第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.1

1、第三章第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動n一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué) n二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 n三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 動能、勢能、機(jī)械能動能、勢能、機(jī)械能n四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 角動量、角動量守恒定律角動量、角動量守恒定律主要內(nèi)容主要內(nèi)容、剛體及剛體定軸轉(zhuǎn)動、剛體及剛體定軸轉(zhuǎn)動F剛體：剛體：在外力的作用下，大小和形狀都不變的物體。在外力的作用下，大小和形狀都不變的物體。-物體內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離不變物體內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離不變s剛體可以看成是由許多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱剛體可以看成是由許多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為

2、剛體的一個(gè)質(zhì)元為剛體的一個(gè)質(zhì)元. .s剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)組，其剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)組，其特殊性特殊性在于在外力在于在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。 s剛體的運(yùn)動形式：剛體的運(yùn)動形式：平動平動、轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。3-1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理和轉(zhuǎn)動定律s特點(diǎn)：特點(diǎn)：各點(diǎn)位移、速度、加速度均相同各點(diǎn)位移、速度、加速度均相同F(xiàn)平動：平動：剛體運(yùn)動時(shí)，其內(nèi)部任何一條直線，在運(yùn)動中方剛體運(yùn)動時(shí)，其內(nèi)部任何一條直線，在運(yùn)動中方向始終不變。向始終不變。 剛體平動剛體平動 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動 F轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：剛體各質(zhì)元都繞同一直線剛體各質(zhì)元都

3、繞同一直線( (轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動軸) )作圓周運(yùn)動作圓周運(yùn)動s定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動: : 轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動vs特點(diǎn)：特點(diǎn)：s（1 1）各質(zhì)元同一時(shí)刻角位移、角速度、角加速度均相同）各質(zhì)元同一時(shí)刻角位移、角速度、角加速度均相同s（2 2）各質(zhì)元離轉(zhuǎn)軸的位）各質(zhì)元離轉(zhuǎn)軸的位置置ri不不同同 F剛體的一般運(yùn)動剛體的一般運(yùn)動 = = 平動平動 + + 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動; dtd大?。悍较颍?右手螺旋定則。 rvoPvrABC角速度矢量角速度矢量運(yùn)動特點(diǎn)：運(yùn)動特點(diǎn)：各質(zhì)元繞軸作圓周運(yùn)動，各質(zhì)元繞軸作圓周運(yùn)動，、相同相同 方向方向: : 一般規(guī)定右手一般規(guī)定右手螺螺旋方向?yàn)檎较驗(yàn)檎齽傮w剛體定軸定軸轉(zhuǎn)

4、動的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正負(fù)來表示轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正負(fù)來表示. .00zz固定軸固定軸轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面質(zhì)元質(zhì)元角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 2iiitiinivrararim角加速度：角加速度： 22dddtdt角位置：角位置： ( ) t角速度：角速度： ddt角速度和角加速度角速度和角加速度irx剛體各質(zhì)元的剛體各質(zhì)元的、相同相同角位移：角位移： 例例1 一轉(zhuǎn)動的輪子由于摩擦力矩的作用，在一轉(zhuǎn)動的輪子由于摩擦力矩的作用，在5s內(nèi)角速度由內(nèi)角速度由15rad/s 勻減速地降到勻減速地降到10rad/s 。求：求：(1)角加速度角加速度 ；(2)在此在此5s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；內(nèi)轉(zhuǎn)

5、過的圈數(shù)；(3)還還需要多少時(shí)間輪子停止轉(zhuǎn)動。需要多少時(shí)間輪子停止轉(zhuǎn)動。解 ：因角加速度為恒量。(1)2/1515100sradt(2) 利用公式200162.52ttrad 5秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)圈。 1014. 325 .6220N(3) 再利用式0010/ , 001010 .1rad sts 問：問：質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)問題中，我們將物體所受的力均作用于同一點(diǎn)，并問題中，我們將物體所受的力均作用于同一點(diǎn)，并僅考慮力的大小和方向所產(chǎn)生的作用；僅考慮力的大小和方向所產(chǎn)生的作用；剛體剛體轉(zhuǎn)動問題，是否轉(zhuǎn)動問題，是否也可以如此處理也可以如此處理？力的作用點(diǎn)的位置對物體的運(yùn)動有影響力的作用點(diǎn)的位置對物體的運(yùn)動有影

