自動控制原理教案-自控學習與解題指導1

1、1>>vv自動控制理論課程學習指導與解題指導理工學院自動化系二零零三年七月第一章自控理論基本概念本章作為緒論，已較全面地展示了控制理論課程的全貌，敘述了今后 在課程的學習中要進行研究的各個環(huán)節(jié)內(nèi)容和要點，為了今后的深入學習 和理解，要特別注意本章給出的一些專業(yè)術(shù)語及定義。1基本要求（1）明確什么叫自動控制，正確理解被控對象、被控量、控制裝置和 自控系統(tǒng)等概念。（2）正確理解三種控制方式，特別是閉環(huán)控制。（3 ）初步掌握由系統(tǒng)工作原理圖畫方框圖的方法，并能正確判別系統(tǒng) 的控制方式。（4）明確系統(tǒng)常用的分類方式，掌握各類別的含義和信息特征，特別 是按數(shù)學模型分類的方式。（5）明確對自控

2、系統(tǒng)的基本要求，正確理解三大性能指標的含義。2. 內(nèi)容提要及小結(jié)（1）幾個重要概念自動控制 在沒有人直接參與的情況下，利用控制器使被控對象的被 控量自動地按預(yù)先給定的規(guī)律去運行。自動控制系統(tǒng)指被控對象和控制裝置的總體。這里控制裝置是一個廣 義的名詞，主要是指以控制器為核心的一系列附加裝置的總和。共同構(gòu)成 控制系統(tǒng)，對被控對象的狀態(tài)實行自動控制，有時又泛稱為控制器或調(diào)節(jié)被控對象自動控制系統(tǒng)跆定元件 測量元件 控制裝置（控制器）較元件放大兀件執(zhí)行元件校正元件負反饋原理 把被控量反送到系統(tǒng)的輸入端與給定量進行比較，利用 偏差引起控制器產(chǎn)生控制量，以減小或消除偏差。（2） 三種基本控制方式實現(xiàn)自動控制

3、的基本途徑有二：開環(huán)和閉環(huán)。實現(xiàn)自動控制的主要原則有三：主反饋原則一一按被控量偏差實行控制。補償原則按給定或擾動實行硬調(diào)或補償控制。復(fù)合控制原則 閉環(huán)為主開環(huán)為輔的組合控制。（3 ）系統(tǒng)分類的重點重點掌握線性與非線性系統(tǒng)的分類，特別對線性系統(tǒng)的定義、性質(zhì)、3判別方法要準確理解。線性系統(tǒng)描述'常系數(shù)微分方程宀常傳遞函數(shù)疋吊頻率特性狀態(tài)方程時域法分析法根軌跡法'頻率法狀態(tài)方程非線性系統(tǒng)時變丿I'變系數(shù)微分方程、狀態(tài)方程分析法時域法"、狀態(tài)空間法描述J非線性微分方程I狀態(tài)方程分類'非本質(zhì)一出T線性化法本質(zhì)一 分析法Ti狀態(tài)空間法描述函數(shù)法相平面法#(4) 正

4、確繪制系統(tǒng)方框圖繪制系統(tǒng)方框圖一般遵循以下步驟： 搞清系統(tǒng)的工作原理，正確判別系統(tǒng)的控制方式。 正確找出系統(tǒng)的被控對象及控制裝置所包含的各功能元件。 確定外部變量(即給定值、被控量和干擾量)，然后按典型系統(tǒng)方框圖的連接模式將各部分連接起來。(5) 對自控系統(tǒng)的要求對自控系統(tǒng)的要求用語言敘述就是兩句話：要求輸出等于給定輸入所要求的期望輸出值；要求輸出盡量不受擾動的影響。恒量一個系統(tǒng)是否完成上述任務(wù)，把要求轉(zhuǎn)化成三大性能指標來評價：穩(wěn)定系統(tǒng)的工作基礎(chǔ)；快速、平穩(wěn)動態(tài)過程時間要短，振蕩要輕。準確一一穩(wěn)定精度要高，誤差要小。解題示范例1-1 圖1 1為液位自動控制系統(tǒng)示意圖。 在任何情況下，希望液面

5、高度C維持不變。試說明系統(tǒng)工作原理，并畫出系統(tǒng)原理方框圖。圖11液位自動控制系統(tǒng)解：1、工作原理：閉環(huán)控制方式。當電位器電刷位于中點位置時，電動機不動，控制閥門有一定的開度， 使水箱中流入水量和流出水量相等，從而液面保持在希望高度上。當進水 或出水量發(fā)生變化，例如液面下降，通過浮子和杠桿檢測出來，使電位器 電刷從中點位置上移，從而給電動機提供一定的控制電壓，驅(qū)動電動機通 過減速器開大閥門開度，使液位上升，回到希望高度。電位器電刷回到中 點，電動機停止。2、被控對象是水箱，被控量是水箱液位，給定量是電位器設(shè)定位置 （代 表液位的希望值）。主擾動是流出水量。系統(tǒng)的方框圖如圖12所示。控制器注入（I

