自動(dòng)控制原理教案-自控學(xué)習(xí)與解題指導(dǎo)1

1、1>>vv自動(dòng)控制理論課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與解題指導(dǎo)理工學(xué)院自動(dòng)化系二零零三年七月第一章自控理論基本概念本章作為緒論，已較全面地展示了控制理論課程的全貌，敘述了今后 在課程的學(xué)習(xí)中要進(jìn)行研究的各個(gè)環(huán)節(jié)內(nèi)容和要點(diǎn)，為了今后的深入學(xué)習(xí) 和理解，要特別注意本章給出的一些專業(yè)術(shù)語及定義。1基本要求（1）明確什么叫自動(dòng)控制，正確理解被控對(duì)象、被控量、控制裝置和 自控系統(tǒng)等概念。（2）正確理解三種控制方式，特別是閉環(huán)控制。（3 ）初步掌握由系統(tǒng)工作原理圖畫方框圖的方法，并能正確判別系統(tǒng) 的控制方式。（4）明確系統(tǒng)常用的分類方式，掌握各類別的含義和信息特征，特別 是按數(shù)學(xué)模型分類的方式。（5）明確對(duì)自控

2、系統(tǒng)的基本要求，正確理解三大性能指標(biāo)的含義。2. 內(nèi)容提要及小結(jié)（1）幾個(gè)重要概念自動(dòng)控制 在沒有人直接參與的情況下，利用控制器使被控對(duì)象的被 控量自動(dòng)地按預(yù)先給定的規(guī)律去運(yùn)行。自動(dòng)控制系統(tǒng)指被控對(duì)象和控制裝置的總體。這里控制裝置是一個(gè)廣 義的名詞，主要是指以控制器為核心的一系列附加裝置的總和。共同構(gòu)成 控制系統(tǒng)，對(duì)被控對(duì)象的狀態(tài)實(shí)行自動(dòng)控制，有時(shí)又泛稱為控制器或調(diào)節(jié)被控對(duì)象自動(dòng)控制系統(tǒng)跆定元件 測(cè)量元件 控制裝置（控制器）較元件放大兀件執(zhí)行元件校正元件負(fù)反饋原理 把被控量反送到系統(tǒng)的輸入端與給定量進(jìn)行比較，利用 偏差引起控制器產(chǎn)生控制量，以減小或消除偏差。（2） 三種基本控制方式實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制

3、的基本途徑有二：開環(huán)和閉環(huán)。實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的主要原則有三：主反饋原則一一按被控量偏差實(shí)行控制。補(bǔ)償原則按給定或擾動(dòng)實(shí)行硬調(diào)或補(bǔ)償控制。復(fù)合控制原則 閉環(huán)為主開環(huán)為輔的組合控制。（3 ）系統(tǒng)分類的重點(diǎn)重點(diǎn)掌握線性與非線性系統(tǒng)的分類，特別對(duì)線性系統(tǒng)的定義、性質(zhì)、3判別方法要準(zhǔn)確理解。線性系統(tǒng)描述'常系數(shù)微分方程宀常傳遞函數(shù)疋吊頻率特性狀態(tài)方程時(shí)域法分析法根軌跡法'頻率法狀態(tài)方程非線性系統(tǒng)時(shí)變丿I'變系數(shù)微分方程、狀態(tài)方程分析法時(shí)域法"、狀態(tài)空間法描述J非線性微分方程I狀態(tài)方程分類'非本質(zhì)一出T線性化法本質(zhì)一 分析法Ti狀態(tài)空間法描述函數(shù)法相平面法#(4) 正

4、確繪制系統(tǒng)方框圖繪制系統(tǒng)方框圖一般遵循以下步驟： 搞清系統(tǒng)的工作原理，正確判別系統(tǒng)的控制方式。 正確找出系統(tǒng)的被控對(duì)象及控制裝置所包含的各功能元件。 確定外部變量(即給定值、被控量和干擾量)，然后按典型系統(tǒng)方框圖的連接模式將各部分連接起來。(5) 對(duì)自控系統(tǒng)的要求對(duì)自控系統(tǒng)的要求用語言敘述就是兩句話：要求輸出等于給定輸入所要求的期望輸出值；要求輸出盡量不受擾動(dòng)的影響。恒量一個(gè)系統(tǒng)是否完成上述任務(wù)，把要求轉(zhuǎn)化成三大性能指標(biāo)來評(píng)價(jià)：穩(wěn)定系統(tǒng)的工作基礎(chǔ)；快速、平穩(wěn)動(dòng)態(tài)過程時(shí)間要短，振蕩要輕。準(zhǔn)確一一穩(wěn)定精度要高，誤差要小。解題示范例1-1 圖1 1為液位自動(dòng)控制系統(tǒng)示意圖。 在任何情況下，希望液面

5、高度C維持不變。試說明系統(tǒng)工作原理，并畫出系統(tǒng)原理方框圖。圖11液位自動(dòng)控制系統(tǒng)解：1、工作原理：閉環(huán)控制方式。當(dāng)電位器電刷位于中點(diǎn)位置時(shí)，電動(dòng)機(jī)不動(dòng)，控制閥門有一定的開度， 使水箱中流入水量和流出水量相等，從而液面保持在希望高度上。當(dāng)進(jìn)水 或出水量發(fā)生變化，例如液面下降，通過浮子和杠桿檢測(cè)出來，使電位器 電刷從中點(diǎn)位置上移，從而給電動(dòng)機(jī)提供一定的控制電壓，驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)通 過減速器開大閥門開度，使液位上升，回到希望高度。電位器電刷回到中 點(diǎn)，電動(dòng)機(jī)停止。2、被控對(duì)象是水箱，被控量是水箱液位，給定量是電位器設(shè)定位置 （代 表液位的希望值）。主擾動(dòng)是流出水量。系統(tǒng)的方框圖如圖12所示。控制器注入（I