6、響？可以反映力及其作用點(diǎn)位置的物理量可以反映力及其作用點(diǎn)位置的物理量力矩力矩圓盤靜止不動圓盤靜止不動圓盤繞圓心轉(zhuǎn)動圓盤繞圓心轉(zhuǎn)動FFFF剛體繞剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), ,力力 作用在剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn)P, ,且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi), , 由點(diǎn)由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn)到力的作用點(diǎn)P的徑矢為的徑矢為 。 力矩力矩 FrzOPFrsinMFr: : 力臂力臂ddM對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸z的力矩的力矩 FMrFtFdFr或大小大小方向：方向：與角位移的正負(fù)規(guī)定一致。與角位移的正負(fù)規(guī)定一致。FnFtk2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律MJiimr 取一質(zhì)量元和ititFma iiiMrFi

7、imriM iMM2i imr2i iJmr比例系數(shù),iimrM問題：已知剛體各質(zhì)元及位矢求力矩和剛體的角加速度 的關(guān)系M 整個(gè)剛體產(chǎn)生 所需的總力矩zOFrMFnFtiitrF2ii iMmr MJ 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律2 2i iiJm r 單位 (kg m2)其中剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量3、m反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性，反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性，J是對剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的是對剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難易程度。量度，其大小反映了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難易程度。說明：說明：2、力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對定軸轉(zhuǎn)動只有兩個(gè)方力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對定軸

8、轉(zhuǎn)動只有兩個(gè)方向，所以用正負(fù)號表示方向。向，所以用正負(fù)號表示方向。1、 與與 地位相當(dāng)，地位相當(dāng)，與與a對應(yīng)，對應(yīng)，力矩是使剛力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。MJF maF 對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：2i iiJmrF 影響轉(zhuǎn)動慣量的三個(gè)要素影響轉(zhuǎn)動慣量的三個(gè)要素: :(1)(1)總質(zhì)量總質(zhì)量 (2)(2)質(zhì)量分布質(zhì)量分布 (3)(3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置2r dm轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 JF 對分立的質(zhì)點(diǎn)組：對分立的質(zhì)點(diǎn)組：2i iiJmr例例24lmm12 22 22 23 31 10 04 44 41 16 6( )(

9、)llJmmml 1對轉(zhuǎn)軸 ：12221( )( )442llJmmm l 對轉(zhuǎn)軸1：2l練習(xí)：求質(zhì)量為m，長為 l 的勻質(zhì)細(xì)棒對下列給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。(1) 轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；(2) 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并與棒垂直。解：Xlxdxo(1) 將細(xì)棒分成無窮多小段，取一小段dx，該小段對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量dIc = x2dmdI各段對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量求和dmxIdIcc2代入上式 dxlmdm 22232221213mlxlmdxlmxIllllc(2)利用平行軸定理代入2 2ldmdIIc.31)21(121222mlmmlI練習(xí)：一細(xì)圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m，求圓環(huán)對通過圓心且垂直環(huán)面的

10、軸的轉(zhuǎn)動慣量。解 :整個(gè)圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量dmrI2 dI = r2dm,rdmmdmr22mrJ = mR2+m1R2思考思考1. . 環(huán)上加一質(zhì)量為環(huán)上加一質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn), , J=? 思考思考2. . 環(huán)上有一個(gè)環(huán)上有一個(gè) x的缺口，的缺口，J=?222mJmRxRR xROOmRm1練習(xí)：求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤繞通過中心并與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，設(shè)質(zhì)量在盤上均勻分布。dI = r2dmRrdr解: 將圓盤分成無窮多個(gè)大大小小的窄圓環(huán)，取其中一個(gè)半徑為 r，寬度為 dr 的圓環(huán)，該圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量dm 而整個(gè)圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量dIIrdrRm22 22drR