6、I）控制系統(tǒng)方塊圖圖1 2液位自動控制系統(tǒng)方框圖。例1 2圖13為自動調(diào)壓系統(tǒng)。試分析系統(tǒng)在負載電流變化時的穩(wěn)壓過程，并繪出系統(tǒng)方框圖圖1 - 3自動調(diào)壓系統(tǒng)解：1、工作原理：順饋控制。當負載電流If變化時，發(fā)電機 G的電樞繞組壓降也隨之改變，造成端 電壓不能保持恒定，因此，負載電流變化對穩(wěn)壓控制來說是一種擾動。采 用補償措施，將電流If在電阻R上的壓降檢測出來，通過放大，來改變發(fā) 電機的勵磁電流If，以補償電樞電壓的改變，使其維持恒定。2、被控對象是發(fā)電機 G,被量是電樞端電壓 UF，給定值是勵磁電壓 UF， 擾動量是負載電流If。系統(tǒng)方框圖為1 4所示。圖1-4自動調(diào)壓系統(tǒng)方框圖例1 3直

7、流穩(wěn)壓電源原理圖為圖 1 5所示，試畫出方框圖，分析工 作原理。圖15 直流穩(wěn)壓電源原理圖解：1、工作原理：反饋控制實際輸出電壓U2由F3和R組成分壓器檢測出來，與給定值Uw進行比較, 產(chǎn)生的偏差電壓 BG進/行放大，作用于BG。由BG對輸出電壓進行調(diào)整, 這里的偏差電壓僅隨 U2變化。由BG反相放大后產(chǎn)生UC，這是系統(tǒng)的控制量。 通過BG進行輸出電壓自動調(diào)節(jié)，維持 U2恒定。假如 U2/, Ua/, Ibl/ , Uc/, Ib2/, UEd/, U2/。若 U2/f Ua/f I blUC /f I b2 /f LEd/t U2 /圖1 6穩(wěn)壓電源方框圖Ui是系統(tǒng)的供電輸入電壓，若電網(wǎng)波動

8、，也會使U變化。因此，對系統(tǒng)來說，Ui的變化是造成 U2電壓波動的干擾因素，屬于擾動信號，也可以 通過反饋回路加以抑制。2、控對象不是一個具體的設(shè)備，而是一個穩(wěn)壓過程，被控量是輸出電 壓U2，給定值是 U,擾動量是U。當然，當系統(tǒng)輸出接負載后，負載的變 化，將對輸出電壓產(chǎn)生直接的影響，是主擾動。例1-4角位置隨動系統(tǒng)原理圖如圖 1 7所示。系統(tǒng)的任務(wù)是控制工作機械角位置Q，隨時跟蹤手柄轉(zhuǎn)角 Q。試分析其工作原理，并畫出系統(tǒng)方框圖。圖1 7角位置隨動系統(tǒng)原理圖解：1、工作原理：閉環(huán)控制。只要工作機械轉(zhuǎn)角9 C與手柄轉(zhuǎn)角9 r 一致，兩環(huán)形電位器組成的橋式電 路處于平衡狀態(tài)，無電壓輸出。此時表示跟

9、蹤無偏差。電動機不動，系統(tǒng) 靜止。如果手柄轉(zhuǎn)角9 r變化了，則電橋輸出偏差電壓，經(jīng)放大器驅(qū)動電動機轉(zhuǎn) 動。通過減速器拖動工作機械向 9 r要求的方向偏轉(zhuǎn)。當9 c= 9 r時，系統(tǒng)達 到新的平衡狀態(tài)，電動機停轉(zhuǎn)，從而實現(xiàn)角位置跟蹤目的。2、系統(tǒng)的被控對象是工作機械，被控量是工作機械的角位移。給定量是手柄的角位移?？刂蒲b置的各部分功能元件分別是：手柄完成給定，電 橋完成檢測與比較，電動機和減速器完成執(zhí)行功能。系統(tǒng)方框圖見圖1&圖1-8位置隨動系統(tǒng)方框圖。第二章自控系統(tǒng)的數(shù)學模型本章講述的內(nèi)容很多，牽扯到數(shù)學和物理系統(tǒng)的一些理論知識，有些需要進一步回顧，有些需要加深理解，特別是對時間域和復(fù)

10、頻率域的多種數(shù)學描 述方法，各種模型之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系，都比較復(fù)雜。學習和復(fù)習好這些基礎(chǔ)理論，對下一步深入討論自控理論具體方法至關(guān)重要。1、基本要求（1 ）確理解數(shù)字模型的特點，對系統(tǒng)的相似性、簡化性、動態(tài)模型、靜 態(tài)模型、輸入變量、輸出變量、中間變量等概念，要準確掌握。（2） 了解動態(tài)微分方程建立的一般方法及小偏差線性化的方法。（3 ）掌握運用拉氏變換解微分方程的方法，并對解的結(jié)構(gòu)，運動模態(tài)與 特征根的關(guān)系，零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)等概念，有清楚的理解。（4）會用MATLAB方法進行部分方式展開。對低階的微分方程，能用 部分分式展開法或留數(shù)法公式進行簡單計算。（5 ）正確理傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)