6、I）控制系統(tǒng)方塊圖圖1 2液位自動(dòng)控制系統(tǒng)方框圖。例1 2圖13為自動(dòng)調(diào)壓系統(tǒng)。試分析系統(tǒng)在負(fù)載電流變化時(shí)的穩(wěn)壓過程，并繪出系統(tǒng)方框圖圖1 - 3自動(dòng)調(diào)壓系統(tǒng)解：1、工作原理：順饋控制。當(dāng)負(fù)載電流If變化時(shí)，發(fā)電機(jī) G的電樞繞組壓降也隨之改變，造成端 電壓不能保持恒定，因此，負(fù)載電流變化對(duì)穩(wěn)壓控制來說是一種擾動(dòng)。采 用補(bǔ)償措施，將電流If在電阻R上的壓降檢測(cè)出來，通過放大，來改變發(fā) 電機(jī)的勵(lì)磁電流If，以補(bǔ)償電樞電壓的改變，使其維持恒定。2、被控對(duì)象是發(fā)電機(jī) G,被量是電樞端電壓 UF，給定值是勵(lì)磁電壓 UF， 擾動(dòng)量是負(fù)載電流If。系統(tǒng)方框圖為1 4所示。圖1-4自動(dòng)調(diào)壓系統(tǒng)方框圖例1 3直

7、流穩(wěn)壓電源原理圖為圖 1 5所示，試畫出方框圖，分析工 作原理。圖15 直流穩(wěn)壓電源原理圖解：1、工作原理：反饋控制實(shí)際輸出電壓U2由F3和R組成分壓器檢測(cè)出來，與給定值Uw進(jìn)行比較, 產(chǎn)生的偏差電壓 BG進(jìn)/行放大，作用于BG。由BG對(duì)輸出電壓進(jìn)行調(diào)整, 這里的偏差電壓僅隨 U2變化。由BG反相放大后產(chǎn)生UC，這是系統(tǒng)的控制量。 通過BG進(jìn)行輸出電壓自動(dòng)調(diào)節(jié)，維持 U2恒定。假如 U2/, Ua/, Ibl/ , Uc/, Ib2/, UEd/, U2/。若 U2/f Ua/f I blUC /f I b2 /f LEd/t U2 /圖1 6穩(wěn)壓電源方框圖Ui是系統(tǒng)的供電輸入電壓，若電網(wǎng)波動(dòng)

8、，也會(huì)使U變化。因此，對(duì)系統(tǒng)來說，Ui的變化是造成 U2電壓波動(dòng)的干擾因素，屬于擾動(dòng)信號(hào)，也可以 通過反饋回路加以抑制。2、控對(duì)象不是一個(gè)具體的設(shè)備，而是一個(gè)穩(wěn)壓過程，被控量是輸出電 壓U2，給定值是 U,擾動(dòng)量是U。當(dāng)然，當(dāng)系統(tǒng)輸出接負(fù)載后，負(fù)載的變 化，將對(duì)輸出電壓產(chǎn)生直接的影響，是主擾動(dòng)。例1-4角位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖如圖 1 7所示。系統(tǒng)的任務(wù)是控制工作機(jī)械角位置Q，隨時(shí)跟蹤手柄轉(zhuǎn)角 Q。試分析其工作原理，并畫出系統(tǒng)方框圖。圖1 7角位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖解：1、工作原理：閉環(huán)控制。只要工作機(jī)械轉(zhuǎn)角9 C與手柄轉(zhuǎn)角9 r 一致，兩環(huán)形電位器組成的橋式電 路處于平衡狀態(tài)，無電壓輸出。此時(shí)表示跟

9、蹤無偏差。電動(dòng)機(jī)不動(dòng)，系統(tǒng) 靜止。如果手柄轉(zhuǎn)角9 r變化了，則電橋輸出偏差電壓，經(jīng)放大器驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn) 動(dòng)。通過減速器拖動(dòng)工作機(jī)械向 9 r要求的方向偏轉(zhuǎn)。當(dāng)9 c= 9 r時(shí)，系統(tǒng)達(dá) 到新的平衡狀態(tài)，電動(dòng)機(jī)停轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)角位置跟蹤目的。2、系統(tǒng)的被控對(duì)象是工作機(jī)械，被控量是工作機(jī)械的角位移。給定量是手柄的角位移?？刂蒲b置的各部分功能元件分別是：手柄完成給定，電 橋完成檢測(cè)與比較，電動(dòng)機(jī)和減速器完成執(zhí)行功能。系統(tǒng)方框圖見圖1&圖1-8位置隨動(dòng)系統(tǒng)方框圖。第二章自控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章講述的內(nèi)容很多，牽扯到數(shù)學(xué)和物理系統(tǒng)的一些理論知識(shí)，有些需要進(jìn)一步回顧，有些需要加深理解，特別是對(duì)時(shí)間域和復(fù)

