2020年高考理科數(shù)學(xué)大一輪提分講義第10章 第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

1、第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例最新考綱1.會(huì)做兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.4.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求 2×2 列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應(yīng)用1兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)1ìï (x  x )(y  y )x y n x  yb

2、7;ïîi2在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)(2)負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線2回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2)回歸方程：方程ybxa是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)nniii 

3、;ii1i1nn (x  x )2x n x 2i1ii1a y b x .3回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法(2)樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中( x ，y )稱為樣本點(diǎn)的中心(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng) r0 時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng) r0 時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)r 的絕對值越接近于 1，表明兩個(gè)變量的

4、線性相關(guān)性越強(qiáng)r 的絕對值越接近于 0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常|r|大于 0.75 時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性2(ab)(ac)(bd)(cd)4獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量(2)列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設(shè)有兩個(gè)分類變量X 和 Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為 2×2列聯(lián)表)為2×2 列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcdn(

5、adbc)2構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量 K2，其中 nabcd 為樣本容量常用結(jié)論1回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心( x ， y )2當(dāng)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)|r|1 時(shí)，兩個(gè)變量呈函數(shù)關(guān)系3一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系()(2)通過回歸直線方程ybxa可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢()(3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)()Y(4)事件 X， 關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到

6、的 K2 的觀測值越大)答案(1)(2)(3)×(4)二、教材改編1在兩個(gè)變量 y 與 x 的回歸模型中，分別選擇了 4 個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù) R2 如下，其中擬合效果最好的是()A模型 1 的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.98B模型 2 的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.80C模型 3 的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.50D模型 4

7、0;的相關(guān)指數(shù) R2 為 0.25AR2 越接近于 1，其擬合效果越好2下面是 2×2 列聯(lián)表：x1y1ay221總計(jì)734x2總計(jì)22b254647120則表中 a，b 的值分別為()A94,72C52,74B52,50D74,52Ca2173，a52.又 a22b，b74.3為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生，得到如下 2×2 列聯(lián)表：男女理科137文科1020根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到 K2

8、 的觀測值  k                 4.844.則認(rèn)為選已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.50×(13×2010×7)223×27×20×30修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為_5%K2 的觀測值 k4.844，這表明小概率事件發(fā)生根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷

9、定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為 5%.4某同學(xué)家里開了一個(gè)小賣部，為了研究氣溫對某種冷飲銷售量的影響，他收集了一段時(shí)間內(nèi)這種冷飲每天的銷售量 y(杯)與當(dāng)天最高氣溫 x()的有關(guān)數(shù)據(jù)，通過描繪散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn) y 和 x 呈線性相關(guān)關(guān)系，并求得其回歸方程y2x60.如果氣象預(yù)報(bào)某天的最高氣溫為 34 ，則可以預(yù)測該天這種飲料的銷售量為_杯128由題意 x34 時(shí)，該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)y2×3460128杯5考點(diǎn) 1相關(guān)關(guān)系的

10、判斷判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)(2)相關(guān)系數(shù)：r0 時(shí)，正相關(guān)；r0 時(shí)，負(fù)相關(guān)(3)線性回歸直線方程中：b>0 時(shí)，正相關(guān)；b<0 時(shí)，負(fù)相關(guān)61.已知變量 x 和 y 近似滿足關(guān)系式y(tǒng)0.1x1，變量 y 與 z 正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是()Ax 與 y 正相關(guān)，x 與 z 負(fù)相關(guān)Bx 與&#

11、160;y 正相關(guān)，x 與 z 正相關(guān)Cx 與 y 負(fù)相關(guān)，x 與 z 負(fù)相關(guān)Dx 與 y 負(fù)相關(guān)，x 與 z 正相關(guān)C由 y0.1x1，知 x 與 y 負(fù)相關(guān)，即 y 隨 x 的增大而減小，又 y 與 z正相關(guān)，所以 z 隨 y 的增大而增大，減小而減小，所以 z&#