11、和意義，特別對傳遞函數(shù)微觀結(jié)構(gòu)的 分析要準確掌握。（6） 正確理解由傳遞函數(shù)派生出來的系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)傳遞函 數(shù)，前向傳遞函數(shù)的定義，并對重要傳遞函數(shù)如：控制輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)， 擾動輸入下閉環(huán)傳遞數(shù)函數(shù)， 誤差傳遞函數(shù)，典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，能夠熟練 掌握。（7） 掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和信號流圖兩種數(shù)學圖形的定義和組成方法，熟練 地掌握等效變換代數(shù)法則，簡化圖形結(jié)構(gòu)，并能用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。（8） 正確理解兩種數(shù)學模型之間的對應(yīng)關(guān)系， 兩種數(shù)學圖型之間對應(yīng)關(guān) 系，以及模型和圖形之間的對應(yīng)關(guān)系， 利用以上知識，熟練地將它們進行相 互轉(zhuǎn)換。2、內(nèi)容提要及小結(jié)本章主要介紹數(shù)學模型的建立方法，作

12、為線性系統(tǒng)數(shù)學模型的形式，介 紹了兩種解析式和兩種圖解法， 對于每一種型式的基本概念， 基本建立方法 及運算，用以下提要方式表示出來。（1）微分方程式'物理、化學及專業(yè)上的基本定律甘*血人中間變量的作用基本概念簡化性與準確性要求J小偏差線性化理論原始方程組直接列寫法線性化消中間變量 化標準形R(s) N(s)N(s)由傳遞函數(shù)c(sM(S)R(s)r N(s)C(s)二M(s)R(s)轉(zhuǎn)換法L -1pLN(p)c(t) =M(p)r(t)dt微分方程由結(jié)構(gòu)圖，傳遞函數(shù) > 微分方程 由信號流圖，傳遞函數(shù) > 微分方程方程求解T掌握拉氏變換法求解微分方程丿'零狀態(tài)解零

13、輸入解9#常用重要例題建模磁場控制直流電動機直流電機調(diào)速系統(tǒng)傳遞函數(shù)#定義-比值IS線性定常系統(tǒng)零初始條件一對確定的輸入輸出#基本概念丿微觀結(jié)構(gòu)零點（零極點分布圖與運動 模態(tài)對應(yīng)）極點傳遞函數(shù)#r標準解析式丿方程式傳遞函數(shù)#典型環(huán)節(jié)2零極點分布圖單位階躍響應(yīng)特性d定義法T由微分方程一傳遞函數(shù)由結(jié)構(gòu)圖化簡'傳遞函數(shù)由信號流圖梅遜公式、傳遞函數(shù)G（s）=G匚（適用于單回路）公式彳|1 土gk（適用于回路兩兩交叉）G前#常用重要公式及傳遞函數(shù)#重要傳遞函數(shù)I擾動輸入下:R(s)E(s)控制輸入下:Gr (s) =3©(滬2 r I(s) rG (s) C(s) GGd (s), G

14、 dd D(s) d D(s)#（3）結(jié)構(gòu)圖#數(shù)學模型結(jié)構(gòu)的圖形表基本概念相加點、分支點、支路）可用代數(shù)法則進行等效變換 構(gòu)圖基本元素4種（方框、 由原始方程組畫結(jié)構(gòu)圖#基本方法用代數(shù)法則簡化結(jié)構(gòu)圖由梅遜公式直接求傳遞串聯(lián)相乘并聯(lián)相加反饋連接=丄向1 +開環(huán)i 相加點和分支點移位 函數(shù)。11注意幾點:1、相加點與分支點相鄰，一般不能隨便交換。c坐亠存舌E曲前向通路的傳遞函數(shù)乘 積保持不變2、等效原則兩條丿、各回路中傳遞函數(shù)乘積 保持不變3、直接應(yīng)用梅遜公式時，負反饋符號要記入反饋通路中的方框中去。 另外對于互不接觸回路的區(qū)分，特別要注意相加點與分支點相鄰處的情況。4、結(jié)構(gòu)圖可同時表示多個輸入與

15、輸出的關(guān)系，這比其它幾種解析式模型方便的多，并可由圖直接寫出任意個輸入下總響應(yīng)。如：運用疊加原理， 當給定輸入和擾動輸入同時作用時，則有qs) = G(s) &s) + G(s)D(s)(4 )信號流圖同結(jié)構(gòu)圖一致基本概念井一-'構(gòu)圖元素2種改進點丿、有統(tǒng)一的公式求傳遞函數(shù)由原始方程組畫信號流圖基本方法丿結(jié)構(gòu)圖翻譯成信號流圖代數(shù)法則同結(jié)構(gòu)圖一致n二.GK 二 K重要公式梅遜公式梅遜公式G =心A注意兩點：1、搞清公式中各部分含義；2、公式只能用于等輸入節(jié)點與較出節(jié)點之間的傳播，不能等不含輸入節(jié)點情況下，任意兩混合節(jié)點之間的傳較。四種模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可用圖2 81表示圖2 81