10、頻率域的多種數(shù)學(xué)描 述方法，各種模型之間的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系，都比較復(fù)雜。學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)好這些基礎(chǔ)理論，對(duì)下一步深入討論自控理論具體方法至關(guān)重要。1、基本要求（1 ）確理解數(shù)字模型的特點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的相似性、簡(jiǎn)化性、動(dòng)態(tài)模型、靜 態(tài)模型、輸入變量、輸出變量、中間變量等概念，要準(zhǔn)確掌握。（2） 了解動(dòng)態(tài)微分方程建立的一般方法及小偏差線性化的方法。（3 ）掌握運(yùn)用拉氏變換解微分方程的方法，并對(duì)解的結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)模態(tài)與 特征根的關(guān)系，零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)等概念，有清楚的理解。（4）會(huì)用MATLAB方法進(jìn)行部分方式展開。對(duì)低階的微分方程，能用 部分分式展開法或留數(shù)法公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。（5 ）正確理傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)

11、和意義，特別對(duì)傳遞函數(shù)微觀結(jié)構(gòu)的 分析要準(zhǔn)確掌握。（6） 正確理解由傳遞函數(shù)派生出來的系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)傳遞函 數(shù)，前向傳遞函數(shù)的定義，并對(duì)重要傳遞函數(shù)如：控制輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)， 擾動(dòng)輸入下閉環(huán)傳遞數(shù)函數(shù)， 誤差傳遞函數(shù)，典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，能夠熟練 掌握。（7） 掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖兩種數(shù)學(xué)圖形的定義和組成方法，熟練 地掌握等效變換代數(shù)法則，簡(jiǎn)化圖形結(jié)構(gòu)，并能用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。（8） 正確理解兩種數(shù)學(xué)模型之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 兩種數(shù)學(xué)圖型之間對(duì)應(yīng)關(guān) 系，以及模型和圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 利用以上知識(shí)，熟練地將它們進(jìn)行相 互轉(zhuǎn)換。2、內(nèi)容提要及小結(jié)本章主要介紹數(shù)學(xué)模型的建立方法，作

12、為線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式，介 紹了兩種解析式和兩種圖解法， 對(duì)于每一種型式的基本概念， 基本建立方法 及運(yùn)算，用以下提要方式表示出來。（1）微分方程式'物理、化學(xué)及專業(yè)上的基本定律甘*血人中間變量的作用基本概念簡(jiǎn)化性與準(zhǔn)確性要求J小偏差線性化理論原始方程組直接列寫法線性化消中間變量 化標(biāo)準(zhǔn)形R(s) N(s)N(s)由傳遞函數(shù)c(sM(S)R(s)r N(s)C(s)二M(s)R(s)轉(zhuǎn)換法L -1pLN(p)c(t) =M(p)r(t)dt微分方程由結(jié)構(gòu)圖，傳遞函數(shù) > 微分方程 由信號(hào)流圖，傳遞函數(shù) > 微分方程方程求解T掌握拉氏變換法求解微分方程丿'零狀態(tài)解零

13、輸入解9#常用重要例題建模磁場(chǎng)控制直流電動(dòng)機(jī)直流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)傳遞函數(shù)#定義-比值IS線性定常系統(tǒng)零初始條件一對(duì)確定的輸入輸出#基本概念丿微觀結(jié)構(gòu)零點(diǎn)（零極點(diǎn)分布圖與運(yùn)動(dòng) 模態(tài)對(duì)應(yīng)）極點(diǎn)傳遞函數(shù)#r標(biāo)準(zhǔn)解析式丿方程式傳遞函數(shù)#典型環(huán)節(jié)2零極點(diǎn)分布圖單位階躍響應(yīng)特性d定義法T由微分方程一傳遞函數(shù)由結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)'傳遞函數(shù)由信號(hào)流圖梅遜公式、傳遞函數(shù)G（s）=G匚（適用于單回路）公式彳|1 土gk（適用于回路兩兩交叉）G前#常用重要公式及傳遞函數(shù)#重要傳遞函數(shù)I擾動(dòng)輸入下:R(s)E(s)控制輸入下:Gr (s) =3©(滬2 r I(s) rG (s) C(s) GGd (s), G

14、 dd D(s) d D(s)#（3）結(jié)構(gòu)圖#數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的圖形表基本概念相加點(diǎn)、分支點(diǎn)、支路）可用代數(shù)法則進(jìn)行等效變換 構(gòu)圖基本元素4種（方框、 由原始方程組畫結(jié)構(gòu)圖#基本方法用代數(shù)法則簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖由梅遜公式直接求傳遞串聯(lián)相乘并聯(lián)相加反饋連接=丄向1 +開環(huán)i 相加點(diǎn)和分支點(diǎn)移位 函數(shù)。11注意幾點(diǎn):1、相加點(diǎn)與分支點(diǎn)相鄰，一般不能隨便交換。c坐亠存舌E曲前向通路的傳遞函數(shù)乘 積保持不變2、等效原則兩條丿、各回路中傳遞函數(shù)乘積 保持不變3、直接應(yīng)用梅遜公式時(shí)，負(fù)反饋符號(hào)要記入反饋通路中的方框中去。 另外對(duì)于互不接觸回路的區(qū)分，特別要注意相加點(diǎn)與分支點(diǎn)相鄰處的情況。4、結(jié)構(gòu)圖可同時(shí)表示多個(gè)輸入與

