專題六 立體幾何 第三講 利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系 講義——2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（Word含解析）

1、專題六 立體幾何第三講 利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系（一）考點解讀高考考點考點解讀利用空間向量證明平行與垂直關(guān)系1.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識證明平行與垂直2.考查向量的數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系以及建立空間直角坐標(biāo)系的方法利用空間向量求線線角、線面角、面面角以具體幾何體為命題背景，直接求角或已知角求相關(guān)量利用空間向量解決采索性問題或其他問題1.常借助空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)探求點的存在問題2.常利用空間向量的關(guān)系，設(shè)某一個參數(shù)，利用向量運算探究平行、垂直問題（二）核心知識整合考點1：利用向量方法證明平行與垂直設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平

2、面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線線平行l(wèi)mabakba1ka2，b1kb2，c1kc2(2)線線垂直lmaba·b0a1a2b1b2c1c20(3)線面平行l(wèi)aa·0a1a3b1b3c1c30(4)線面垂直laaka1ka3，b1kb3，ckc3(5)面面平行vkva3ka4，b3kb4，c3kc4(6)面面垂直v·v0a3a4b3b4c3c40. 典型例題1.已知直線l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關(guān)系是( )A.B.C.或D.l與相交但不垂直答案：C解析 直線的方向向量是，平面的法向量是，l與的位置關(guān)系為或.故

3、選C.2.已知平面內(nèi)兩向量,若為平面的法向量且，則的值分別為( )A.B.C.1，2D.答案：A解析 .由為平面的法向量,得,即,解得.故選A.規(guī)律總結(jié)利用空間向量證明平行與垂直的方法與步驟(1)坐標(biāo)運算法：一般步驟：建立空間直角坐標(biāo)系，建系時，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素；通過空間向量的運算研究平行、垂直關(guān)系；根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題(2)基向量運算法：一般步驟：選基向量，要盡量選用三個不共面的且夾角最好為90°(其次為60°或120°)、模長或其關(guān)系已知的向理為基向量；將相關(guān)向

4、量用基向量表示；將證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算；根據(jù)運算結(jié)果得結(jié)論跟蹤訓(xùn)練1.已知分別為直線的方向向量，則( )A. ，但與不垂直B. ，但與不垂直C. ，但與不垂直D. 兩兩互相垂直答案：A解析因為，所以，a與c不垂直，即，但與不垂直.故選A.2.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，M在EF上，且平面BDE，則點M的坐標(biāo)為( )A.B.C.D.答案：C解析 連接OE.設(shè)點M的坐標(biāo)為，因為，所以，又，所以，因為平面BDE，所以，所以所以M點的坐標(biāo)為.故選C.考點2：向量法求線線角、線面角、面面角1.向量法求空間角（1）異面直線所成的角：設(shè)a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則兩異

5、面直線所成的角滿足cos (2) 線面角設(shè)l是斜線l的方向向量，n是平面的法向量，則斜線l與平面所成的角滿足sin (3)二面角如圖()，AB，CD是二面角l的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，如圖()()，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2.(4)點到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則點B到平面的距離d2.模、夾角和距離公式(1) 設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，cosa，b(2) 距離公式1設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

6、則|典型例題1.已知空間四個點,則直線與平面所成的角為()A. B. C. D. 答案：A解析設(shè)平面的一個法向量為，由，及，得，令，得，又，設(shè)與平面所成的角為，則，.故A正確.2.在直棱柱中，則直線與平面所成角的正弦值為( )A.B.C.D.答案：C解析 以C為坐標(biāo)原點,射線的方向為x軸的正方向,射線的方向為y軸的正方向,射線的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由題可知.于是.設(shè)為平面的法向量,則即令,可得.設(shè)直線與平面所成的角為,則.故C正確.規(guī)律總結(jié)1利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)(3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算(4)

7、轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論2利用空間向量求線線角、線面角的思路(1)異面直線所成的角，可以通過兩直線的方向向量的夾角求得，即cos |cos |(2)直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos |3利用空間向量求二面角的思路二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補角)或通過二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個法向量的夾角或其補角4利用空間向量求點到平面距離的方法如圖，設(shè)A為平面內(nèi)的一點，B為平面外的一點，n為平面的法向量，則B到平面的距離d 跟蹤訓(xùn)練1.在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為( )A. B. C. D.

8、 答案：D解析 以D為坐標(biāo)原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選D.2.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點，則異面直線與所成的角的正弦值為（ ）A B C D答案：D解析 連，相交于點，連、，因為為的中點，為的中點，有，可得為異面直線與所成的角，不妨設(shè)，可得，因為，為的中點，所以，故選D.考點3：利用空間向量巧解探索性問題空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷典型例題1.如圖，在梯形中，四邊形為矩形，平面平面(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.解析 (1)證明

9、：因為平面平面，平面平面，又因為矩形，平面，平面，.(2)解：取中點H，以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即直線與平面所成角的正弦值為.2.如圖，且，且，且，平面ABCD，.（1）求二面角的余弦值；（2）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為，求線段DP的長.解析 因為平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，又，故以D為坐標(biāo)原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由且，且，且，可知，各點坐標(biāo)為，(1)易知，設(shè)平面EBC的法向量為，則由，可得，故平面EBC的一個法向量為.設(shè)平面FBC的法向量為，則由，可得，故平面

10、FBC的一個法向量為因為且顯然二面角為銳角.故二面角的余弦值為；(2)因為點P在線段DG上，故可設(shè)點P坐標(biāo)為，其中，于是，易知平面ADGE的一個法向量為，因為直線BP與平面ADGE所成的角為，所以，解得，所以線段DP的長為.規(guī)律總結(jié)解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題提醒1在建立空間直角坐標(biāo)系時，要說明或證明建系的條件2注意異面直線的夾角與方向向量夾角的區(qū)別：兩條異面直線所成的角是銳角或直角，與它們的方向向量的夾角不一定相等3要區(qū)分二面角與兩法向量的夾角：求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析跟蹤訓(xùn)練1.如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，分別是，的中點，點在線段上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）當(dāng)時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.解析 (1)以為坐標(biāo)原點，分別以，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以無論取何值，.（2）時，.而平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)平面與平面所成銳二面角，.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是.2.如圖，在四棱柱中，底面為正方形，