16、模型轉(zhuǎn)換解題示范例2-1 彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2-1示,系統(tǒng)為無質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運動方程。解：(1)設(shè)輸入為yr，輸出為y0。彈簧與阻尼器并 聯(lián)平行移動。(2)列寫原始方程式，由于無質(zhì)量按受力平衡方程，各處任何時刻，均滿足 a F =0,則對 圖2-1機械位移系統(tǒng)于A點有F f FK1 - FK2 - 0其中，F(xiàn)f為阻尼摩擦力，F(xiàn)q，F(xiàn)k2為彈性恢復(fù)力。Ffd(y-yo)dt(3)寫中間變量關(guān)系式13Fk1 =K1(Yr -Yo)FK2 - K 2y 0(4)消中間變量得f 虬一 f 嘰 Ky -3。二©yo dt dt(5)化標準形其中:T =K1 K2K1K2T哋dt

17、yo =T普Kyr為時間常數(shù)，單位為傳遞函數(shù)，無量綱。例2-2 已知單擺系統(tǒng)的運動如圖2-2示。(1) 寫出運動方程式(2) 求取線性化方程解：(1)設(shè)輸入外作用力為零，輸出為擺角，擺球質(zhì)量為m。(2)由牛頓定律寫原始方程。#其中, 力。"d2二m(l 亍)=-mgsin r _ h dtl為擺長，lv為運動弧長，h為空氣阻/(3)寫中間變量關(guān)系式h (I 蘭)dt式中,a為空氣阻力系數(shù)|d為運動線速度。dt(4)消中間變量得運動方程式 d, d-.門牙 al mgs i n 0*圖2-2單擺運動ml dt2 dt此方程為二階非線性齊次方程。(5)線性化由前可知，在= 0的附近，非線

18、性函數(shù)sinv程為(2-1)，故代入式(2-1 )可得線性化方15i d2. d.門mlal mg j - 0dt2 dt例2-3已知機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運動方程。圖2-3 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)#解：(1 )設(shè)輸入量作用力矩Mf,輸出為旋轉(zhuǎn)角速度(2)列寫運動方程式d Jf M fdt式中，f為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。(3)整理成標準形為此為一階線性微分方程，若輸出變量改為二則由于CO = dt代入方程得二階線性微分方程式#J寫dt2f d M f dt#例2-4設(shè)有一個倒立擺安裝在馬達傳動車上。如圖2-4所示。圖2-4倒立擺系統(tǒng)17#倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當?shù)目刂屏ψ饔?/p>

19、在它上面，它將隨時可能向任何方向傾倒，這里只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖2-65所示平面內(nèi)運動。控制力u作用于小車上。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心A。試求該系統(tǒng)的運動方程式。解：（1）設(shè)輸入為作用力 u，輸出為擺角v。（2）寫原始方程式，設(shè)擺桿重心A的坐標為（Xa, yA）于是Xa = X + Isin vXy = Icos v畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖25所示。#圖2-5隔離體受力圖#擺桿圍繞重心A點轉(zhuǎn)動方程為:d2:J 2 Vl sin v - HI cost dt式中，J為擺桿圍繞重心A的轉(zhuǎn)動慣量。擺桿重心A沿X軸方向運動方程為：(2 2)d2XAHm - Hdt2d 2m- (x l

20、 sin v) = Hdt2(2 3)擺桿重心A沿y軸方向運動方程為:d 2yAm筍二V - mgdtd2m (l cost) =V -mgdt2小車沿x軸方向運動方程為:d2x .Mu - Hdt2方程(2 2),方程(2 3)為車載倒立擺系統(tǒng)運動方程組。因為含有si nr和cosr項所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。(3)當很小時，可對方程組線性化，由si nr疋乙同理可得到cos- 1則方程式(2 2)式(2 3)可用線性化方程表示為：d2日口J- =VI日一HIdt2d2xd2日mp ml-H dt2dt20 =V - mgd2x,M = u H dt2用s2 4的算子符號將以

21、上方程組寫成代數(shù)形式，消掉中間變量將微分算子還原后得(Mlm j)s (M m)g J - uml(Ml ml此為二階線性化偏量微分方程。例2-5 RC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖MJ m)g l dt2dt2 6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,并求傳遞函數(shù)U c(S)/Ur(S)。19圖2-6 RC無源網(wǎng)絡(luò)21解：在線性電路的計算中，引入了復(fù)阻抗的概念，則電壓、電流、復(fù)阻抗之間的 關(guān)系，滿足廣義的歐姆定律。即：瞠=Z(s)l(s)如果二端元件是電阻R、電容C或電感L,則復(fù)阻抗 Z(s)分別是R、1/C s或L s 。用復(fù)阻抗寫電路方程式：1Ii(S) =Ur(S) -Uci(S) Ri1 Uci