11、mrRdrrRm0322221mR 如圖所示為在如圖所示為在Laurence Livermore實(shí)實(shí)驗(yàn)室中的中子實(shí)驗(yàn)室設(shè)驗(yàn)室中的中子實(shí)驗(yàn)室設(shè)備的重屏蔽門。它是世備的重屏蔽門。它是世界上最重的安有軸的門。界上最重的安有軸的門。此門的質(zhì)量是此門的質(zhì)量是44000Kg, ,對于通過其大軸的豎直對于通過其大軸的豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量是軸的轉(zhuǎn)動慣量是8.7104kg.m2，前面寬，前面寬是是2.4m。忽略摩擦，在。忽略摩擦，在它的外沿上并垂直于門它的外沿上并垂直于門加多大的恒定力能使它加多大的恒定力能使它在在30s從靜止轉(zhuǎn)過從靜止轉(zhuǎn)過9090度角。度角。例例3212tMFdJ22126 JFNd t一個(gè)飛輪的

12、質(zhì)量一個(gè)飛輪的質(zhì)量 ，半徑，半徑 ，正在以轉(zhuǎn)速，正在以轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)動。現(xiàn)在要制動飛輪，要求在轉(zhuǎn)動。現(xiàn)在要制動飛輪，要求在 內(nèi)內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力 為多為多大？假定閘瓦與飛輪之間的滑動摩擦系數(shù)為大？假定閘瓦與飛輪之間的滑動摩擦系數(shù)為 ，而，而飛輪的質(zhì)量可以看作全部均勻分布在輪的外周上。飛輪的質(zhì)量可以看作全部均勻分布在輪的外周上。60kgm 0.25mR 01000r/min5.0st N0.8k練練習(xí)習(xí)解解 勻減速轉(zhuǎn)動，角加速度勻減速轉(zhuǎn)動，角加速度 為恒量，方向與角速度方向相反為恒量，方向與角速度方向相反0t20 104.720.

13、9 rad/s5 01000 2104.7 rad/s60其中其中0;5.0st 以角速度方向?yàn)檎越撬俣确较驗(yàn)檎齠0FmN作用于飛輪的對固定轉(zhuǎn)軸的外力矩是作用于飛輪的對固定轉(zhuǎn)軸的外力矩是摩擦力矩摩擦力矩根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得MJkNR 因?yàn)轱w輪的質(zhì)量均勻分布在輪的外因?yàn)轱w輪的質(zhì)量均勻分布在輪的外周上，所以飛輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量周上，所以飛輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量可視為圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量可視為圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量2JmRkJNR 2kkmRmRR 60 0.2520.93920.8N kMfRNR f0FmNmgmRO如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的勻

14、質(zhì)的勻質(zhì)圓盤形滑輪，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動圓盤形滑輪，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動. . 圓盤上繞有質(zhì)量可不計(jì)繩子，繩子一端固圓盤上繞有質(zhì)量可不計(jì)繩子，繩子一端固定在滑輪上，另一端懸掛一質(zhì)量為定在滑輪上，另一端懸掛一質(zhì)量為m 的物的物體，求物體下落時(shí)的加速度。體，求物體下落時(shí)的加速度。例例4解解ya1T2T滑輪受到的外力矩為繩的拉力矩，對于軸滑輪受到的外力矩為繩的拉力矩，對于軸O1MT R由剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律得由剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律得MJ212m R1T R對物體應(yīng)用牛頓第二定律得對物體應(yīng)用牛頓第二定律得2mgTma12,aR TTT2magmm練習(xí)：質(zhì)量為m1， m2 （ m1 m2）的兩物體，

