第23講主應(yīng)力及主切應(yīng)力

1、金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第二十三講第二十三講Lesson Twenty-Three張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學(xué)金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-4-272第十章 應(yīng)力狀態(tài)分析主要內(nèi)容Main Contento 應(yīng)力狀態(tài)基本概念應(yīng)力狀態(tài)基本概念 o 斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析斜面上

2、任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析 o 求和約定和應(yīng)力張量求和約定和應(yīng)力張量 o 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力 o 球應(yīng)力及偏差應(yīng)力球應(yīng)力及偏差應(yīng)力 2022-4-27310.4 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力o10.4.1 主應(yīng)力的概念主應(yīng)力的概念o 通過坐標(biāo)變換可以找到只有正應(yīng)力的通過坐標(biāo)變換可以找到只有正應(yīng)力的坐標(biāo)面，此坐標(biāo)軸稱為主軸，此應(yīng)力坐標(biāo)面，此坐標(biāo)軸稱為主軸，此應(yīng)力稱為稱為主應(yīng)力主應(yīng)力，該坐標(biāo)面為，該坐標(biāo)面為主平面主平面。 2022-4-2742022-4-2752022-4-276主應(yīng)力的求解主應(yīng)力的求解o 如果取微分面如果取微分面ABC為主為主微分面，即該微分面上微分面，即該微分面上只

3、有主應(yīng)力而沒有切應(yīng)只有主應(yīng)力而沒有切應(yīng)力。這時(shí)，作用在此面力。這時(shí)，作用在此面上的全應(yīng)力就是主應(yīng)力。上的全應(yīng)力就是主應(yīng)力。用用 表示主應(yīng)力，則它表示主應(yīng)力，則它在各坐標(biāo)軸上的投影為在各坐標(biāo)軸上的投影為 nSmSlSnznynx2022-4-277o 代入到斜面應(yīng)力方程中有代入到斜面應(yīng)力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2022-4-278o 由上面四個(gè)方程可求出主應(yīng)力由上面四個(gè)方程可求出主應(yīng)力 及其方向余及其方向余弦弦l、m、n。顯然，前三

4、個(gè)方程構(gòu)成一個(gè)齊。顯然，前三個(gè)方程構(gòu)成一個(gè)齊次方程組，顯然不能有次方程組，顯然不能有l(wèi) = m = n = 0這樣的這樣的解。如要方程組有其他解時(shí)，必須取該方程解。如要方程組有其他解時(shí)，必須取該方程組的系數(shù)行列式為零，即組的系數(shù)行列式為零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2022-4-279o 展開此行列式，得展開此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI則有則有032213III2022-4-2710o 三次方程式稱為三

5、次方程式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程。此方程。此方程的三個(gè)根就是三個(gè)主應(yīng)力，而這三個(gè)主應(yīng)力的三個(gè)根就是三個(gè)主應(yīng)力，而這三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根。由因式分解可知均為實(shí)根。由因式分解可知 0321 032113322123213由代數(shù)學(xué)可知，具有相同的根的方程是全等方由代數(shù)學(xué)可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此該式與應(yīng)力狀態(tài)特征方程全等。有程，因此該式與應(yīng)力狀態(tài)特征方程全等。有展開后得展開后得2022-4-2711應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxyzzxyyzxzxyzxyzyxI321 對(duì)同一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，三個(gè)主應(yīng)力的數(shù)值

6、是一定的，而對(duì)同一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，三個(gè)主應(yīng)力的數(shù)值是一定的，而與過該點(diǎn)的坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，不管應(yīng)力分量怎樣隨坐與過該點(diǎn)的坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，不管應(yīng)力分量怎樣隨坐標(biāo)系改變。那么標(biāo)系改變。那么I1、I2、I3 是不隨坐標(biāo)系改變的，分別稱是不隨坐標(biāo)系改變的，分別稱為為一次、二次和三次應(yīng)力常量一次、二次和三次應(yīng)力常量，或稱為，或稱為應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量。2022-4-2712主應(yīng)力的特點(diǎn)主應(yīng)力的特點(diǎn)o 三個(gè)主應(yīng)力所作用的主微分面是相互垂直的三個(gè)主應(yīng)力所作用的主微分面是相互垂直的o 將主應(yīng)力將主應(yīng)力 1代入（代入（*）式中的任何兩個(gè)方程，）式中的任何兩個(gè)方程，并與（并與（*）式聯(lián)立，可以求解出主應(yīng)力）

7、式聯(lián)立，可以求解出主應(yīng)力 1的的方向余弦方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主，同理，可以求解出主應(yīng)力應(yīng)力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l(fā)3、m3、n3 。o 每?jī)蓚€(gè)主應(yīng)力的方向余弦之間滿足以下關(guān)系每?jī)蓚€(gè)主應(yīng)力的方向余弦之間滿足以下關(guān)系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll2022-4-2713o 三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根 o 主應(yīng)力具有極值性質(zhì)主應(yīng)力具有極值性質(zhì)o 三個(gè)主應(yīng)力中的最大值賦給三個(gè)主應(yīng)力中的最大值賦給 1，最小值賦給，最小值賦給 3，并按大小順序排列，并按大小順序排列 1 2 3，則過該，則過該點(diǎn)任