12、160;隨 x 的增大而減小，x與 z 負(fù)相關(guān)2對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()7Ar2r40r3r1Br4r20r1r3Cr4r20r3r1Dr2r40r1r3A由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點(diǎn)圖可知 r2r40r3r1.3在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn 不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)都在直線 y3x1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A3B0C1D1C在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，所有樣本點(diǎn)(xi，

13、yi)(i1,2，n)都在直線 y3x1 上，所以 b3<0，即這組樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為1.故選 C.x4 和 y 的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號(hào)為_8x，y 是負(fù)相關(guān)關(guān)系；在該相關(guān)關(guān)系中，若用 yc1ec2x 擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)為 r1，用ybxa擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為 r2，則|r1|r2|；x，y 之間不能建立線性回歸方程在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此 x，y 是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故正確；由散

14、點(diǎn)圖知用 yc1ec2x 擬合比用ybxa擬合效果要好，則|r1|r2|，故正確；x，y 之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故錯(cuò)誤相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作9出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具有相關(guān)性考點(diǎn) 2回歸分析線性回歸分析 (xi x )(yi y )  xiyin x  yn      

15、0;       ，(2)利用公式b                求線性回歸直線方程的步驟(1)用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；nni1i1ni (xi x )2 x2n x 2i1i1a y b x 求得回歸系數(shù)；10(3)寫出回歸直線方程

16、如圖是某企業(yè) 2012 年至 2018 年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖注：年份代碼 17 分別對應(yīng)年份 20122018.143.74，  (yiyi)24.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 和 t 的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立 y 關(guān)于 t 的回歸方程，預(yù)測 2021 年該企業(yè)的污水凈化量；(3)請用數(shù)據(jù)說明回歸方程預(yù)報(bào)的效果7參考數(shù)據(jù)： y 54，

17、0;(ti t )(yi y )21，i179i111n            ，參考公式：相關(guān)系數(shù) rn (ti t )(yi y )i1n (ti t )2 (yi y )2i1         i1 (ti

18、0;t )(yi y )bi1n線性回歸方程yabt，n，a y b t . (ti t )2i1n (yiyi)2n反映回歸效果的公式為：R21 i1 (yi y )2i1其中 R2 越接近于 1，表示回歸的效果越好解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得，t 4，   (ti t  )77228，i1i1(yi y )218， 

19、(ti t )(yi y )所以 r210.935.28×18因?yàn)?#160;y 與 t 的相關(guān)系數(shù)近似為 0.935，說明 y 與 t 的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，所以可以用線性回歸模型擬合 y 與 t 的關(guān)系7i12137(2)因?yàn)?#160;y 54，b284， (ti t )2i13所以a y b t 544×451，3所以&

20、#160;y 關(guān)于 t 的線性回歸方程為ybta4t51.3將 2021 年對應(yīng)的 t10 代入得y4×105158.5，所以預(yù)測 2021 年該企業(yè)污水凈化量約為 58.5 噸12 (yiyi)2(3)因?yàn)?#160;R217 i1 9  1     1  77 14×181880.875， (yi y )

21、2i1所以“污水凈化量的差異”有 87.5%是由年份引起的，這說明回歸方程預(yù)報(bào)的效果是良好的在線性回歸分析中，只需利用公式求出回歸直線方程并利用其進(jìn)行預(yù)測即可(注意回歸直線過樣本點(diǎn)的中心( x ，y )，利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，常把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值教師備選例題某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額)，如下表 1：年份 x儲(chǔ)蓄存款 y(千億元)20135201462015720168201710表 1為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t

22、x2 012，zy5 得到下表 2：時(shí)間代號(hào) tz1021324355表 213xiyin x  y其中bi1n      ，a y b x )x2i n x(1)求 z 關(guān)于 t 的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出 y 關(guān)于 x 的回歸方程；(3)用所求回歸方程預(yù)測到 2022 年年底

23、，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？(附：對于線性回歸方程ybxa，n2i155i解(1) t 3， z 2.2， tizi45， t255，i1i1455×3×2.2b1.2，555×9a z b t 2.23×1.21.4，所以z1.2t1.4.(2)將 tx2 012，zy5，代入z1.2t1.4，得 y51.2(x2 012)1.4，即y1.2x2 410.8.(3)因?yàn)閥1.2×2 02