15、通過一定滑輪用繩相連，已知繩與滑輪間無相對滑動。定滑輪質(zhì)量為M，半徑為R、r，忽略轉(zhuǎn)軸的摩擦。求：(1) m1 、m2的加速度；(2)滑輪的角加速度 及繩中的張力。RoMm2aT2m2gm1T1m1gT1rT21a2a受力分析如圖所示受力分析如圖所示. . 隔離法隔離法上下作平動的兩物體：上下作平動的兩物體：可以視為質(zhì)可以視為質(zhì)點(diǎn)，向下為正，由牛二定律得點(diǎn)，向下為正，由牛二定律得 1111 122222()mm gj T jm a jmm gjT jm aj：-：滑輪定軸轉(zhuǎn)動：滑輪定軸轉(zhuǎn)動：以逆時(shí)針為以逆時(shí)針為z z軸，軸，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律得由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律得 12()T Rk

16、T rkJ k解解11taaR運(yùn)動和受力關(guān)聯(lián)：運(yùn)動和受力關(guān)聯(lián)：繩與滑輪間繩與滑輪間無相對滑動無相對滑動，所以滑輪邊，所以滑輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速度相等，即緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速度相等，即 RoMm2aT2m2gm1T1m1gT1rT2y2a1a22taar解 ：11112222m gTm am gTm a 1 12 2T RT rJ 1 1aR 2 2ar RoMm2aT2m2gm1T1m1gT1rT2y2a1a解得2 21 12 22 22 21 11 11 12 22 2()()()m Rm rgIm Rm rTm grTmgR 若若m1=m2，滑輪角加速度方向朝哪

17、邊？，滑輪角加速度方向朝哪邊？RoMm2aT2m2gm1T1m1gT1rT2y2a1a應(yīng)用剛體轉(zhuǎn)動定律解剛體定軸轉(zhuǎn)動問題的方法和步驟：應(yīng)用剛體轉(zhuǎn)動定律解剛體定軸轉(zhuǎn)動問題的方法和步驟：1 1、選取對象選取對象：采用隔離法：采用隔離法3 3、運(yùn)動分析運(yùn)動分析：建立坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)平動和剛體轉(zhuǎn)動：建立坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)平動和剛體轉(zhuǎn)動2 2、受力分析：受力分析：畫出受力圖，確定轉(zhuǎn)軸和畫出受力圖，確定轉(zhuǎn)軸和對軸力矩對軸力矩。5 5、動力學(xué)方程動力學(xué)方程：牛頓第二定律（對質(zhì)點(diǎn)）和轉(zhuǎn)動定律：牛頓第二定律（對質(zhì)點(diǎn)）和轉(zhuǎn)動定律（對剛體）。方程采取分量式并包括必要的輔助方程。（對剛體）。方程采取分量式并包括必要的輔助方程。

18、4 4、轉(zhuǎn)動慣量計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量計(jì)算三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能、勢能、機(jī)械能三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能、勢能、機(jī)械能1、剛體的動能（定軸轉(zhuǎn)動）、剛體的動能（定軸轉(zhuǎn)動）動能：動能：F在剛體上取一質(zhì)元在剛體上取一質(zhì)元 ：ip212kiiiEmv2212i imrF對剛體上所有質(zhì)元的動能求和：對剛體上所有質(zhì)元的動能求和：2212ki iEmr212J則剛體的轉(zhuǎn)動動能則剛體的轉(zhuǎn)動動能212kEJirimiv2、剛體的動能定理（動能定理）、剛體的動能定理（動能定理）質(zhì)點(diǎn)組動能定理質(zhì)點(diǎn)組動能定理剛體特性剛體特性剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理int21extkkWWEE質(zhì)點(diǎn)間無相對位移質(zhì)點(diǎn)間無相對位移in