22、(S)二l1(s)-l2(S)C1S1l2(S)二Uc1(S) -Uc2(S)-R21Vc2(S) =l2(S)C2S將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，見圖2- 6 ( a)。用結(jié)構(gòu)圖化簡法求傳遞函數(shù)的過程見圖2-6 (c)、(d)、(e)。W.KiCi 3(a)Iit：(b)R(耳1n(c)""""比m'+ufe+尺廠+RQb+i(d)圖2-6RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖用梅遜公式直接由圖2-6(b)寫出傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。獨立回路有三個:L3回路相互不接觸的情況只有由上式可寫出特征式為:=1-4通向前路只有一條、Gk.K

23、11-1"RC1S 一R1C1S11-1R2C2SR2C2 S11-1LiL2CiS R2R2C1SLi和L2兩個回路。則12R1C1R2 C2 S亠L2 亠 L3) _ L|L2 =1 亠R1C1S1 1+R2 C2SR2C1 s1R1C1R2C2 S1 2G111112R1 C1S R2 C2 SR1R2C1C2S由于G1與所有回路L1,L2,L3都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為 1=1代入梅遜公式得傳遞函數(shù)R1C1 R2C2S1G1g 二也 1 +1 +一:一 +一:一 +1nR1C1SR2C2SR2C1SR1C1R2C2S#解：圖2-7中乙和Zf表示運算放大器外部電路

24、中輸入支路和反饋支路復(fù)阻抗,#設(shè)A點為虛地，即 Ua 0，運算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流，于是：Ii = I2則有:5(s) = li(s)Z gUc(s)»l2(s)Zf (s)故傳遞函數(shù)為G(s)二Uc(s)UTisZf(s)(2 4)對于由運算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，式(圖2-8所示PI調(diào)節(jié)器，有24)可看作計算傳遞函數(shù)的一般公式，對于Zi (s)二 RZf (S) =R2CSG(s)戸Zf (s)Zi(s)R21csRi_ R2CS 1-RiCS23#例2-7求下列微分方程的時域解x (t)。已知x(0) =0,x(0) =3。d2x dx2 36x =0dt2 dt解：

25、對方程兩端取拉氏變換為：S2X(s) -Sx(0) -x(0) 3SX(s) -3x(0)6X(s) =0代入初始條件得到2(S2 3S 6)X(s) =3解出X (s)為:X(s)=32S2 3S 62、35 (S 1.5)2 (于)2#反變換得時域解為:x(t)二2351.5tesin(t)#例2-8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-9所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。圖2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖|&|CL1t-i-C/W圖2-10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化#圖2-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：（1 ）首先將含有 G2的前向通路上的分支點前移，移到下面的回環(huán)之外。如圖 2-10 （a）所示。（2 ）將反饋環(huán)和并

26、連部分用代數(shù)方法化簡，得圖2-10（ b ）。（3）最后將兩個方框串聯(lián)相乘得圖2-10（ c）。例2-9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-11所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。解：（1） 將兩條前饋通路分開，改畫 成圖2-12（ a）的形式。（2） 將小前饋并聯(lián)支路相加，得 圖 2-12（ b）。（3）先用串聯(lián)公式，再用并聯(lián)公式將支路化簡為圖2-12（ c）。#圖2-12 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖#例2-10已知機械系統(tǒng)如圖2-13 （a）所示，電氣系統(tǒng)如圖2-13 （ b）所示，試畫（b ）電氣系統(tǒng)出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。（a）機械系統(tǒng)圖2-13 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：（1）若圖2-1

27、3（a）所示機械系統(tǒng)的運動方程，遵循以下原則并聯(lián)元件的合 力等于兩元件上的力相加，平行移動，位移相同，串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移 等于各元件相對位移之和。微分方程組為:F = RF2 = h(為-xo)心區(qū)-Xo)F = f2(Xo -y)F = K2 y取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有:F(s)=(f1s+KJ(Xi (s)-x°(S)1<y(S)= F(S)K21Xo(s) =F(s) +y(s)f2s畫結(jié)構(gòu)圖如圖 2 14:圖2-14機械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖25求傳遞函數(shù)為:X°(s)i(k1flS)(k2if2s1(kifiS)(1k2f2S(f1 S 1)(lk；

28、S 1)#(2) 寫圖2-13 ( b)所示電氣系統(tǒng)的運動方程，按電路理論，遵循的定律與機械 系統(tǒng)相似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等, 總電壓等于各元件分電壓之和，可見，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。運動方程可直接用復(fù)阻抗寫出:1I(S) = 11S + 12(s) = Ei (s) Ei (s) +C1S( Ei (s)- E°(s) R11s)=£【E°(s)Ec2(s)1 =C2 S * EC 2(s)整理成因果關(guān)系:1l(s)=( +Gs)(Ei (s) E°(s) R11<Ec2(s)=cl(s

