例談立體幾何中的轉(zhuǎn)化

1、在SB和SC上的射影分別是演-3例談立體幾何中的轉(zhuǎn)化立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何教學(xué)中占有很重要的地位。立體幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化,具體從以下幾個(gè)方面入手。1、 位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系是立體幾何中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓就是平行與垂直位置關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化，平行與垂直問題不但能橫向轉(zhuǎn)化，而且可以縱向轉(zhuǎn)化。例1已知三棱錐SABC中，/ABC=90°,側(cè)棱SA，底面ABC,點(diǎn)A點(diǎn)E、F。求證EFXSCo分析：A、E、F三點(diǎn)不共線，AFXSC, .要證EFXSC,

2、只要證SS平面AEF,只要證SCXAE（如圖1）。又.BCLAB,BCSA,.BCL平面SAB, SB是SC在平面SAB上的射影。 只要證AEXSB（已知），EFXSCo例2設(shè)矩形ABCD,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，以EF為棱將矩形折成二面角AEFCi（如圖2）。求證：平面ABiE/平面CiDF。分析一（縱向轉(zhuǎn)化）：1. AE/DF,AE紅平面CiDF,AE/平面CiDF.同理，BiE/平面CiDF,又AEnBiE=E,平面ABiE/平面CiDF。分析二（橫向轉(zhuǎn)化）：-AE/EF,BiEXEF,且AEABiE=E,EF,平面CiDF。同理，EF,平面CiDF。平面ABiE/平面CiDF。2

3、、降維轉(zhuǎn)化由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的平面幾何知識(shí)來解決問題。如線面垂直的判定定理的證明就是轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面問題。例3如圖-3,在直三棱柱ABCAiBiCi中，AB=BC=J2,BB1=2,/ABC=901E、F分別為AAi、CiBi的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度為.22分析：這類問題通常都是將幾何體的側(cè)面展開成平面圖形來解決。又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計(jì)算，最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線成的角來進(jìn)行的。例4如圖-4直四柱ABCDAB1c11中，AA=

4、2,底面ABCD是直角梯形，/A是直角，AB|CD,AB=4,AD=2,DC=1,求異面直線BC與DC所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解：由題意AB/CD,二GBA是異面直線BCi與DC所成的角.H連ZAC1與AC,在RtAADC中，可得AC=V5,又在RtACCi中，可得ACi=3.在梯形ABCD中，過C作CH/AD交AB于H,圖-4得.CHB=90,CH=2,HB=3,CB=.13又在RtiCBCi中，可得BC1=<17,AB2BCi2-AC23,173.17在.ABC1中,cosABC1=,ZABC1=arccos2ABBC11717異而直線BCi與DC所成角的大小為。實(shí)現(xiàn)

5、空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展開法和輔助面法等等。3、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化割形”與補(bǔ)形”是解決立體幾何問題的常用方法之一,幾何體，從而較快地找到解決問題的突破口。通過割”或補(bǔ)"可化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單例5如圖5,三棱錐P-ABC中，已知PAXBC,PA=BC=n,PA與BC的公垂線ED=h,求證：三棱錐P-ABC的體積V=1n2h6此題證法很多，下面用割補(bǔ)法證明如下：分析一：如圖5,連結(jié)AD、PD,BCXDE,BCXAB,.BCL平面APD,又DELAP,VPABC=VBAPD+VCAPD=3BCSAPD=61n2h分析二：如圖6,以三棱錐P-ABC的底面為底

6、面，側(cè)棱PA為側(cè)棱，補(bǔ)成三棱拄PB1C1ABC,連結(jié)EC、EB,則易證APL平面EBC,V三棱拄=APS/ebc=2n2ho-1VPABC=3V三棱拄1n2h6BiCi4、等積轉(zhuǎn)化等積法”在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應(yīng)用，是一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)方法與技巧。立體幾何中的等積轉(zhuǎn)化”（或稱等積變換）是以面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介，來溝通有關(guān)元素之間的聯(lián)系,從而使問題得到解決。例6如圖7,已知ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AAi與CCi的中點(diǎn)，求四棱錐AiEBFDi的體積。略解：易證四邊形EBFDi是菱形，連結(jié)A1c1、EC1、AC1、AD1,則VA1-EBFD1=

7、2VA-EFD=2VF-A1ED1=2VC1-A1ED111圖一8=2VE-A1C1D1=VA-A1C1D1=6V正方體AC1=633°5、抽象向具體轉(zhuǎn)化例7A、B、C是球O面上三點(diǎn)，弧AB、AC、BC的度數(shù)分別是90°、90°、60°。求球O夾在二面角BAOC間部分的體積。分析：此題難點(diǎn)在于空間想象，即較抽象。教師引導(dǎo)學(xué)生讀題：條件即/AOB=/AOC=90°,/BOC=60°,然后給出圖形（如圖8）,則可想象此題意即為用刀沿60。二面角，以直徑為棱2r3將一個(gè)西瓜切下一塊，求這一塊西瓜的體積，（答：9）。問題于是變得直觀具體多了。