24、22 410.815.6，所以預(yù)測到 2022 年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá) 15.6 千億元1.(2017· 山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長 x(單位：厘米)和身高 y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取 10 名學(xué)14生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出 y 與 x 之間有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)其回歸直線1010方程為ybxa.已知xi225，yi1 600，b4.該班某學(xué)生的腳長為 24，據(jù)i1i1此估計(jì)其身高為()A160C166

25、B163D170101 10i                        i1C1xi225， x 10  xi22.5.101 10i             &#

26、160;            i11yi1 600， y 10  yi160.又b4，a y b x 1604×22.570.回歸直線方程為y4x70.將 x24 代入上式得y4×2470166.故選 C.2某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用 x 萬元與銷售額 y 萬元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：廣告費(fèi)用 x(萬元)

27、銷售額 y(萬元)2263m449554根據(jù)上表可得回歸方程y9x10.5，則 m 的值為()A36C38B37D39D由回歸方程的性質(zhì)，線性回歸方程過樣本點(diǎn)的中心，則            26m4954423454×910.5，解得 m39.故選 D.15非線性回歸方程非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程(4)在(

28、3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程16某公司為確定下一年度投入某種t)產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi) x(單位：千元)對年銷售量 y(單位： 和年利潤 z(單位：千元)的影響對近 8 年的年宣傳費(fèi) xi 和年銷售量 yi(i1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值x    y   w   i1  (xi88 (wii18 (xi

29、0;x )(yii18 (wi w )·(yii1x )246.6 5636.8289.8w )21.6y )1 469y )108.8表中 wi   xi，w8wi.1 8i1(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx 與 ycd x哪一個(gè)適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)17 (ui u )(v

30、i v )斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為i1nå (wi w )(yi y )(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x，y 的關(guān)系為 z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi) x49 時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi) x 為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)

31、，(un，vn)，其回歸直線vu 的n， v  u . (ui u )2i1解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd x適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x的回歸方程類型(2)令 w x，先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程8由于d i1å (wi w )28108.8 1.6 68，i1c y d w 56368

32、×6.8100.6，所以 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程為y100.668w，因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為y100.668 x.(3)由(2)知，當(dāng) x49 時(shí)，年銷售量 y 的預(yù)報(bào)值y100.668 49576.6，年利潤 z 的預(yù)報(bào)值z576.6×0.24966.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤 z 的預(yù)報(bào)值z0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12.181

33、3.6所以當(dāng) x 2 6.8，即 x46.24 時(shí)，z取得最大值故年宣傳費(fèi)為 46.24 千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大對于非線性回歸分析問題，應(yīng)先進(jìn)行變量代換，求出代換后的回歸直線方程，再求非線性回歸方程教師備選例題某地級(jí)市共有 200 000 名中小學(xué)生，其中有 7%的學(xué)生在 2017 年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為 532，為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立

34、“專項(xiàng)教育基金”，對這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助 1 000 元、1 500 元、2 000 元經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)厝司芍涫杖胼^上一年每增加 n%，一般困難的學(xué)生中有 3n%會(huì)脫貧，脫貧后將不再享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有 2n%轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級(jí)市 2013 年到 2017 年共 5 年的人均可支配收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值，其中年

35、份 x 取 13xc時(shí)代表 2013 年， 與 y(萬元)近似滿足關(guān)系式 yc1·2c2x，其中 c1， 2 為常數(shù)(2013年至 2019 年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)19其中 kilog2yi， k   ki. (ui u )(vi v )      ， v  u

36、 .5555yk (ki k )2  (yi y ) (xi x )(yi y )  (xi x )·(ki k )i1i1i1i12.3 1.23.14.6211 55i1(1)估計(jì)該市 2018 年人均可支配收入；(2)求該市 2018 年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，

37、v2)，(un，vn)，其回歸直線方程uu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為ni1n (ui u )2i1參考數(shù)據(jù)：20.70.620.30.820.11.121.73.221.83.521.93.7315i1解(1)因?yàn)?#160;x 5×(1314151617)15，所以  (xi x )2(2)2(1)202122210.由 klog2y 得 klog2c1c2x，202018 年人均可支配收入比 2017 年增長  &#