29、)C2 SE0 (s) = IR2 + EC2 (s)畫結(jié)構(gòu)圖如圖2-15所示:#求傳遞函數(shù)為:Eo(s)Ei(s)1C1S)(R2 亦)R11C1S)(R21C2S(RGS 1)(R2C2S T)(RGS 1)(R2C2s 1) R1C2S#對上述兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進行比較后可以看出。兩個系統(tǒng)是相似的。機 電系統(tǒng)之間相似量的對應(yīng)關(guān)系見表2-1。表2-1相似量機械系統(tǒng)XiX0yFF1F2K11/K2f1f2電氣系統(tǒng)eieoec2i1/RRC1C2例2-11 RC網(wǎng)絡(luò)如圖2-16所示，其中U1為網(wǎng)絡(luò)輸入量，U2為網(wǎng)絡(luò)輸出量。27#(1) 畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖;(2)求傳遞函數(shù)U2(s)/ Ui(

30、s)。解：(1)用復(fù)阻抗寫出原始方程組。輸入回路U1 = R|I1 (I1 I 2)1C2 s輸出回路中間回路U 2 = R2 I 2(I1 I2)1C2 s圖2-16 RC網(wǎng)絡(luò)I1R1 = (R21C1s)#(3) 整理成因果關(guān)系式。U1 (I 1Gs 1 GsRC2SRgGs 1 C2S&Gs 11. Gs 丄RC2SR2C1S 1 C2 s R1R2C1C2 s +(R1 + R2 )CS +12R1R2C1C2 s(R1C2 R2C1 R1C1 )s 1 2) _C2S:C1sI2 =I1R11R2C1s1U2二R2I2 (I1 I2)1C2S#即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2-17所示。

31、#(4) 用梅遜公式求出：R2U 2 G :1 G2 :2 ' G3 U1 一#例2-12已知系統(tǒng)的信號流圖如圖2-18所示，試求傳遞函數(shù)C(s)/ R(s)。2 La =上勺G2 G3 GjG?兩個互不接觸的回路有4組，即為 LbLc =GiG? +G1G3 +G2G3 +G1G2G3三個互不接觸的回路有1組，即二 LdLeLf 二-G1G2G3于是，得特征式為.: =1 La -工 LbLc -、LdLeLf二 1 :Gi G2 ' G3 2G1G2 : G1G3 :G2G3 ' 2G1G2G3從源點R到阱節(jié)點C的前向通路共有 4條，其前向通路總增益以及余因子式分別

32、 為p =g1g2g3k鳥=1P2 =G2G3K- 2 =1 G1P3 = G1G3K匚3 =1 G2巳-G1G2G3 K丄4 1因此，傳遞函數(shù)為C(s) _ 取勺 P2厶2 補 1R(s) 一G2G3KCI +G)+GjG3K(1+G2)1 ' G1 ' G2 G3 2G1G2 G1G3 G2G 3 2G G2G329第三章自控系統(tǒng)的時域分析1. 基本要求通過本章的學習，希望能夠做到：(1) 正確理解時域響應(yīng)的性能指標(Mp、tr、td、tp、ess等)、穩(wěn)定性、系統(tǒng)的型 別和靜態(tài)誤差系數(shù)等概念。(2) 牢固掌握一階系統(tǒng)的數(shù)學模型和典型時域響應(yīng)的特點，并能熟練計算其性能 指標

33、和結(jié)構(gòu)參數(shù)。(3) 牢固掌握二階系統(tǒng)的各種數(shù)學模型和階躍響應(yīng)的特點，并能熟練計算其欠阻 尼時域性能指標和結(jié)構(gòu)參數(shù)。(4) 正確理解線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，熟練地應(yīng)用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(5) 正確理解和重視穩(wěn)態(tài)誤差的定義并能熟練掌握essr、essn的計算方法。明確終 值定理的使用條件。(6) 掌握改善系統(tǒng)動態(tài)性能及提高系統(tǒng)控制精度的措施。2. 內(nèi)容提要(1) 時域分析法是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時間響應(yīng)，來分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制系統(tǒng)的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。工程上常用單位階躍響應(yīng)的 超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標評價系統(tǒng)的優(yōu)劣。許多自動控制系統(tǒng)，經(jīng)過參數(shù)整定和調(diào)試，

34、其動態(tài)特征往往近似于一階或二階系統(tǒng)。因此一、二階系統(tǒng)的理論分析結(jié)果，常是高階系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。(2) 時域分析法的基本方法是拉氏變換法：結(jié)構(gòu)圖 ；qs)二 C (s) = G(s)R (s) c (t) = L-1CR(s)(s)(3) 時域分析(i ) 一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的動態(tài)特性應(yīng)用一階微分方程描述。一階系統(tǒng)只有一個結(jié)構(gòu)參數(shù)，即其時間常數(shù)T。時間常數(shù) T反應(yīng)了一階系統(tǒng)的慣性大小或阻尼程度。一階系統(tǒng)的性能由其時間常數(shù)T唯一決定。一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T,也可由實驗曲線求出。(ii)二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的性能分析，在自動控制理論中有著重要的地位。二階系統(tǒng)含有兩個結(jié)構(gòu)參數(shù)，即阻尼比E和無

