim( )xxf xA 的定義0011010li

8、m( )0,0,0,( )xxf xAxxxf xA 滿足但是函數極限的概念函數極限的概念14一般說來一般說來,)(lim0Axfxx 論證論證應從不等式應從不等式 Axf)(出發(fā)出發(fā), 推導出應小于怎樣的正數推導出應小于怎樣的正數,這個正數就是要找的與這個正數就是要找的與 相對應的相對應的 , 這個推導常常是困難的這個推導常常是困難的. 但是但是, 注意到我們不需要找最大的注意到我們不需要找最大的, 所以所以Axf )(適當放大些適當放大些,的式子的式子,變成易于解出變成易于解出0 xx . 找到一個需要的找到一個需要的 找到找到就證明完畢就證明完畢.可把可把函數極限的概念函數極限的概念15

9、思路:000000,( ),?,?0,( ),lim( ).xxf xAxxxxxxxxf xAf xA 因為令解得0取則當0時 有所以函數極限的概念函數極限的概念16例例1).( ,lim0為常數為常數證明證明CCCxx 證證Axf )(CC , , 0 0 , 0 取取,00時時當當 xx任任2221lim44xxx函數極限的概念函數極限的概念所以0lim.xxCC例例2 證明證明: 注意注意:0(1),xx找 時 必須0(2) ( ,)x 00(3)xx可以假設17一般思路:函數極限的概念函數極限的概念 0000000000(0),( )( ),10,2( ),?,3min,?0,4,(

10、 ),5,lim( ).xxf xAxxxxxxxxf xxxf xAf xAAxxf x 因為 令解得0 取 則當0時 有 不妨設保證不妨設,保證所以不等式成立或有意義18例例3證證.lim,0:000 xxxxx 時時當當證明證明函數極限的概念函數極限的概念, 0 00,xxx不妨設0)(xxAxf因為00 xxxx 00 xxx 0000,xxxxxx令解得00min,0 xx取0,0 xx則當時,0 xx有有00lim.xxxx所以19例4 證明:2lim35.xx證明:0110,0,0,23不妨設002:02,2xx取00001353211 322xxx 但是函數極限的概念函數極限的

11、概念200lim1,0,1xxaaa例例5 證明證明:例例6 證明證明:00limsinsinxxxx結論結論:若若( )f x是初等函數是初等函數,0 x是其定義區(qū)間內的點是其定義區(qū)間內的點,則則00lim( )()xxf xf x函數極限的概念函數極限的概念21例如例如, 0, 10,1)(2xxxxxf設設00 xx和和分分,0 xx從左側無限趨近從左側無限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側無限趨近從右側無限趨近. 00 xx記作記作. 1)(lim0 xfx兩種情況分別討論兩種情況分別討論!xyO1xy 112 xy三、三、單側極限單側極限函數極限的概念函數極限的概念22左極限

12、左極限, 0 右極限右極限Axfxxxx )(lim)(000記作記作Axfxxxx )(lim)(000記作記作, 0 .)( Axf恒有恒有00 xx使得使得時時,Axf )0(0或或, 0 , 0 00 xx使得使得時時,.)( Axf恒有恒有Axf )0(0或或.)(0Axf 或或或或.)(0Axf 函數極限的概念函數極限的概念2300 xxx注注Axfxx )(lim0Axfxf )0()0(00均存在均存在和右極限和右極限左極限左極限)0()0(00 xfxf且且0000 xxxxxx性質常用于判斷性質常用于判斷分段函數分段函數當當x趨近于趨近于分段分段點點 時的極限時的極限.函數

13、極限的概念函數極限的概念24試證函數試證函數,1sin1)( xxxxxf)(lim1xfx xx 1lim.,1無極限無極限時時當當 x證證)(lim1xfx xxsinlim1 1 1sin 左、右極限不相等左、右極限不相等,故故.)(,1無極限無極限時時xfx 例例7函數極限的概念函數極限的概念25例例8 設設,0( ),01,3,1xaxf xbxcxxx試確定試確定b,c的值的值,使得使得01lim( ),lim( )xxf xf x存在存在,并求其極限值并求其極限值.函數極限的概念函數極限的概念26四四、自變量絕對值無限增大時的函數極限自變量絕對值無限增大時的函數極限設對充分大的設