19、t0W21extkkWEEF剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：22211122WJJ剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力合外力/矩矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量 功的力矩表示功的力矩表示zPrdrFddWF drsinFdrMd力矩的功力矩的功F力矩力矩M21dWMoyxrdPdrFdrdsrdsindWFrd F力力 對質(zhì)元對質(zhì)元P所做的元功：所做的元功：FsinFrhhihcxOmCm一一個(gè)質(zhì)元：個(gè)質(zhì)元：iighmiiiPhgmEciiimghhmg)(整個(gè)剛體：整個(gè)剛體：3、剛體的勢能、剛體的勢能

20、u：剛體的重力勢能等于其質(zhì)心的重力勢能。剛體的重力勢能等于其質(zhì)心的重力勢能。ciiihmhmu：質(zhì)量均勻分布質(zhì)量均勻分布的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。4、剛體的機(jī)械能及其守恒定律、剛體的機(jī)械能及其守恒定律含定軸轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng)含定軸轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng) 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律222222總總111111222222()cMEJmmghkx 剛體的機(jī)械能：剛體的機(jī)械能：2 21 12 2McEJmgh 質(zhì)點(diǎn)和剛體的機(jī)械能：質(zhì)點(diǎn)和剛體的機(jī)械能：外外非非保保若若 0 0 或或只只有有保保守守力力作作功功()WW系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即 對對 質(zhì)點(diǎn)和

21、剛體組成的系統(tǒng)：質(zhì)點(diǎn)和剛體組成的系統(tǒng)：總總恒恒定定ME 例例5一勻均細(xì)桿長l，質(zhì)量m，垂直放置，o點(diǎn)著地。桿繞o點(diǎn)自由倒下，求桿的另一端點(diǎn)a著地時(shí)的角速度、線速度v、法向加速度an及切向加速度 a 。acmgclmao解 桿在倒下過程中機(jī)械能守恒22)3(212mlllmggllv 3桿著地時(shí)刻，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 M=I)3(22mlllmglg23acmgclmaolg3glan32mg一根長為一根長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻的均勻細(xì)棒細(xì)棒, , 棒的一端可繞通過棒的一端可繞通過O點(diǎn)點(diǎn)并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動, , 棒的棒的另一端有質(zhì)量為另一端有質(zhì)量為m 的小球。的小球。開始時(shí)

22、，棒靜止地處于水平位開始時(shí)，棒靜止地處于水平位置置A。當(dāng)棒轉(zhuǎn)過。當(dāng)棒轉(zhuǎn)過 角到達(dá)位角到達(dá)位置置B，棒的角速度為多少，棒的角速度為多少? ?取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng), , 在棒轉(zhuǎn)動過程中機(jī)械能守在棒轉(zhuǎn)動過程中機(jī)械能守恒恒, , 設(shè)設(shè)A位置為重力勢能零點(diǎn)位置為重力勢能零點(diǎn). .oAB練練習(xí)：習(xí)：解解: :,m lmmg1sin2lkApAkBpBEEEE0kAPAEEkApAkBpBEEEE212kBEJ12JJJ2221433Jmlmlml(sinsin )2pBlEmgmgl 3sin2mgl 22230sin32mlmgl1 23sin()2glmgoAB,m lmm

23、g1sin2l例例6質(zhì)量m1，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均質(zhì)圓盤）上繞一輕繩，繩的端固定在滑輪上，另一端掛一質(zhì)量為m2的物體而下垂，如圖所示。忽略軸處摩擦，求物體m2由靜止下落h高度時(shí)的速度。 )21(2121221222Rmvmghm21222 mmghmv得hROm2m1解 根據(jù)機(jī)械能守恒定律Rv 2、關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，下列說法中正確的是、關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，下列說法中正確的是（A）只取決于剛體的質(zhì)量，與質(zhì)量的空間分布和軸的位）只取決于剛體的質(zhì)量，與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān)。置無關(guān)。 （B）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置