15、輸出的關(guān)系，這比其它幾種解析式模型方便的多，并可由圖直接寫出任意個(gè)輸入下總響應(yīng)。如：運(yùn)用疊加原理， 當(dāng)給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用時(shí)，則有qs) = G(s) &s) + G(s)D(s)(4 )信號(hào)流圖同結(jié)構(gòu)圖一致基本概念井一-'構(gòu)圖元素2種改進(jìn)點(diǎn)丿、有統(tǒng)一的公式求傳遞函數(shù)由原始方程組畫信號(hào)流圖基本方法丿結(jié)構(gòu)圖翻譯成信號(hào)流圖代數(shù)法則同結(jié)構(gòu)圖一致n二.GK 二 K重要公式梅遜公式梅遜公式G =心A注意兩點(diǎn)：1、搞清公式中各部分含義；2、公式只能用于等輸入節(jié)點(diǎn)與較出節(jié)點(diǎn)之間的傳播，不能等不含輸入節(jié)點(diǎn)情況下，任意兩混合節(jié)點(diǎn)之間的傳較。四種模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可用圖2 81表示圖2 81

16、模型轉(zhuǎn)換解題示范例2-1 彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2-1示,系統(tǒng)為無質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。解：(1)設(shè)輸入為yr，輸出為y0。彈簧與阻尼器并 聯(lián)平行移動(dòng)。(2)列寫原始方程式，由于無質(zhì)量按受力平衡方程，各處任何時(shí)刻，均滿足 a F =0,則對(duì) 圖2-1機(jī)械位移系統(tǒng)于A點(diǎn)有F f FK1 - FK2 - 0其中，F(xiàn)f為阻尼摩擦力，F(xiàn)q，F(xiàn)k2為彈性恢復(fù)力。Ffd(y-yo)dt(3)寫中間變量關(guān)系式13Fk1 =K1(Yr -Yo)FK2 - K 2y 0(4)消中間變量得f 虬一 f 嘰 Ky -3。二©yo dt dt(5)化標(biāo)準(zhǔn)形其中:T =K1 K2K1K2T哋dt

17、yo =T普Kyr為時(shí)間常數(shù)，單位為傳遞函數(shù)，無量綱。例2-2 已知單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)如圖2-2示。(1) 寫出運(yùn)動(dòng)方程式(2) 求取線性化方程解：(1)設(shè)輸入外作用力為零，輸出為擺角，擺球質(zhì)量為m。(2)由牛頓定律寫原始方程。#其中, 力。"d2二m(l 亍)=-mgsin r _ h dtl為擺長(zhǎng)，lv為運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)，h為空氣阻/(3)寫中間變量關(guān)系式h (I 蘭)dt式中,a為空氣阻力系數(shù)|d為運(yùn)動(dòng)線速度。dt(4)消中間變量得運(yùn)動(dòng)方程式 d, d-.門牙 al mgs i n 0*圖2-2單擺運(yùn)動(dòng)ml dt2 dt此方程為二階非線性齊次方程。(5)線性化由前可知，在= 0的附近，非線

18、性函數(shù)sinv程為(2-1)，故代入式(2-1 )可得線性化方15i d2. d.門mlal mg j - 0dt2 dt例2-3已知機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。圖2-3 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)#解：(1 )設(shè)輸入量作用力矩Mf,輸出為旋轉(zhuǎn)角速度(2)列寫運(yùn)動(dòng)方程式d Jf M fdt式中，f為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。(3)整理成標(biāo)準(zhǔn)形為此為一階線性微分方程，若輸出變量改為二則由于CO = dt代入方程得二階線性微分方程式#J寫dt2f d M f dt#例2-4設(shè)有一個(gè)倒立擺安裝在馬達(dá)傳動(dòng)車上。如圖2-4所示。圖2-4倒立擺系統(tǒng)17#倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔?/p>

19、在它上面，它將隨時(shí)可能向任何方向傾倒，這里只考慮二維問題，即認(rèn)為倒立擺只在圖2-65所示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)?？刂屏作用于小車上。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心A。試求該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式。解：（1）設(shè)輸入為作用力 u，輸出為擺角v。（2）寫原始方程式，設(shè)擺桿重心A的坐標(biāo)為（Xa, yA）于是Xa = X + Isin vXy = Icos v畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖25所示。#圖2-5隔離體受力圖#擺桿圍繞重心A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:d2:J 2 Vl sin v - HI cost dt式中，J為擺桿圍繞重心A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。擺桿重心A沿X軸方向運(yùn)動(dòng)方程為：(2 2)d2XAHm - Hdt2d 2m- (x l

20、 sin v) = Hdt2(2 3)擺桿重心A沿y軸方向運(yùn)動(dòng)方程為:d 2yAm筍二V - mgdtd2m (l cost) =V -mgdt2小車沿x軸方向運(yùn)動(dòng)方程為:d2x .Mu - Hdt2方程(2 2),方程(2 3)為車載倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程組。因?yàn)楹衧i nr和cosr項(xiàng)所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。(3)當(dāng)很小時(shí)，可對(duì)方程組線性化，由si nr疋乙同理可得到cos- 1則方程式(2 2)式(2 3)可用線性化方程表示為：d2日口J- =VI日一HIdt2d2xd2日mp ml-H dt2dt20 =V - mgd2x,M = u H dt2用s2 4的算子符號(hào)將以