14、對充分大的x,函數函數 處處有定義處處有定義.)(xf如果隨著如果隨著x的的無限增大無限增大,)(xf相應的函數相應的函數 就就無限接近無限接近某一常數某一常數 A. 由此可引入函數在由此可引入函數在無窮遠處的極限概念無窮遠處的極限概念.以下分別用記號以下分別用記號 xx x表示表示, x 無限增大的過程無限增大的過程.x 趨向于負無窮趨向于負無窮x 趨向于無窮趨向于無窮 x趨向于正無窮趨向于正無窮,x| x函數極限的概念函數極限的概念27 Axf)(Gx 用數學語言刻劃用數學語言刻劃;)(任意小任意小Axf .的過程的過程 x表示表示表示表示無限增大無限增大.1. 定義定義定義定義1 1.|

15、)(上有定義上有定義在在設設axxf ()X, 0 若若無限接近、無限接近、函數極限的概念函數極限的概念0,XXa|,xX使得當時恒有恒有 |)(|Axf,)(Axfx有極限有極限時函數時函數則稱則稱 記作記作,)(limAxfx 或或).()( xAxf28:)1(情形情形x, 0 :)2(情形情形xAxf )(limAxf )(lim2. 另兩種情形另兩種情形0,X,xX使當時 |)(|Axf恒有恒有, 0 0,X,xX 使當時.)(上有定義上有定義在在設設axxf |)(|Axf恒有恒有.)(上有定義上有定義在在設設axxf xx函數極限的概念函數極限的概念29解解 顯然有顯然有,2ar

16、ctanlim xx,2arctanlim xx可見可見xxarctanlim和和xxarctanlim雖然都存在雖然都存在,但它們不相等但它們不相等.xxarctanlim 故故不存在不存在.例例9 討論極限討論極限 是否存在是否存在?xxarctanlim Axfx )(lim且且Axfx )(limAxfx)(lim函數極限的概念函數極限的概念30如果在如果在x的某種趨向下的某種趨向下,并不無限接近并不無限接近一個常數一個常數, 則稱則稱:)(limxf在在x的該種趨向下的該種趨向下例例 當當|x|無限增大時無限增大時,sin x2x都不無限接近一個常數都不無限接近一個常數,因此因此,s

17、inlimxx 2lim xx 都不存在都不存在.不存在不存在.)(xf函數極限的概念函數極限的概念31 XX,xXxX 當或時A的幾何意義的幾何意義Axfx )(lim. 3|,xX當時有有 |)(|Axf, 0 0,X AxfA)()(xfy 函數函數,為中心線為中心線以直線以直線Ay .2 的帶形區(qū)域內的帶形區(qū)域內寬為寬為 )(xfy 圖形圖形完全落在完全落在:xyO函數極限的概念函數極限的概念32xxysin 例例100sinlim xxx證明證明證證, 0 1,X取|,xX當時. 0sinlim xxx故故,0sin xxsinsin0 xxxx因為,|1x 令令 |1x有有,1|

18、x即即 解不等式解不等式| x解出解出xyO函數極限的概念函數極限的概念33例11驗證下列基本極限(1)01lim0;xxaa當時,1(2)lim1,0,1xxaaa函數極限的概念函數極限的概念34如如,1x函數函數,0時時當當 x,時時當當 x,2x函數函數可以無限增大可以無限增大;xcot3x可以無限增大可以無限增大.五、函數值趨于無窮的情形五、函數值趨于無窮的情形我們考慮在自變量的某一變化過程中,( )f x無限增大的情形.有下面的定義函數極限的概念函數極限的概念35定義定義0 使得當使得當 |00 xx恒有恒有|( )|f xG),0( X或或),|(Xx 或或,)(0時的無窮大時的無窮大當當則稱則稱xxxf )(lim0 xfxx記作記作).)(lim( xfx或或0(),G不論它多么大)( x或或特殊情形特殊情形: )(lim)(0 xfxxx正無窮大正無窮大,負無窮大負無窮大)(lim()(0 xfxxx或或 定義定義函數極限的概念函數極限的概念