8、意微分斜面上的正應(yīng)力中，點(diǎn)任意微分斜面上的正應(yīng)力中， 1為最大值，為最大值， 3為最小值。為最小值。 2022-4-2714主坐標(biāo)系主坐標(biāo)系o 因?yàn)槿齻€(gè)主應(yīng)力兩兩相互垂直，若取坐標(biāo)軸因?yàn)槿齻€(gè)主應(yīng)力兩兩相互垂直，若取坐標(biāo)軸與主應(yīng)力方向一致，則構(gòu)成與主應(yīng)力方向一致，則構(gòu)成主坐標(biāo)系主坐標(biāo)系，其坐，其坐標(biāo)軸稱為標(biāo)軸稱為主軸主軸。 2 12(y)3(z)1(x) 32022-4-2715o 在主坐標(biāo)系下斜面上的應(yīng)力為在主坐標(biāo)系下斜面上的應(yīng)力為nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或或232221nmln正應(yīng)力正應(yīng)力321000000T

9、為主應(yīng)力張量為主應(yīng)力張量2022-4-271610.4.2 主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力 o 主切應(yīng)力主切應(yīng)力o 任意微分斜面上的切應(yīng)力也有極大值和最大值。任意微分斜面上的切應(yīng)力也有極大值和最大值。極值切應(yīng)力又稱為主切應(yīng)力。極值切應(yīng)力又稱為主切應(yīng)力。 o 在主坐標(biāo)系下，任意微分斜面上的切應(yīng)力在主坐標(biāo)系下，任意微分斜面上的切應(yīng)力o 上式中消去上式中消去n，得到，得到 n與與l、m的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系 2221322232222212lnnmmln 2 32322312322322223212 mlmln 2022-4-2717o 當(dāng)微分面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，切應(yīng)力隨之變化。我們所求當(dāng)微分面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

10、，切應(yīng)力隨之變化。我們所求的是，當(dāng)?shù)氖?，?dāng)l、m、n為何值時(shí)，微分面上的切應(yīng)為何值時(shí)，微分面上的切應(yīng)力取極值。由二元函數(shù)力取極值。由二元函數(shù)f(x,y)求極值的方法可求求極值的方法可求得微分面上的切應(yīng)力的極值。得微分面上的切應(yīng)力的極值。 0 2 0 2 32323223123223132322312321mmlmmflmlllf2 32322312322322223212 ),(mlmlmlfn2022-4-2718對(duì)此方程組求解分不同情況對(duì)此方程組求解分不同情況o 當(dāng)當(dāng) 1 2 3時(shí)，時(shí)，1） ，此解指主微分面上切應(yīng)力為零，此解指主微分面上切應(yīng)力為零2） 時(shí)，時(shí)， 3） 時(shí)，時(shí)， 4） 時(shí)，

11、此種情況不可能成立。時(shí)，此種情況不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，則有，則有1 , 0nml0 , 0ml21 0 21nml0 , 0ml 21 21 0nml0 , 0ml 0 21 21 nml2022-4-2719l0m0n02022-4-2720o 當(dāng)當(dāng) 1 2 3時(shí)，時(shí)，則切應(yīng)力在通過該點(diǎn)的任則切應(yīng)力在通過該點(diǎn)的任何微分面上為零。何微分面上為零。o 主切應(yīng)力主切應(yīng)力 o 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力22112232232311323113max2022-4-2721l000m000n000切應(yīng)力切應(yīng)力000正應(yīng)力正應(yīng)力112121123222123112323222123121

12、212121主平面和主切平面上所作用的應(yīng)力主平面和主切平面上所作用的應(yīng)力 2022-4-2722練習(xí)o 已知變形體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知變形體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 80027060027050T N/mm2 試求該點(diǎn)的主應(yīng)力大小和主應(yīng)力的方向余弦。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力大小和主應(yīng)力的方向余弦。2022-4-2723o 解：解：80027060027050T （1 1） = 60MPa為一主應(yīng)為一主應(yīng)力。力。y面面y向向縮減應(yīng)力張量的維數(shù)縮減應(yīng)力張量的維數(shù)80272750T2022-4-2724080272750寫出該張量的特征方程寫出該張量的特征方程展開并求解展開并求解027)80)(50(20327113022327141301302MPa9 .95)2(MPa1 .34)3(2022-4-2725o 按大小順序排列后，得到按大小順序排列后，得到o 求求 1的方向余弦。將的方向余弦。將 1代入到（代入到（*）式中）式中MPa9 .951MPa1 .343MPa602080270275011nlnl與與 聯(lián)立求解，因聯(lián)立求解，因m = 0，所以有，所以有1222nml1588. 022nlnl解得：解得：862. 00507.