21、上方程組寫成代數(shù)形式，消掉中間變量將微分算子還原后得(Mlm j)s (M m)g J - uml(Ml ml此為二階線性化偏量微分方程。例2-5 RC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖MJ m)g l dt2dt2 6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,并求傳遞函數(shù)U c(S)/Ur(S)。19圖2-6 RC無源網(wǎng)絡(luò)21解：在線性電路的計(jì)算中，引入了復(fù)阻抗的概念，則電壓、電流、復(fù)阻抗之間的 關(guān)系，滿足廣義的歐姆定律。即：瞠=Z(s)l(s)如果二端元件是電阻R、電容C或電感L,則復(fù)阻抗 Z(s)分別是R、1/C s或L s 。用復(fù)阻抗寫電路方程式：1Ii(S) =Ur(S) -Uci(S) Ri1 Uci

22、(S)二l1(s)-l2(S)C1S1l2(S)二Uc1(S) -Uc2(S)-R21Vc2(S) =l2(S)C2S將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，見圖2- 6 ( a)。用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)的過程見圖2-6 (c)、(d)、(e)。W.KiCi 3(a)Iit：(b)R(耳1n(c)""""比m'+ufe+尺廠+RQb+i(d)圖2-6RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖用梅遜公式直接由圖2-6(b)寫出傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。獨(dú)立回路有三個(gè):L3回路相互不接觸的情況只有由上式可寫出特征式為:=1-4通向前路只有一條、Gk.K

23、11-1"RC1S 一R1C1S11-1R2C2SR2C2 S11-1LiL2CiS R2R2C1SLi和L2兩個(gè)回路。則12R1C1R2 C2 S亠L(fēng)2 亠 L3) _ L|L2 =1 亠R1C1S1 1+R2 C2SR2C1 s1R1C1R2C2 S1 2G111112R1 C1S R2 C2 SR1R2C1C2S由于G1與所有回路L1,L2,L3都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為 1=1代入梅遜公式得傳遞函數(shù)R1C1 R2C2S1G1g 二也 1 +1 +一:一 +一:一 +1nR1C1SR2C2SR2C1SR1C1R2C2S#解：圖2-7中乙和Zf表示運(yùn)算放大器外部電路

24、中輸入支路和反饋支路復(fù)阻抗,#設(shè)A點(diǎn)為虛地，即 Ua 0，運(yùn)算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流，于是：Ii = I2則有:5(s) = li(s)Z gUc(s)»l2(s)Zf (s)故傳遞函數(shù)為G(s)二Uc(s)UTisZf(s)(2 4)對(duì)于由運(yùn)算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，式(圖2-8所示PI調(diào)節(jié)器，有24)可看作計(jì)算傳遞函數(shù)的一般公式，對(duì)于Zi (s)二 RZf (S) =R2CSG(s)戸Zf (s)Zi(s)R21csRi_ R2CS 1-RiCS23#例2-7求下列微分方程的時(shí)域解x (t)。已知x(0) =0,x(0) =3。d2x dx2 36x =0dt2 dt解：

25、對(duì)方程兩端取拉氏變換為：S2X(s) -Sx(0) -x(0) 3SX(s) -3x(0)6X(s) =0代入初始條件得到2(S2 3S 6)X(s) =3解出X (s)為:X(s)=32S2 3S 62、35 (S 1.5)2 (于)2#反變換得時(shí)域解為:x(t)二2351.5tesin(t)#例2-8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-9所示，試用化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。圖2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖|&|CL1t-i-C/W圖2-10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化#圖2-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：（1 ）首先將含有 G2的前向通路上的分支點(diǎn)前移，移到下面的回環(huán)之外。如圖 2-10 （a）所示。（2 ）將反饋環(huán)和并

26、連部分用代數(shù)方法化簡(jiǎn)，得圖2-10（ b ）。（3）最后將兩個(gè)方框串聯(lián)相乘得圖2-10（ c）。例2-9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-11所示，試用化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。解：（1） 將兩條前饋通路分開，改畫 成圖2-12（ a）的形式。（2） 將小前饋并聯(lián)支路相加，得 圖 2-12（ b）。（3）先用串聯(lián)公式，再用并聯(lián)公式將支路化簡(jiǎn)為圖2-12（ c）。#圖2-12 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖#例2-10已知機(jī)械系統(tǒng)如圖2-13 （a）所示，電氣系統(tǒng)如圖2-13 （ b）所示，試畫（b ）電氣系統(tǒng)出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。（a）機(jī)械系統(tǒng)圖2-13 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：（1）若圖2-1

27、3（a）所示機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，遵循以下原則并聯(lián)元件的合 力等于兩元件上的力相加，平行移動(dòng)，位移相同，串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移 等于各元件相對(duì)位移之和。微分方程組為:F = RF2 = h(為-xo)心區(qū)-Xo)F = f2(Xo -y)F = K2 y取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有:F(s)=(f1s+KJ(Xi (s)-x°(S)1<y(S)= F(S)K21Xo(s) =F(s) +y(s)f2s畫結(jié)構(gòu)圖如圖 2 14:圖2-14機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖25求傳遞函數(shù)為:X°(s)i(k1flS)(k2if2s1(kifiS)(1k2f2S(f1 S 1)(lk；

28、S 1)#(2) 寫圖2-13 ( b)所示電氣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，按電路理論，遵循的定律與機(jī)械 系統(tǒng)相似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等, 總電壓等于各元件分電壓之和，可見，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。運(yùn)動(dòng)方程可直接用復(fù)阻抗寫出:1I(S) = 11S + 12(s) = Ei (s) Ei (s) +C1S( Ei (s)- E°(s) R11s)=£【E°(s)Ec2(s)1 =C2 S * EC 2(s)整理成因果關(guān)系:1l(s)=( +Gs)(Ei (s) E°(s) R11<Ec2(s)=cl(s

