常微分方程ppt課件

1、復(fù)習(xí) 微分方程的概念微分方程微分方程;定解條件定解條件;闡明闡明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解但不包含前一個(gè)解 .例如例如, 方程方程解解; 階階;通解通解;特解特解 y = x 及 y = C IV IV 積分曲線與向量場(chǎng)積分曲線與向量場(chǎng).),(上連續(xù)在區(qū)域其中Dyxf,),(),(Dyxyxfdxdy在幾何上方程的解)(xy表示區(qū)域表示區(qū)域D D一條光滑曲線，稱之為方程的積分曲線一條光滑曲線，稱之為方程的積分曲線. .設(shè)設(shè)D D 為平面上的區(qū)域，思索微分方程為平面上的區(qū)域，思索微分方程方程的通解方程的通

2、解),(Cxy當(dāng)當(dāng)C C 變動(dòng)時(shí)，表示區(qū)域變動(dòng)時(shí)，表示區(qū)域D D的的 一族曲線，稱之為積分曲線族一族曲線，稱之為積分曲線族.1( ,)yx C 22yxy轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 初等積分法 解分別變量方程解分別變量方程 xxfyygd)(d)(可分別變量方程可分別變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第二章 分別變量方程的解法分別變量方程的解法:( )d( )dg yyf xx設(shè)設(shè) y (x) 是方程的是方程的解解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分兩邊積分, 得得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(那么有恒等那么有恒等式式 )(yG)

3、(xF當(dāng)當(dāng)G(y) 與與F(x) 可微且可微且 G(y) g(y)0 時(shí)時(shí), 闡明由確定的隱函數(shù)闡明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解是的解. 那么有那么有稱為方程的隱式通解稱為方程的隱式通解, 或通積分或通積分.同樣同樣,當(dāng)當(dāng)F(x)= f (x)0 時(shí),上述過程可逆上述過程可逆,由確定的隱函數(shù)由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解也是的解. 例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分別變量得分別變量得xxyyd3d2兩邊積分兩邊積分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )或或闡

4、明闡明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此能夠增、因此能夠增、減解減解.( 此式含分別變量時(shí)喪失的解此式含分別變量時(shí)喪失的解 y = 0 )例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分別變量得分別變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始條件得由初始條件得 C = 1,112xy( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )故所求特解為故所求特解為 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么那么yu1故有故有uu2sin1即即x

5、uuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )所求通解所求通解:練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解法解法 1, yxu令yu1則故有故有ueu1積分積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (試用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q試用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q)解法解法2 分別變量分別變量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0,21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2積分得積分得故有故有1222Cv

6、yCy, xvy代入得得)2(22CxCy (拋物線拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為于是方程化為(齊次方程齊次方程) 頂究竟的間隔為頂究竟的間隔為 h ,hdC82闡明闡明:)(222CxCy2,2dyhCx那么將那么將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為hdxhdzy1642222hd假設(shè)知反射鏡面的底面直徑為假設(shè)知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達(dá)式得代入通解表達(dá)式得)0,(2CoyxA( h, k 為待為待 二、可化為齊次方程的方程二、可化為齊次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111時(shí)

7、當(dāng)bbaa作變換作變換kYyhXx,dd,ddYyXx則原方程化為原方程化為 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令令 0ckbha0111ckbha, 解出解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齊次方程齊次方程)定常數(shù)定常數(shù)), ,代入將kyYhxX求出其解后求出其解后, 即得原方即得原方 程的解程的解.,. 211時(shí)當(dāng)bbaa原方程可化為原方程可化為 1)(ddcybxacybxaxy令令, ybxavxybaxvdddd則1ddcvcvbaxv(可分別變量方程可分別變量方程)注注: 上述方法可適用于下述更普通的方程上述方法可適用于下述更普通的方程 111ddc

8、ybxacybxafxy)0(212cc)0( b例例4. 求解求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令令,5, 1YyXxYXYXXYdd得得再令再令 YX u , 得得令令06 kh1,5 得 hkXXuuudd112積分得積分得uarctan)1(ln221uXCln代回原變量代回原變量, 得原方程的通解得原方程的通解:15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得得 C = 1 , 故所求特解為故所求特解為15arctanxy22)5() 1(ln21yx練習(xí)練習(xí): 假設(shè)方程改為假設(shè)方程改為 ,64ddyxyxxy如何求解如何求解? 提示提示:. yx

9、v令 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程根據(jù)幾何關(guān)系列方程 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程根據(jù)物理規(guī)律列方程 3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 (2) 利用反映事物個(gè)性的特殊形狀確定定解條件利用反映事物個(gè)性的特殊形狀確定定解條件.(3) 求通解求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程運(yùn)用題的方法和步驟解微分方程運(yùn)用題的方法和步驟線性微分方程 第二章 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程規(guī)范方式一階線性微分方程規(guī)范方式:)()(