24、無關(guān)。無關(guān)。 （C）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置。）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置。（D）只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間）只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān)。分布無關(guān)。 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的描述運(yùn)動狀態(tài)的描述pmv剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)的描述定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動狀態(tài)的描述LJ0,0pjpip0,0p3-2 定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理和動量矩守恒定律定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理和動量矩守恒定律( (動量矩動量矩/ /角動量角動量) )rmpmvO1 1 質(zhì)點(diǎn)的動量矩質(zhì)點(diǎn)的動量矩Lrprmv大小大小sinLrmv一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩和剛體的動量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩和剛

25、體的動量矩ozmvr90方向：符合右手法則方向：符合右手法則. .（圓周運(yùn)動）（圓周運(yùn)動）2LrmvmrzmvrL2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理2 i iiLmr剛剛體體轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動的的動動量量矩矩imivzOirLJ221121tLtLMdtdLLLL 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理2121ttMdtLJJ 2 iiiiii imLrmvmr質(zhì)質(zhì)元元圓圓周周運(yùn)運(yùn)動動動動量量矩矩2i iimr()d JdLdtdtMJdJdt2211ttttFdtpMdtL與與 的的關(guān)關(guān)系系與與 的的關(guān)關(guān)系系三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的

26、動量矩守恒定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律L 常量則則若若0M 討論討論對于繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，因?qū)τ诶@固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，因J 保持不變，當(dāng)對軸的保持不變，當(dāng)對軸的合合外力矩外力矩為零時(shí)，其角速度恒定。為零時(shí)，其角速度恒定。0 物體系物體系內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的動量矩內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的動量矩. . 物體系的動量矩守恒物體系的動量矩守恒21ttMdtL 解解: :兩個(gè)轉(zhuǎn)動慣量分別為兩個(gè)轉(zhuǎn)動慣量分別為 J1 和和 J2 的圓盤的圓盤A和和B。A是機(jī)器上的是機(jī)器上的飛輪飛輪, , B是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓盤。開始時(shí)是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓盤。開始時(shí), ,他們他們分別以角速度分別以角速度1

27、和和2 繞水平軸轉(zhuǎn)動。然后繞水平軸轉(zhuǎn)動。然后, ,兩圓盤在沿水兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下嚙合為一體平軸方向力的作用下嚙合為一體, , 其角速度為其角速度為。齒輪嚙合后兩圓盤的角速度。齒輪嚙合后兩圓盤的角速度。求求例例112212()JJJJ112212()JJJJ以兩圓盤為系統(tǒng)，在銜接過程中以兩圓盤為系統(tǒng)，在銜接過程中有受外力：重力、軸對圓盤支持有受外力：重力、軸對圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內(nèi)力，因此系統(tǒng)動量矩守恒內(nèi)力，因此系統(tǒng)動量矩守恒 對轉(zhuǎn)動慣量可變的物體，對轉(zhuǎn)動慣量可變的物體，所受合外力矩為

28、零時(shí)動量矩所受合外力矩為零時(shí)動量矩也守恒。也守恒。 J t常量 J t J t 動量矩守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律動量矩守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律. . 花樣滑冰運(yùn)動員通過改變身體姿花樣滑冰運(yùn)動員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動慣量來改變轉(zhuǎn)速態(tài)即改變轉(zhuǎn)動慣量來改變轉(zhuǎn)速.51 跳水運(yùn)動員的跳水運(yùn)動員的“曲身曲身展體展體”動作，動作，當(dāng)運(yùn)動員跳水時(shí)曲身，轉(zhuǎn)動慣量較小，轉(zhuǎn)當(dāng)運(yùn)動員跳水時(shí)曲身，轉(zhuǎn)動慣量較小，轉(zhuǎn)速較快；在入水前展體，轉(zhuǎn)動慣量增大，速較快；在入水前展體，轉(zhuǎn)動慣量增大，轉(zhuǎn)速降低，垂直入水。轉(zhuǎn)速降低，垂直入水。飛輪飛輪12航天器調(diào)姿航天器調(diào)姿53o1o 2例：例：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣

29、量慣量J0= =60kg m2, ,伸臂伸臂時(shí)臂長為時(shí)臂長為 1m，收臂時(shí)，收臂時(shí)臂長為臂長為 0.2m。人站在。人站在摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動的圓盤中心上，每動的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量只手抓有質(zhì)量 m= =5kg的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動角速度角速度 1 = = 3 s- -1, ,求收求收臂時(shí)的角速度臂時(shí)的角速度 2 ，機(jī)，機(jī)械能是否守恒？械能是否守恒？54o1o 2解：解：整個(gè)過程合外力整個(gè)過程合外力矩為矩為0，角動量守恒，角動量守恒，2211JJ21012m lJJ21526022022m lJJ22 .052602mkg702mkg4 .60552211J

30、J2112JJ 由轉(zhuǎn)動慣量的減小，角速度增加。由轉(zhuǎn)動慣量的減小，角速度增加。 在此過程中機(jī)械能不守恒，因?yàn)槿耸赵诖诉^程中機(jī)械能不守恒，因?yàn)槿耸毡蹠r(shí)做功。臂時(shí)做功。15 . 34 .60703s哈雷慧星繞太陽運(yùn)行時(shí)的軌道是一個(gè)橢圓，如圖所示，哈雷慧星繞太陽運(yùn)行時(shí)的軌道是一個(gè)橢圓，如圖所示，它距離太陽最近的距離是它距離太陽最近的距離是 , , 速率速率 ；它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率；它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率 ，這時(shí)它離太陽的距離，這時(shí)它離太陽的距離 遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日v近日近日v近日近日r遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日r108.75 10 mr近日4-15.46 10 m sv近日例例2-19.08 10 m sv遠(yuǎn)日r遠(yuǎn)日？彗星受太陽引

31、力的作用，而引力通過了太陽，所以對太彗星受太陽引力的作用，而引力通過了太陽，所以對太陽的力矩為零，故彗星在運(yùn)行的過程中動量矩守恒陽的力矩為零，故彗星在運(yùn)行的過程中動量矩守恒. . 于于是有是有 rvrv遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日近日近日， rvrv近日 近日遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日125.26 10 mr遠(yuǎn)日代入數(shù)據(jù)可得代入數(shù)據(jù)可得解解: :rvrv遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日近日近日n一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué) n二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 n三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 動能、勢能、機(jī)械能動能、勢能、機(jī)械能n四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的 角動量、角動量守恒定律角動量、角動量守

32、恒定律主要內(nèi)容主要內(nèi)容瞬時(shí)效果瞬時(shí)效果質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動速度速度加速度加速度角速度角速度角加速度角加速度質(zhì)量質(zhì)量 m轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2Jr dm力矩力矩M力力Fdvadtddtddtdrvdt運(yùn)動定律運(yùn)動定律轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律MJFma1、幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果、幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個(gè)力的矢量和為零，則此剛體（這幾個(gè)力的矢量和為零，則此剛體（ ）（A）必然不會轉(zhuǎn)動）必然不會轉(zhuǎn)動（B）轉(zhuǎn)速必然不變）轉(zhuǎn)速必然不變（C）轉(zhuǎn)速必然改變）轉(zhuǎn)速必然改變（D）轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變）轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變2、關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量

33、，下列說法中正確的是、關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，下列說法中正確的是（A）只取決于剛體的質(zhì)量，與質(zhì)量的空間分布和軸的位）只取決于剛體的質(zhì)量，與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān)。置無關(guān)。 （B）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置無關(guān)。無關(guān)。 （C）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置。）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置。（D）只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間）只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān)。分布無關(guān)。n3.一勻質(zhì)圓環(huán)和勻質(zhì)圓盤，它們的半徑、質(zhì)量都相同，都繞通過各自的圓心垂直平面的固定軸勻速轉(zhuǎn)動，角速