29、)C2 SE0 (s) = IR2 + EC2 (s)畫結(jié)構(gòu)圖如圖2-15所示:#求傳遞函數(shù)為:Eo(s)Ei(s)1C1S)(R2 亦)R11C1S)(R21C2S(RGS 1)(R2C2S T)(RGS 1)(R2C2s 1) R1C2S#對(duì)上述兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較后可以看出。兩個(gè)系統(tǒng)是相似的。機(jī) 電系統(tǒng)之間相似量的對(duì)應(yīng)關(guān)系見表2-1。表2-1相似量機(jī)械系統(tǒng)XiX0yFF1F2K11/K2f1f2電氣系統(tǒng)eieoec2i1/RRC1C2例2-11 RC網(wǎng)絡(luò)如圖2-16所示，其中U1為網(wǎng)絡(luò)輸入量，U2為網(wǎng)絡(luò)輸出量。27#(1) 畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖;(2)求傳遞函數(shù)U2(s)/ Ui(

30、s)。解：(1)用復(fù)阻抗寫出原始方程組。輸入回路U1 = R|I1 (I1 I 2)1C2 s輸出回路中間回路U 2 = R2 I 2(I1 I2)1C2 s圖2-16 RC網(wǎng)絡(luò)I1R1 = (R21C1s)#(3) 整理成因果關(guān)系式。U1 (I 1Gs 1 GsRC2SRgGs 1 C2S&Gs 11. Gs 丄RC2SR2C1S 1 C2 s R1R2C1C2 s +(R1 + R2 )CS +12R1R2C1C2 s(R1C2 R2C1 R1C1 )s 1 2) _C2S:C1sI2 =I1R11R2C1s1U2二R2I2 (I1 I2)1C2S#即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2-17所示。

31、#(4) 用梅遜公式求出：R2U 2 G :1 G2 :2 ' G3 U1 一#例2-12已知系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖2-18所示，試求傳遞函數(shù)C(s)/ R(s)。2 La =上勺G2 G3 GjG?兩個(gè)互不接觸的回路有4組，即為 LbLc =GiG? +G1G3 +G2G3 +G1G2G3三個(gè)互不接觸的回路有1組，即二 LdLeLf 二-G1G2G3于是，得特征式為.: =1 La -工 LbLc -、LdLeLf二 1 :Gi G2 ' G3 2G1G2 : G1G3 :G2G3 ' 2G1G2G3從源點(diǎn)R到阱節(jié)點(diǎn)C的前向通路共有 4條，其前向通路總增益以及余因子式分別

32、 為p =g1g2g3k鳥=1P2 =G2G3K- 2 =1 G1P3 = G1G3K匚3 =1 G2巳-G1G2G3 K丄4 1因此，傳遞函數(shù)為C(s) _ 取勺 P2厶2 補(bǔ) 1R(s) 一G2G3KCI +G)+GjG3K(1+G2)1 ' G1 ' G2 G3 2G1G2 G1G3 G2G 3 2G G2G329第三章自控系統(tǒng)的時(shí)域分析1. 基本要求通過本章的學(xué)習(xí)，希望能夠做到：(1) 正確理解時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)(Mp、tr、td、tp、ess等)、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的型 別和靜態(tài)誤差系數(shù)等概念。(2) 牢固掌握一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和典型時(shí)域響應(yīng)的特點(diǎn)，并能熟練計(jì)算其性能 指標(biāo)

33、和結(jié)構(gòu)參數(shù)。(3) 牢固掌握二階系統(tǒng)的各種數(shù)學(xué)模型和階躍響應(yīng)的特點(diǎn)，并能熟練計(jì)算其欠阻 尼時(shí)域性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)參數(shù)。(4) 正確理解線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，熟練地應(yīng)用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(5) 正確理解和重視穩(wěn)態(tài)誤差的定義并能熟練掌握essr、essn的計(jì)算方法。明確終 值定理的使用條件。(6) 掌握改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能及提高系統(tǒng)控制精度的措施。2. 內(nèi)容提要(1) 時(shí)域分析法是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)，來分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。工程上常用單位階躍響應(yīng)的 超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的優(yōu)劣。許多自動(dòng)控制系統(tǒng)，經(jīng)過參數(shù)整定和調(diào)試，

34、其動(dòng)態(tài)特征往往近似于一階或二階系統(tǒng)。因此一、二階系統(tǒng)的理論分析結(jié)果，常是高階系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。(2) 時(shí)域分析法的基本方法是拉氏變換法：結(jié)構(gòu)圖 ；qs)二 C (s) = G(s)R (s) c (t) = L-1CR(s)(s)(3) 時(shí)域分析(i ) 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性應(yīng)用一階微分方程描述。一階系統(tǒng)只有一個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，即其時(shí)間常數(shù)T。時(shí)間常數(shù) T反應(yīng)了一階系統(tǒng)的慣性大小或阻尼程度。一階系統(tǒng)的性能由其時(shí)間常數(shù)T唯一決定。一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T,也可由實(shí)驗(yàn)曲線求出。(ii)二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的性能分析，在自動(dòng)控制理論中有著重要的地位。二階系統(tǒng)含有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，即阻尼比E和無