35、阻尼振蕩頻率5。阻尼比E決定著二階系統(tǒng)的響應(yīng)模態(tài)。E=0時，系統(tǒng)的響應(yīng)為無阻尼響應(yīng)；E=1時，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)；E>1時，系統(tǒng)的響應(yīng)是過阻尼的；0 < E< 1時，系統(tǒng)的響應(yīng)為欠阻尼響應(yīng)。欠阻尼工作狀態(tài)下，合理選擇阻尼比E的取值，可使系統(tǒng)具有令人滿意的動態(tài)性能指標。其動態(tài)性能指標有Mp、tr、td、tp, ts, 方面可以從響應(yīng)曲線上讀??；二是它們與8必有相應(yīng)的關(guān)系，只要已知 8 5,就能很容易求出動態(tài)性能指標。(4) 穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是決定其能否正常工作的前提條件。任何不穩(wěn)定的系統(tǒng)，在工程上都是毫無使用價值的。穩(wěn)定，是指系統(tǒng)受到擾動偏離原來的 平衡狀態(tài)

36、后，去掉擾動，系統(tǒng)仍能恢復(fù)到原工作狀態(tài)的能力。應(yīng)當特別注意， 線性系統(tǒng)的這種穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，而與初始條件和外 作用的大小及形式無關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根都具有負的實部，或閉 環(huán)特征根都分布在左半 s平面。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最直接的方法是求出系統(tǒng)的全部閉環(huán)特征根。但是求解高階 特征方程的根是非常困難的。工程上，一般均采用間接方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯 判據(jù)是最常用的一種間接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。應(yīng)用閉環(huán)特征方程各項的系數(shù)列寫勞斯表，勞斯表各行第一列元的符號變化次數(shù)，即為系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定的根的個數(shù)。應(yīng)用勞斯判據(jù)時，應(yīng)注意兩種特殊情況下，勞斯表

37、 的列寫方法。勞斯判據(jù)也可用來確定系統(tǒng)穩(wěn)定工作時，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點分布在某一特殊范圍 時，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的允許變化范圍。系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式各項同號且不缺項，是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件（注意不是充分 條件）。（5）穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)很重要的性能指標，它標志著系統(tǒng)最終可能達到的控制精度。穩(wěn) 態(tài)誤差定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差信號的終值。穩(wěn)態(tài)誤差既和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)，也取 決于外作用的形式及大小。穩(wěn)態(tài)誤差可應(yīng)用拉氏變換的終值定理計算，步驟如下：（1）判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。只有對穩(wěn)定的系統(tǒng)計算其穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。（2）根據(jù)誤差的定義求出系統(tǒng)誤差的傳遞函數(shù)。（3 ）分別求出系統(tǒng)對給定和對擾動的誤差函數(shù)。（4 ）用拉氏

38、變換的終值定理計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。要注意，終值定理的使用條件為，誤差的相函數(shù)在右半s平面及虛軸上（原點除外）解析。系統(tǒng)穩(wěn)定是滿足終值定理使用條件的前提。如果誤差函 數(shù)在右半s平面及虛軸上不解析，只能應(yīng)用定義計算穩(wěn)態(tài)誤差。對三種典型函數(shù)（階躍、斜波、拋物線）及其組合外作用，也可利用靜態(tài)誤差系 數(shù)和系統(tǒng)的型數(shù)計算穩(wěn)態(tài)誤差。采用具有對給定或?qū)_動補償?shù)膹?fù)合控制方案，理論上可以完全消除系統(tǒng)對給定 或（和）擾動的誤差，實現(xiàn)輸出對給定的準確復(fù)現(xiàn)。但工程上常根據(jù)輸入信號的形式 實現(xiàn)給定無穩(wěn)態(tài)誤差的近似補償。解題示范例3-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 3-1所示。已知傳遞函數(shù)G（s） =10/（0.2s T）。今欲采用

39、加負反饋的辦法，將過渡過程時間ts減小為原來的 0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)Kh和Ko的數(shù)值。解 首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)0 （s）,并整理為標準式，然后與指標、參數(shù)的條件對照。31階系統(tǒng)的過渡過程時間ts與其時間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳遞函數(shù)應(yīng)為(s)二10(0.2S/101)C(s)K°G(s)10K。R(s) - 1 KhG(s) 0.2s 110Kh10K。1 10Kh0.21 10Kh=(s)s 1)比較系數(shù)得10K。110Kh110Kh=10-10解之得Kh -0.9、K0 =10解畢。例3-10某系統(tǒng)在輸入信號r(t)=(1+t)1(t)作用下，測得輸出響