38、160;             20.110.110%，5 (xi x )(ki k )1所以 c2i1510， (xi x )2i11log2c1 k c2 x 1.210×150.3，所以 c120.30.8，x所以 y0.8×210.當(dāng) x18 時(shí)，y0.8×2

39、1.80.8×3.52.8(萬元)即該市 2018 年人均可支配收入為 2.8 萬元(2)由題意知 2017 年時(shí)該市享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生有 200000×7%14 000 人，一般困難、很困難、特別困難的中學(xué)生依次有 7 000 人、4 200 人、2 800 人，0.8×21.80.8×21.70.8×21.7所以 2018 年該市特別困難的學(xué)生有

40、60;2 800×(110%)2 520 人很困難的學(xué)生有 4 200×(120%)2 800×10%3 640 人，一般困難的學(xué)生有 7 000×(130%)4 200×20%5 740 人所以 2018 年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為 5 740×1 0003 640×15002 520×2 000

41、16 240 000(元)1 624(萬元)21十九大報(bào)告指出，必須樹立“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這一理念將進(jìn)一步推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展以下是近幾年我國新能源汽車的年銷量數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖(如圖所示)：年份年份代碼 x新能源汽車的年銷量 y/萬輛201311.5201425.92015317.72016432.92017555.6(1)請根據(jù)散點(diǎn)圖判斷ybxa與ycx2d中哪個(gè)更適宜作為新能源汽車年銷量 y 關(guān)于年份代碼 x 的回歸方程模型；(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1

42、)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程，并預(yù)測 202022å (wi w )(yi y )年我國新能源汽車的年銷量(精確到 0.1)nå (wi w )2y    i1  (xii1cni1i附：令 wix2.55 (wii1 x )2 w )2    

43、0; ，d y c w .5 (xii1x )·(yiy )5 (wi w )·(yi y )i122.7210374135.2851.2å (wi w )æçy ö÷解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖得，ycx2d更適宜作為年銷量 y 關(guān)于年份代碼 x 的回歸方程5è iy ø(2)依題意得，

44、 w              11，cå (wi w )214916255i15        851.2 374i12.28，則d y c w 22.722.28×112.36，y2.28x22.36.令 x8，則y2.28×642.36143.

45、56143.6，故預(yù)測 2020 年我國新能源汽車的年銷量為 143.6 萬輛考點(diǎn) 3獨(dú)立性檢驗(yàn)231.比較幾個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計(jì)算 K2 的大小判斷：K2 越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大|(2)通過計(jì)算|adbc|的大小判斷：adbc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大2獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成 2×2 列聯(lián)表(2)根據(jù)公式 K2n(adbc)2計(jì)算 K2 的觀測值 k.(ab)(ac)(bd)(cd)(

46、3)比較觀測值 k 與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷(2018· 全國卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為24比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取 40 名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組 20 人第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(ab)(cd)(ac)(bd)(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求 40 名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)&

47、#160;m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過 m 和不超過 m 的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過 m不超過 m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？n(adbc)2附：K2，nabcd.P(K2k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828.解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有 75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少 80 分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有&

48、#160;75%的工人完成生產(chǎn)任25務(wù)所需時(shí)間至多 79 分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為 85.5 分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為 73.5分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于 80 分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于 80 分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在

49、莖 8 上的最多，關(guān)于莖 8 大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖 7 上的最多，關(guān)于莖 7 大致呈對稱分布又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高(以上給出了 4 種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)7981(2)由莖葉圖知 m280.列聯(lián)表如下：第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式超過 m155不超過

50、60;m515(3)由于 K2               106.635，所以有 99%的把握認(rèn)為兩種生40(15×155×5)220×20×20×20產(chǎn)方式的效率有差異26獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法在判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到可靠的結(jié)論教師備選例題(2017

51、83; 全國卷)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了 100 個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記 A 表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50 kg”，估計(jì) A 的概率；27(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有 99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到 0.01)附：P(K2k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828(ab)(cd)(ac)(bd)n(adbc)2K2.C解(1)記 B 表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50 kg”， 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量