10、ddxQyxPxy假設(shè)假設(shè) Q(x) 0, 0)(ddyxPxy假設(shè)假設(shè) Q(x) 0, 稱為非齊次方程稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程解齊次方程分別變量分別變量xxPyyd)(d兩邊積分得兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程稱為齊次方程 ;對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法用常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy那那么么xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解故原方程的

11、通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即即即作變換作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得兩端積分得例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即即1d2dxxyy積分得積分得,ln1ln2lnCxy即即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求特解用常數(shù)變易法求特解. 令令,) 1()(2xxuy那么那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得代入非齊次方程得21) 1( xu解得解得Cxu23) 1(32故原方程通解為故原方程通解為

12、Cxxy232) 1(32) 1(例例2. 求方程求方程的通解的通解 .解解: 留意留意 x, y 同號(hào)同號(hào),d2d,0 xxxx時(shí)當(dāng)yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式由一階線性方程通解公式 , 得得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可變形為變形為0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy所求通解為所求通解為 )0(CCeyyxyCyln這是以這是以x為因變量為因變量, y為為 自變量的一階線性方程自變量的一階線性方程在閉合回路中在閉合回路中, 一切支路上的電壓降為一切支路上的電壓降為 0例例3. 有一電路如下圖有一電路如下圖, ,sintEEm電

13、動(dòng)勢(shì)為電阻電阻 R 和電和電. )(ti LERK解解: 列方程列方程 .知經(jīng)過電阻知經(jīng)過電阻 R 的電壓降為的電壓降為R i 經(jīng)過經(jīng)過 L的電壓降為的電壓降為tiLdd因此有因此有,0ddiRtiLE即即LtEiLRtimsindd初始條件初始條件: 00ti由回路電壓定律由回路電壓定律:其中電源其中電源求電流求電流感感 L 都是常量都是常量,LERK解方程解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始條件由初始條件: 00ti得得222LRLECm)(ti dtLRetLEmsintLRmeCtLtRLRE)cossin(222tetLRdd

14、C利用一階線性方程解的公式可得利用一階線性方程解的公式可得tLRmeLRLEti222)()cossin(222tLtRLREmtLRmeLRLEti222)()sin(222tLREm暫態(tài)電流暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRL LERK因此所求電流函數(shù)為因此所求電流函數(shù)為解的意義解的意義: 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的規(guī)范方式伯努利方程的規(guī)范方式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后求

15、出此方程通解后,除方程兩邊除方程兩邊 , 得得換回原變量即得伯努利方程的通解換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程線性方程)例例4. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解的通解.解解: 令令,1 yz那么方程變形那么方程變形為為xaxzxzlndd其通解為其通解為ez 將將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入代入, 得原方程通解得原方程通解: 原方程一特解原方程一特解:y=0 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法方法1 先解齊次方程先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法再用常數(shù)變易

16、法.方法方法2 用通解公式用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化為線性方程求解化為線性方程求解.2. 伯努利方程伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n思索與練習(xí)思索與練習(xí)判別以下方程類型判別以下方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分別可分別 變量方程變量方程xyxyxylndd齊次方程齊次方程221dd2xyxxy線性方程線性方程221dd2yxyyx線性方程線性方程2d2lndyxyyx

17、xx伯努利伯努利方程方程綜合題綜合題1. 求一延續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一延續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足以下方程使其滿足以下方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txuuufxxfxd)(sin)(0那么那么有有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf2. 設(shè)有微分方程設(shè)有微分方程, )(xfyy其中其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件試求此方程滿足初始條件00 xy的延續(xù)解的延續(xù)解.解解: 1) 先解定解問題先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得xeyd1dd2Cxex)2(1Ce

18、exxxeC12利用利用00 xy得得21C故有故有) 10(22xeyx2) 再解定解問題再解定解問題1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齊次線性方程的通解為此齊次線性方程的通解為) 1(2xeCyx利用銜接條件得利用銜接條件得) 1(22eC因此有因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原問題的解為原問題的解為y10),1 (2xex1,) 1(2xeex求所滿足的微分方程求所滿足的微分方程 .例例. 知曲線上點(diǎn)知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與處的法線與 x 軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為 QPQxyox解解: 如下圖如下圖, yYy1)(xX 令令 Y = 0 , 得得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)yyxX,xyyx即即02 xyy點(diǎn)點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為處的法線方程為且線段且線段 PQ 被被 y 軸平分軸平分, ( 雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努