例談壓軸題課堂教學(xué)的育人價(jià)值

1、例談壓軸題課堂教學(xué)的育人價(jià)值摘要初三后期的復(fù)習(xí)課時(shí)間緊任務(wù)重，本文從分析2015年浦東新區(qū)一模卷第25題的部分課堂實(shí)錄由發(fā)，淺談如何進(jìn)行一題多解和一題多變，從中探討應(yīng)用模型教學(xué)和題組教學(xué)，逐漸挖掘解題教學(xué)中的育人價(jià)值.關(guān)鍵詞壓軸題；教學(xué)；一題多解；一題多變章建躍博士指由：解題的目標(biāo)應(yīng)聚焦于加深和理解雙基.學(xué)會(huì)思考，培養(yǎng)和發(fā)展思維能力；查缺補(bǔ)漏，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)造力等.這些目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，極大程度上依靠“好題”.“好題”能夠反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，能夠體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，解題的方法自然多樣，具有發(fā)展性等等.命制一道好題需要對數(shù)學(xué)本質(zhì)具有深刻的理解，研究一道好題需要熟悉考

2、點(diǎn)、清楚設(shè)計(jì)意圖、開放解題思路.同樣的，一節(jié)優(yōu)質(zhì)的試卷講評課，教師應(yīng)該清楚由題意圖，靈活解題思路，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展.接下來筆者以2015年上海市浦東新區(qū)一模第25題為例談?wù)勅绾瓮诰驂狠S題中的數(shù)學(xué)元素，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)試題呈現(xiàn)（2015年浦東新區(qū)一模25題）如圖1,在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），/EBM=45,BE交對角線AC于點(diǎn)F,BM交對角線AC于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)M.初步思考此題圍繞滬教版教材九年級第一學(xué)期重要教學(xué)內(nèi)容并緊扣“相似”這一重要考點(diǎn)，能夠較好地檢測基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握情況.第（1）題的難度期望值大概為0.6-0.8,接下來

3、的第（2）題難度期望值約為0.4-0.5.反思分析這道題目是一道典型的以正方形為背景的動(dòng)點(diǎn)問題，是中考壓軸題的常見題型.本題設(shè)計(jì)由不同層次的三個(gè)問題，既由淺入深、風(fēng)格不同，又相互關(guān)聯(lián)、前后呼應(yīng)，屬于“并列式”結(jié)構(gòu).這道題目圍繞著上海教育由版社九年級第一學(xué)期教材的“主干”和“核心”內(nèi)容，緊扣相似三角形和四邊形的相關(guān)考點(diǎn)，能夠在檢測基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)檢測邏輯思維能力、計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力，具有一定的思維量.第（1）問考查相似三角形的判定定理，第（2）問利用第（1）問的結(jié)論研究兩條線段之間的函數(shù)解析式，第（3）問在分類討論的基礎(chǔ)上利用第（2）問的結(jié)論進(jìn)行三角形面積的計(jì)算.在第（1）問的基礎(chǔ)上分析圖形中

4、邊和角之間的關(guān)系，通過添加過點(diǎn)G的兩條垂線構(gòu)造矩形GQDH,利用矩形對邊相等，從各種等量關(guān)系求生長度，或讓用字母x來表示的線段聚集在直角三角形EQG中，通過勾股定理得到線段AE和EG的函數(shù)關(guān)系式.那么有沒有其他方法可以求解線段AE和EG的函數(shù)關(guān)系式呢？一題多解仔細(xì)審閱這題的題干部分“點(diǎn)E為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），/EBM=45°,BE交對角線AC于點(diǎn)F,BM交對角線AC于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)M.”不難發(fā)現(xiàn),整個(gè)圖形的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E是主動(dòng)點(diǎn)，而點(diǎn)G和點(diǎn)M是從動(dòng)點(diǎn)，它們的位置是隨著點(diǎn)E位置變化而變化的.聯(lián)想到第一種解法中是過從動(dòng)點(diǎn)G添加垂線，那么是否可以過主動(dòng)點(diǎn)E添加垂線呢

5、？再次審視這道題目的第（2）問，再次回顧解決此題的方法一，過點(diǎn)G添加線段AD和CD的垂線，構(gòu)造一個(gè)矩形GQDH,那么能不能過點(diǎn)G添加BE的垂線呢？方法三隨之產(chǎn)生了.方法三：如圖6,過點(diǎn)G作GKBE,K為垂足.和方法一、方法二相比，方法三的不同之處在于將目光從添加垂線構(gòu)造直角三角形逐漸轉(zhuǎn)向了分析三角形EGB的特征，通過相似三角形的判定，發(fā)現(xiàn)三角形EGB是一個(gè)等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)EG和EB的線段長度比值求生線段AE和EG的函數(shù)關(guān)系式.課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生反思前面三種解答過程，提由問題：在分析三角形EGB典型特征的過程中是否一定需要通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形呢？回答顯然是否定的.此時(shí)課堂上學(xué)生的