8、例8三條直線兩兩垂直，現(xiàn)有一條直線與其中兩條直線都成60。角，求此直線與另外一條直線所成的角。分析：由條件想象到長方體的三條棱也兩兩垂直，于是問題可以轉(zhuǎn)化為如下問題：長方體一條對(duì)角線與同一頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別是60。、60。、%求”的大小。根據(jù)長方體的性質(zhì)，有cosa+cos600+cos600=1,可求得a=45°o立體幾何的教學(xué)，關(guān)鍵是要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們學(xué)會(huì)聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。立體幾何的許多定理、結(jié)論源自生活實(shí)際，源自平面幾何，要教會(huì)學(xué)生聯(lián)想實(shí)際模型，聯(lián)想平面幾何中已經(jīng)熟悉的東西，借助可取之材來建立空間想象，加強(qiáng)直觀教學(xué)，這樣就容易讓學(xué)生接受，讓他們喜歡上這一門學(xué)科，從而

9、更有效地培養(yǎng)他們的空間想象力，提高他們解決立體幾何問題的能力。立方體在高考題中立方體是高中課本里空間圖形中的最基本、最常用、最重要的幾何體.首先：其本身中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系包涵了空間圖形中的所有的位置關(guān)系.其次：它與代數(shù)（如：不等式、函數(shù)與數(shù)列、排列組合等）、三角、解析幾何有著密切聯(lián)系.因而是高考命題的熱點(diǎn).下面從數(shù)學(xué)思想方法方面探究其重要性.一.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想1.2004年天津卷（6）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AB1c1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn).那么異面直線OE和5口1所成的角8的余弦值等于(A).105.15(B)54(C)52(D)-3

10、分析：可建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)量積來求解，可得OE=(1,1,1),FD1=(-1,0,2)OE=<3,Fd1=v5,有OEFD1=(-1,1,1)(1,0,2)=3又OEFD1=33V5cose：3-5cos=3一.15即cos口=.故選(B)5注：立方體具有的直觀性特點(diǎn)從垂直聯(lián)想到運(yùn)用向量法求解(將形和數(shù)很好地結(jié)合起來)是個(gè)好方法.2.2003年全國卷(12)一個(gè)四面體的所有棱長都為<2,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為()(A)3n(B)4n(C)3/3(D)6元分析：本題中沒有立方體，可充分挖掘是正四面體特點(diǎn)補(bǔ)形成立方體.A如圖，將

11、正四面體ABCD補(bǔ)成立方體，則正四面體、立方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w的棱長為2,所以正方體棱長為1,從而外接球半徑R=彳導(dǎo)S球=3冗.故選(A).注：補(bǔ)形割體”構(gòu)造模型，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃螢槭煜さ哪Ｐ蛷亩芊奖愕剡M(jìn)行計(jì)算使問題得到順利的解決，是處理空間圖形中慣用的手段.二.體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想3. 2003年全國(理)(16).下列5個(gè)正方體圖形中，l是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l，面MNP的圖形的序號(hào)是(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))4.2004年北京卷(4)如圖，在正方體BC與直線CiDi的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)分析：易知是合要求的，由于五個(gè)圖形中的

12、l在同一位置，只要觀察圖中的平面MNP哪一個(gè)和中的平面MNP平行(轉(zhuǎn)化為面面平行)即可.故為：注：本題中選中平面MNP作為參照系”可清淅解題思路，明確解題目標(biāo)P到直線ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BBiCiC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P的軌跡所在的曲線是(A) 直線(B) 圓(C) 雙曲線(D) 拋物線分析：易知P到直線CiDi的距離為：PC1.由Ci是定點(diǎn)，BC是定直線.條件即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Ci的距離等于到定直線線的定義化歸為拋物線問題.故選(D)注：立幾中的解幾問題是近年來才露臉的題型，要求熟練掌握立體幾和解析幾何所有知識(shí)內(nèi)容，更要有跳躍的思維，較強(qiáng)的轉(zhuǎn)換能力.三.體現(xiàn)分類討論思想5.2000年全

13、國卷（16）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A）、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是。（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）分析：因正方體是由三對(duì)平行面所組成，所以只要將四邊形BFD1E在三個(gè)方向上彳投影即可，因而可分為三類情況討論.在面ABCD上作投影可得（平行四邊形）.在面ADD1A1上作投影可得（線段）.在面ABBiA上作投影可得（平行四邊形）.故可填為：注：截面、射影的問題是空間圖形和平面問題間變換的一種重要題型，象本題一樣的定性分析題一定要抓住圖形的特性（平行、垂直等）進(jìn)行分析.6. 2004年湖南卷（10）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形