35、阻尼振蕩頻率5。阻尼比E決定著二階系統(tǒng)的響應(yīng)模態(tài)。E=0時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為無阻尼響應(yīng)；E=1時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)；E>1時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)是過阻尼的；0 < E< 1時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為欠阻尼響應(yīng)。欠阻尼工作狀態(tài)下，合理選擇阻尼比E的取值，可使系統(tǒng)具有令人滿意的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有Mp、tr、td、tp, ts, 方面可以從響應(yīng)曲線上讀?。欢撬鼈兣c8必有相應(yīng)的關(guān)系，只要已知 8 5,就能很容易求出動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。(4) 穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是決定其能否正常工作的前提條件。任何不穩(wěn)定的系統(tǒng)，在工程上都是毫無使用價(jià)值的。穩(wěn)定，是指系統(tǒng)受到擾動(dòng)偏離原來的 平衡狀態(tài)

36、后，去掉擾動(dòng)，系統(tǒng)仍能恢復(fù)到原工作狀態(tài)的能力。應(yīng)當(dāng)特別注意， 線性系統(tǒng)的這種穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，而與初始條件和外 作用的大小及形式無關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根都具有負(fù)的實(shí)部，或閉 環(huán)特征根都分布在左半 s平面。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最直接的方法是求出系統(tǒng)的全部閉環(huán)特征根。但是求解高階 特征方程的根是非常困難的。工程上，一般均采用間接方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯 判據(jù)是最常用的一種間接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。應(yīng)用閉環(huán)特征方程各項(xiàng)的系數(shù)列寫勞斯表，勞斯表各行第一列元的符號(hào)變化次數(shù)，即為系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定的根的個(gè)數(shù)。應(yīng)用勞斯判據(jù)時(shí)，應(yīng)注意兩種特殊情況下，勞斯表

37、 的列寫方法。勞斯判據(jù)也可用來確定系統(tǒng)穩(wěn)定工作時(shí)，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布在某一特殊范圍 時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的允許變化范圍。系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式各項(xiàng)同號(hào)且不缺項(xiàng)，是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件（注意不是充分 條件）。（5）穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)很重要的性能指標(biāo)，它標(biāo)志著系統(tǒng)最終可能達(dá)到的控制精度。穩(wěn) 態(tài)誤差定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差信號(hào)的終值。穩(wěn)態(tài)誤差既和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)，也取 決于外作用的形式及大小。穩(wěn)態(tài)誤差可應(yīng)用拉氏變換的終值定理計(jì)算，步驟如下：（1）判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。只有對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算其穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。（2）根據(jù)誤差的定義求出系統(tǒng)誤差的傳遞函數(shù)。（3 ）分別求出系統(tǒng)對(duì)給定和對(duì)擾動(dòng)的誤差函數(shù)。（4 ）用拉氏

38、變換的終值定理計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。要注意，終值定理的使用條件為，誤差的相函數(shù)在右半s平面及虛軸上（原點(diǎn)除外）解析。系統(tǒng)穩(wěn)定是滿足終值定理使用條件的前提。如果誤差函 數(shù)在右半s平面及虛軸上不解析，只能應(yīng)用定義計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)三種典型函數(shù)（階躍、斜波、拋物線）及其組合外作用，也可利用靜態(tài)誤差系 數(shù)和系統(tǒng)的型數(shù)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。采用具有對(duì)給定或?qū)_動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制方案，理論上可以完全消除系統(tǒng)對(duì)給定 或（和）擾動(dòng)的誤差，實(shí)現(xiàn)輸出對(duì)給定的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。但工程上常根據(jù)輸入信號(hào)的形式 實(shí)現(xiàn)給定無穩(wěn)態(tài)誤差的近似補(bǔ)償。解題示范例3-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 3-1所示。已知傳遞函數(shù)G（s） =10/（0.2s T）。今欲采用

39、加負(fù)反饋的辦法，將過渡過程時(shí)間ts減小為原來的 0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)Kh和Ko的數(shù)值。解 首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)0 （s）,并整理為標(biāo)準(zhǔn)式，然后與指標(biāo)、參數(shù)的條件對(duì)照。31階系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間ts與其時(shí)間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳遞函數(shù)應(yīng)為(s)二10(0.2S/101)C(s)K°G(s)10K。R(s) - 1 KhG(s) 0.2s 110Kh10K。1 10Kh0.21 10Kh=(s)s 1)比較系數(shù)得10K。110Kh110Kh=10-10解之得Kh -0.9、K0 =10解畢。例3-10某系統(tǒng)在輸入信號(hào)r(t)=(1+t)1(t)作用下，測(cè)得輸出響

40、應(yīng)為:c(t) =(t 0.9) -0.9e'0t (t> 0)1 1s 1R(s)二-+2_ 2s ss10.90.910(s 1)C(sHLc(t)H +=2sss 10s (s 10)已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(s)。解因?yàn)楣氏到y(tǒng)傳遞函數(shù)為(s)C(s)R(s)10.1s - 1解畢。例3-3設(shè)控制系統(tǒng)如圖 3-2所示。試分析參數(shù)b的取值對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能的影響。解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)K(T bK)s 133系統(tǒng)是一階的。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為td =0.69(T bK) tr =2.2(T bK)ts = 3(T bK)因此，b的取值大將會(huì)使階躍響應(yīng)的延遲時(shí)間