34、度均為w0，若某時(shí)刻它們同時(shí)受到相同的阻力矩作用，則（ ）nA、圓環(huán)先靜止 B、圓盤先靜止nC、同時(shí)靜止 D、無法確定MRm1、質(zhì)量為質(zhì)量為M=16kg的實(shí)心滑輪，半徑為的實(shí)心滑輪，半徑為R。一根細(xì)繩。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m=8kg的物體的物體,求求（1）由靜止開始）由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離秒鐘后，物體下降的距離;（2）繩子的張力。（）繩子的張力。（ g =10 m.s-2 ）28 105228 8mgam smM分116 54032N 分;RaMaT2122115 12.5322hatm 分21(2)2JMR分;JTR 對空間積累的效果對空間

35、積累的效果質(zhì)點(diǎn)的平動質(zhì)點(diǎn)的平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能動能轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能2/2kEmv2/2kEJ動能定理動能定理動能定理動能定理2201122WJJ2201122Wmvmv力的功力的功力矩的功力矩的功0WMdbaWF dr機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒只有保守力作功時(shí)只有保守力作功時(shí)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒只有保守力作功時(shí)只有保守力作功時(shí)kpEE恒恒量量重力勢能重力勢能pEmgh重力勢能重力勢能pCEmghkpEE恒恒量量a 如圖所示，一個(gè)光滑的質(zhì)量均勻分布的定如圖所示，一個(gè)光滑的質(zhì)量均勻分布的定滑輪，其質(zhì)量為滑輪，其質(zhì)量為M,M,半徑為半徑為 R R。通過質(zhì)量可忽略。通過質(zhì)量可忽略的繩子，兩端

36、分別懸掛質(zhì)量為的繩子，兩端分別懸掛質(zhì)量為m m1 1和和m m2 2的物體，的物體，則下列說法正確的是則下列說法正確的是 ( )( )(A) (A) 定滑輪和兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能定滑輪和兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒守恒 (B) (B) 兩個(gè)物體的勢能改變量之和等于它們兩個(gè)物體的勢能改變量之和等于它們的動能改變量之和的動能改變量之和 (C) (C) 兩個(gè)物體的加速度大小不相同兩個(gè)物體的加速度大小不相同 (D) (D) 定滑輪的轉(zhuǎn)動動能改變量等于兩個(gè)物定滑輪的轉(zhuǎn)動動能改變量等于兩個(gè)物體勢能的改變量體勢能的改變量 66例例、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞

37、有細(xì)繩，滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvJmgh 672m例：如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動例：如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量慣量J=0.01kgJ=0.01kg，半徑，半徑R=7cmR=7cm物體質(zhì)量物體質(zhì)量m=5kgm=5kg，由，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)一繩與倔強(qiáng)系數(shù)K=200N/mK=200N/

38、m的彈簧相連，若繩與滑輪的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，忽略軸上間無相對滑動，忽略軸上摩擦，求（摩擦，求（1 1）當(dāng)繩拉直，）當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時(shí)，使物體由彈簧無伸長時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；靜止而下落的最大距離；（2 2）物體速度最大值的）物體速度最大值的位置及最大速度。位置及最大速度。mJRK68，代入數(shù)據(jù)得，得時(shí)當(dāng)達(dá)點(diǎn)。有以初位置為重力勢能零，機(jī)械能守恒，設(shè)下落為性力作功，物體下落時(shí)僅重力及彈解mxkmgxvxJmvmgxkxx49. 02008 . 952,20, 0) 1 (0212121) 1 (maxmaxmax22269。求得最大速度代入及相應(yīng)數(shù)據(jù)及最大，以時(shí)，即，得以上式右邊有，時(shí)，上式左邊最大，所當(dāng)有由1maxmax223 . 1)2(245. 0245. 02008 . 95021212121) 1 ()(smvRvkmgxvmxmkmgxdxxkxmgdvvxkxmgJmv對時(shí)間積累的效果對時(shí)間