6、思維活躍起來，學(xué)生的語言也豐富了追本溯源不添輔助線的方法四無疑是這幾種解法當(dāng)中最簡單的一種，為什么想到這種方法的同學(xué)不多呢？追本溯源這是一個(gè)典型的“蝶形問題”，或者說是“四點(diǎn)共圓”問題.如圖8,“已知/BAO=/CDO,問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO?OC=OB?DO,問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO?OB=OC?DO,問圖中有幾對相似三角形？”在上海教育由版社由版的數(shù)學(xué)教材九年級第一學(xué)期25頁例題1中由現(xiàn)的就是這樣的一個(gè)“蝶形”相似，無獨(dú)有偶，在同一本課本第8頁的例題2,九年級第一學(xué)期的教參30頁上歸納整理的幾個(gè)基礎(chǔ)圖形中的最后一個(gè)也是以這個(gè)蝶形作為基礎(chǔ)圖形展開教學(xué)的.類似這樣一些

7、簡單問題，學(xué)生是否能夠從復(fù)雜的圖形中抽象由“蝶形問題”或者說是“四點(diǎn)共圓問題”就成為其能否順利解決第（2）問的關(guān)鍵.怎樣才能使學(xué)生在復(fù)雜圖形中輕而易舉地看出對解題有幫助的基礎(chǔ)圖形呢？解題啟示1 .重視“基本模型”構(gòu)建能力的培養(yǎng)羅增儒教授指由：如果能夠辨別題目屬于熟悉的類型，就用該類型相應(yīng)的方法去解決（模型識(shí)別）；如果遇到不熟悉和費(fèi)解的習(xí)題，不能直接轉(zhuǎn)化為熟悉的類型，那我們可以“分解”，既使得每個(gè)小問題都是熟悉的，又可以揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，使問題的實(shí)質(zhì)是熟悉的，同時(shí)還可以不間斷地改變習(xí)題，最終化歸為已經(jīng)解決的問題.各地歷年中考題中都有“基礎(chǔ)圖形”的痕跡，具重要程度可見一斑初三畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教師對這

8、一教學(xué)內(nèi)容相當(dāng)重視，每一位有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師憑借著自己的理解和概括都能總結(jié)和提煉由一個(gè)又一個(gè)的模型，上課時(shí)教師講授得頭頭是道，學(xué)生聽得津津有味，可是當(dāng)學(xué)生獨(dú)立面對綜合題的時(shí)候往往顯得束手無策.這種對于基礎(chǔ)圖形“識(shí)而不會(huì)”的情況為何屢屢發(fā)生呢？究其根源，最主要的原因就是缺乏構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力.大多數(shù)綜合題中的基礎(chǔ)圖形都是“潛伏”在大段敘述性的文字或者復(fù)雜的圖形中的，需要？m當(dāng)添加輔助線構(gòu)建基礎(chǔ)圖形才能逐漸清晰明朗.要培養(yǎng)構(gòu)建能力就要求教師在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察基礎(chǔ)圖形，正確理解基礎(chǔ)圖形的關(guān)鍵特征，清楚基礎(chǔ)圖形的核心要素，豉勵(lì)學(xué)生大膽嘗試補(bǔ)充添加輔助線以達(dá)到補(bǔ)齊基礎(chǔ)圖形所需要的全部核心要素的目的.

9、行之有效的方法之一就是將簡單的基礎(chǔ)模型進(jìn)行各種變式，逐漸將圖形復(fù)雜化，將小問題深化；行之有效的方法之二就是在各個(gè)綜合題中抽取由簡單的基礎(chǔ)模型，雙向思維訓(xùn)練，不斷培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的邏輯性和嚴(yán)密性.？例如圖8,對于這個(gè)蝶形的基礎(chǔ)圖形進(jìn)行分析時(shí)還可以補(bǔ)充練習(xí)，以期達(dá)到夯實(shí)“基礎(chǔ)模型”的教學(xué)效果.這一系列補(bǔ)充練習(xí)完成之后再引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，就能自然地將上述兩種教學(xué)方法比較完整地體現(xiàn)，這類“蝶形”基礎(chǔ)圖形就能夠牢牢地扎根于學(xué)生的腦海之中.2 .初三復(fù)習(xí)課的教學(xué)提倡“題組設(shè)計(jì)”由于初三數(shù)學(xué)課"時(shí)間緊任務(wù)重”的特點(diǎn)，教師善于將典型問題作為源問題，將典型例題中的核心知識(shí)點(diǎn)在不同問題情境中呈現(xiàn)由來.通過內(nèi)