14、，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為（A）56（B）52（C）48（D）40分析：可將合條件的直角三角形分為兩類：第一類：三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的同一個(gè)面上時(shí)有：第二類：三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的相對(duì)的兩個(gè)面上時(shí)有：6X4=24個(gè).故共有：24+24=48個(gè).從而選（C）注：以幾何體為載體考查排列與組合的有關(guān)問題是高考的傳統(tǒng)題型幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去求解.四.體現(xiàn)函數(shù)與方程思想7. 2002全國卷（18）如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0二a：二.2）.6C3=24個(gè).，直角三角形所在的平面一定是正方體的對(duì)角面，因而，要做到不重復(fù)不遺漏地分類并且注意1,而且平面

15、ABCD、ABEF互相垂直（1）求MN的長；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最小；分析：將圖形補(bǔ)成為正方體（如圖）運(yùn)用函數(shù)思想求解.（1）作MKLAB于K,連KN.由面ABCD，面ABEF得MKLKN.從而MN=JMK2+KN2,BKKACMBN/口=得KN/AF.MANF從而KN灰、=BK=-|BN=.2a2MK將代入有MN1o1oo=-(v;2-a)2+a2=va2V2a+1為所求.(2)運(yùn)用函數(shù)配方法，由(i)知MN=v；a2-<2a+1.(0<a<&).配方有MN=y(a)2J金22石即當(dāng)a=一£時(shí)，MN取最小值-22)的問題，可考慮能否把這一動(dòng)源作為自

16、變量，構(gòu)造中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是注：對(duì)空間圖形中含有一些動(dòng)態(tài)”因素(象距離、角度等目標(biāo)函數(shù)，用函數(shù)的思想來處理.8.2004年湖北(18)如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1棱CD上的動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)F的使得DE,平面AB1F.分析：以A為坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所未的空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用方程思想(借助向量的數(shù)量積)求解.設(shè)DF=X,則A(0,0,0),B1(1,0,1),1CD1(0,1,D,E1,0I,F(X,1,0)<2),(1)-DE=1,-1卜AF=(x,1,0).1 2)于是DEL平面ABFD1EAF=0u/1/，1,-一，-1.(x,1,0)二0=x-251,既

17、*=一.故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E,平面AB1F.2在近幾年的高考試題中，立方體不僅包涵了所有的數(shù)學(xué)思想方法，密切了與中學(xué)數(shù)學(xué)中其它內(nèi)容的聯(lián)系更體現(xiàn)著從靜到動(dòng)，從單一到多方面，從立方體本身應(yīng)用問題到利用立方體去解決問題的發(fā)展變化.仔細(xì)研究這些變化對(duì)學(xué)好空間幾何無疑是有裨益的幾點(diǎn)思考：1 .加強(qiáng)對(duì)立方體的研究，對(duì)空間圖形的研究以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，數(shù)形轉(zhuǎn)換能力與邏輯思維能力.對(duì)立方體本身的研究：如：立方體的內(nèi)切球，外接球，球與立方體的棱相切等；立方體與正四面體的聯(lián)系；以正方體各面的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可構(gòu)成正八面體等對(duì)空間圖形問題中解題方法的研究：以立方體為載體的方法有：平移求角法，割體補(bǔ)形法，面

18、積射影法體積相等法，側(cè)面展形法，轉(zhuǎn)化化歸法，空間向量法等.構(gòu)造立方體以解決有關(guān)問題（第二冊(cè)下BP193）豈知三個(gè)平行平面外3、丫與兩條直線電、m分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F（圖1）,求證：但=吧.，解答此題時(shí)學(xué)生很容易誤將1與m共面去理解BCEF造成錯(cuò)誤.其實(shí)構(gòu)造正方體（圖2）可加強(qiáng)直觀性以幫助學(xué)生理解.通過對(duì)立方體及空間圖形的研究可培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)空間圖形的能力，建立起空間概念，準(zhǔn)確地理解并熟練運(yùn)用概念、性質(zhì)、公理、定理進(jìn)行判斷、推理與轉(zhuǎn)化（如：線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化及平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，把空間距離和角向平面距和平面角的轉(zhuǎn)化，文字語言、符號(hào)語言、圖形語言三者的相互轉(zhuǎn)化.）等2 .加強(qiáng)立方體與其它內(nèi)容的滲透的研究：立方體與排列組合的結(jié)合，象染色問題，計(jì)數(shù)問題；立方體與解析幾何的結(jié)合，象軌跡問題；立方體與函數(shù)方程的結(jié)合，象最值問題；立方體與代數(shù)三角的結(jié)合，象角度距離問題；立方體與其它學(xué)科的結(jié)合，象化學(xué)晶體問題等.這樣有