41、、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都加長(zhǎng)。解畢。例3-12設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖3-34二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)解 首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3,故此系統(tǒng)的增益不是1而是3。系統(tǒng)模型為(s)2 'ns 然后由響應(yīng)的M p%、tp及相應(yīng)公式，即可換算出M p%c(tp) -c(珂14 一3c（：）= 33%bs= 0.1(s)#由公式得M p% 心33%換算求解得:上-0.33、= 33.2解畢。例3-13 設(shè)系統(tǒng)如圖 3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于15%，峰值時(shí)間等于0.8s，試確定增益 Ki和速度反饋系數(shù) Kt。同時(shí)，

42、確定在此 Ki和Kt數(shù)值下系統(tǒng)的 延遲時(shí)間、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間。R(s) C(s)圖 3-3535#解由圖示得閉環(huán)特征方程為由已知條件s2Ki(iKiKt)s Ki =01 Kt芒/廠p%2* =0.15解得tp 0.8-2一 t= 0.517, 5=4.588s，Ki= 21.05Kt= 2=0.178Kitr 二td1 °.6 t °2 t2 7297sn j - t2二-arccos tt = 0.538sr,1-12#3 5ts1.476sn解畢。例3-14設(shè)控制系統(tǒng)如圖 3-36所示。試設(shè)計(jì)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)，使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的E !值，但保持增益 K

43、及自然頻率 必不變。&C(s)s +2©ns+conH(s)R(s)圖3-36例3-14控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)s22 ns ： K ：H (s)#在題意要求下，應(yīng)取H (S)二Kts此時(shí)，閉環(huán)特征方程為：S2(2 KK t n ) ' n S 2 = 0令：2 KKn =21，解出，Kt =2(； - )/K'n故反饋通道傳遞函數(shù)為：H(s)二2(-)s#解畢。例3-15系統(tǒng)特征方程為s630s520s410s3 5s220 = 0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s 一次解 特征式各項(xiàng)系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中 項(xiàng)的系數(shù)為零，故系

44、統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解畢。例3-16已知系統(tǒng)特征方程式為432s 8s 18s16s 5=0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。解勞斯表為1888 18-1 1616=168 5-1 0 廠516 16-8 516= 13.513.5 5-16 0 廠5s013.5由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項(xiàng)均具有 正號(hào)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。例3-17已知系統(tǒng)特征方程為5432s s 2s 2s 3s 5 = 0試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如果在勞斯行列表中 某一行的第一列項(xiàng)等于零，但其余各項(xiàng)不等于零或沒有，這

45、時(shí)可用一個(gè)很小的正數(shù) 來代替為零的一項(xiàng)，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。5s4s3s02； 2-2勞斯行列式為37#s02 ； 25&來代替；第(-4 s- 4 5 £)s平面，所由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個(gè)很小的正數(shù)四行第一列系數(shù)為 （2 £2/ £當(dāng)s趨于零時(shí)為正數(shù)；第五行第一列系數(shù)為/ （ 2 s+2）,當(dāng)£趨于零時(shí)為 - 2。由于第一列變號(hào)兩次，故有兩個(gè)根在右半 以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解畢。例3-18已知系統(tǒng)特征方程為s62 s5 8s412s320s216s 16 =0試求：（1 ）在s右半平面的根的個(gè)數(shù)；（2）虛根。解如

46、果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對(duì)原點(diǎn) 對(duì)稱的實(shí)根，共軛虛根或（和）共軛復(fù)數(shù)根。此時(shí)，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多 項(xiàng)式，并對(duì)輔助多項(xiàng)式求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計(jì)算勞斯行列表。對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根可由輔助方程(令輔助多項(xiàng)式等于零)求得。 勞斯行列表為s182016s521216s421216s300由于s3行中各項(xiàng)系數(shù)全為零，于是可利用s4行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，即42P(s)=2s 12s16求輔助多項(xiàng)式對(duì)s的導(dǎo)數(shù)，得原勞斯行列表中dP(s)s=8s324ss3行各項(xiàng)，用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時(shí)，勞斯#行列表變?yōu)?s18205

47、s212164s212163 s8242 s616s12.670s 16新勞斯行列表中第一列沒有變號(hào)，所以沒有根在右半平面。 對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根可解輔助方程求得。令422s 12s16 = 0得到s = j . 2 和 s = j 2解畢。例 3-19單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為KG(s)2s(as + 1)(bs +cs+1)試求：(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù);(2)當(dāng)參考輸入為r 1(t)，rt 1(t )和rt2 1(t)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。根據(jù)誤差系數(shù)公式，有 位置誤差系數(shù)為KpK2s(as 1)(bs cs ' 1)速度誤差系數(shù)為KvK=lim sG(s)

48、= lim s2 = Ks es 0 s(as 1)(bs2 cs 1)加速度誤差系數(shù)為Ka=lim s2G(s) = lim s2 = 0s ：0s “ s(as 1)( bs2 cs 1)r 1(t)，即階躍函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)應(yīng)于不同的參考輸入信號(hào)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。參考輸入為rr 門ess01 Kp 1：參考輸入為rt 1(t)，即斜坡函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為rress :KvK參考輸入為rt21(t)，即拋物線函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2r2r -=oO0解畢。例3-20單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為10G(S)s(1+T£)(1+T2S)輸入信號(hào)為r (t) =A+3t, A為常量，3=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號(hào)，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號(hào) 的組合。此時(shí)，輸入信號(hào)的一般形式可表示為1 2r(t)二 r° nt -r2t系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起 的誤差的總和。所