10、在的一條線（也就是基礎(chǔ)圖形），把它們集中成一個(gè)問題串，引導(dǎo)學(xué)生對解題思路、解題策略進(jìn)行歸納總結(jié)，使學(xué)生形成一個(gè)有機(jī)認(rèn)知體系，從而起到舉一反三、觸類旁通的效果.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生自主探究，在反思問題的解題方法以及解題思路是否具有規(guī)律性的同時(shí)，再思考是否可以將這些思路和方法遷移到類似的問題中去；其次在反思圖形的結(jié)構(gòu)和位置發(fā)生改變的同時(shí)，弱化或加強(qiáng)命題的條件，結(jié)論能否拓展、引中、推廣.平時(shí)加強(qiáng)對學(xué)生一題多變的題組訓(xùn)練，可以深化他們自覺地對問題進(jìn)行理解，優(yōu)化學(xué)生的思維過程，完善他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高他們自主探究這一類問題的能力，分析解決這類問題的能力也在不同程度上得到了提高.例如這道2015年浦東一

11、?？荚嚨膲狠S題建議跟2016年淄博的24題放在一起編成“互逆式”題組進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)和講解:如圖11,正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別是邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C,D重合)，AM,AN分別交BD于點(diǎn)E,F,且/MAN始終保持45不變.(2)求證：AFXFM;(3)請?zhí)剿鳎涸?MAN的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/BAM等于多少度時(shí)，/FMN=/BAM?寫由你的探索結(jié)論，并加以證明.另外，對于2015年上海市浦東新區(qū)一模第25題的第(2)問：設(shè)AE=x,EG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫由函數(shù)的定義域，如果課堂上時(shí)間充裕，教師還可以在“設(shè)AE=x”這一條件不變的基礎(chǔ)上，將函數(shù)進(jìn)行變化，讓

12、DE=y,BE=y,AF=y,FB=y,EF=y,FG=y,BG=y,CG=y甚至于MG=y,要求學(xué)生求生y關(guān)于x的函數(shù)解析式.利用這樣的題組教學(xué)可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生“用字母表示數(shù)”的基本能力，進(jìn)一步拓展“平行線分線段成比例”定理的應(yīng)用，進(jìn)一步形成“鎖鏈?zhǔn)健弊兪筋}組，逐漸豐滿復(fù)習(xí)課的層次和內(nèi)容.3 .提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的立意與品味中考復(fù)習(xí)的目的不僅僅是簡單地再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和熟練各種應(yīng)用，更重要的是在于幫助學(xué)生深化對數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí).由于這些“聯(lián)系”大部分都是隱性的，僅僅依靠學(xué)生自己復(fù)習(xí)很難發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候即使發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律性的東西也只是一閃而過，很難自行總結(jié)歸納.這就要求初三數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課的時(shí)候

13、立意要高，不能夠就題講題，以題論題，而應(yīng)該讓學(xué)生清楚地“知其然”，主動(dòng)地“知其所以然”，積極探索“何以知其所以然”.日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)課堂上充滿了數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)題目，但所有的數(shù)學(xué)教學(xué)行為不能夠游離于數(shù)學(xué)思想方法之外，一旦游離，數(shù)學(xué)知識(shí)就？?失去其真正的落腳點(diǎn)，數(shù)學(xué)題目的講解便會(huì)降低有效性和遷移效果.每道數(shù)學(xué)題目猶如語文中的一篇范文，自身的主題或中心思想的挖掘需要對試題有足夠的理解和把握，這個(gè)理解和把握的過程往往借助數(shù)學(xué)思想方法來完成.本文選取的這道壓軸題的前兩問無不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，尤其是對第（2）問幾種解法的不斷探索過程中，突生了“以形助數(shù)”的效果；第（3）問的解答過程中也離不開分類討

14、論和方程思想的具體實(shí)現(xiàn).不斷提醒、總結(jié)和歸納，不僅能夠夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，而且能夠使教師自身在繁忙復(fù)雜的日常教學(xué)工作中享受到創(chuàng)作感和設(shè)計(jì)感帶來的愉悅心情.回顧分析研究第（2）問的過程，從一開始相對機(jī)械地添加垂線利用勾股定理解由函數(shù)解析式，到再思、三思而得由四種不同的解法，我們不難發(fā)現(xiàn)其實(shí)方法四是利用“蝶形”或“四點(diǎn)共圓”的基礎(chǔ)圖形來探求兩條線段的函數(shù)關(guān)系式，這種方法既是回答第（2）問的簡便方法，又是解決問題的通法.學(xué)生解題后不反思，就不能及時(shí)優(yōu)化解題過程，無法鍛煉數(shù)學(xué)思維；教師講題后不反思，就無法提高理解水平，無法提高研究水準(zhǔn).其實(shí)在每節(jié)數(shù)學(xué)課中，在每道題目的證明和解答中，學(xué)生收獲最大的并不是得到正確答案，也不是具備解決這類問題的能力，而是真實(shí)感受到數(shù)學(xué)研究的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和方法，享受多種解法相互碰撞產(chǎn)生的思維火花，感悟各種方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，從而對今后的學(xué)習(xí)和生活帶來深遠(yuǎn)的影響.數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的理性精神以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想