40、應(yīng)為:c(t) =(t 0.9) -0.9e'0t (t> 0)1 1s 1R(s)二-+2_ 2s ss10.90.910(s 1)C(sHLc(t)H +=2sss 10s (s 10)已知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(s)。解因為故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為(s)C(s)R(s)10.1s - 1解畢。例3-3設(shè)控制系統(tǒng)如圖 3-2所示。試分析參數(shù)b的取值對系統(tǒng)階躍響應(yīng)動態(tài)性能的影響。解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)K(T bK)s 133系統(tǒng)是一階的。動態(tài)性能指標為td =0.69(T bK) tr =2.2(T bK)ts = 3(T bK)因此，b的取值大將會使階躍響應(yīng)的延遲時間

41、、上升時間和調(diào)節(jié)時間都加長。解畢。例3-12設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖3-34二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)解 首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3,故此系統(tǒng)的增益不是1而是3。系統(tǒng)模型為(s)2 'ns 然后由響應(yīng)的M p%、tp及相應(yīng)公式，即可換算出M p%c(tp) -c(珂14 一3c（：）= 33%bs= 0.1(s)#由公式得M p% 心33%換算求解得:上-0.33、= 33.2解畢。例3-13 設(shè)系統(tǒng)如圖 3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于15%，峰值時間等于0.8s，試確定增益 Ki和速度反饋系數(shù) Kt。同時，

42、確定在此 Ki和Kt數(shù)值下系統(tǒng)的 延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間。R(s) C(s)圖 3-3535#解由圖示得閉環(huán)特征方程為由已知條件s2Ki(iKiKt)s Ki =01 Kt芒/廠p%2* =0.15解得tp 0.8-2一 t= 0.517, 5=4.588s，Ki= 21.05Kt= 2=0.178Kitr 二td1 °.6 t °2 t2 7297sn j - t2二-arccos tt = 0.538sr,1-12#3 5ts1.476sn解畢。例3-14設(shè)控制系統(tǒng)如圖 3-36所示。試設(shè)計反饋通道傳遞函數(shù)H(s)，使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的E !值，但保持增益 K

43、及自然頻率 必不變。&C(s)s +2©ns+conH(s)R(s)圖3-36例3-14控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)s22 ns ： K ：H (s)#在題意要求下，應(yīng)取H (S)二Kts此時，閉環(huán)特征方程為：S2(2 KK t n ) ' n S 2 = 0令：2 KKn =21，解出，Kt =2(； - )/K'n故反饋通道傳遞函數(shù)為：H(s)二2(-)s#解畢。例3-15系統(tǒng)特征方程為s630s520s410s3 5s220 = 0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。s 一次解 特征式各項系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中 項的系數(shù)為零，故系

44、統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解畢。例3-16已知系統(tǒng)特征方程式為432s 8s 18s16s 5=0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。解勞斯表為1888 18-1 1616=168 5-1 0 廠516 16-8 516= 13.513.5 5-16 0 廠5s013.5由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項均具有 正號，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。例3-17已知系統(tǒng)特征方程為5432s s 2s 2s 3s 5 = 0試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如果在勞斯行列表中 某一行的第一列項等于零，但其余各項不等于零或沒有，這

45、時可用一個很小的正數(shù) 來代替為零的一項，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。5s4s3s02； 2-2勞斯行列式為37#s02 ； 25&來代替；第(-4 s- 4 5 £)s平面，所由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個很小的正數(shù)四行第一列系數(shù)為 （2 £2/ £當s趨于零時為正數(shù)；第五行第一列系數(shù)為/ （ 2 s+2）,當£趨于零時為 - 2。由于第一列變號兩次，故有兩個根在右半 以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解畢。例3-18已知系統(tǒng)特征方程為s62 s5 8s412s320s216s 16 =0試求：（1 ）在s右半平面的根的個數(shù)；（2）虛根。解如

46、果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對原點 對稱的實根，共軛虛根或（和）共軛復(fù)數(shù)根。此時，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多 項式，并對輔助多項式求導，將導數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計算勞斯行列表。對原點對稱的根可由輔助方程(令輔助多項式等于零)求得。 勞斯行列表為s182016s521216s421216s300由于s3行中各項系數(shù)全為零，于是可利用s4行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，即42P(s)=2s 12s16求輔助多項式對s的導數(shù)，得原勞斯行列表中dP(s)s=8s324ss3行各項，用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時，勞斯#行列表變?yōu)?s18205

47、s212164s212163 s8242 s616s12.670s 16新勞斯行列表中第一列沒有變號，所以沒有根在右半平面。 對原點對稱的根可解輔助方程求得。令422s 12s16 = 0得到s = j . 2 和 s = j 2解畢。例 3-19單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為KG(s)2s(as + 1)(bs +cs+1)試求：(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù);(2)當參考輸入為r 1(t)，rt 1(t )和rt2 1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。根據(jù)誤差系數(shù)公式，有 位置誤差系數(shù)為KpK2s(as 1)(bs cs ' 1)速度誤差系數(shù)為KvK=lim sG(s)

48、= lim s2 = Ks es 0 s(as 1)(bs2 cs 1)加速度誤差系數(shù)為Ka=lim s2G(s) = lim s2 = 0s ：0s “ s(as 1)( bs2 cs 1)r 1(t)，即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對應(yīng)于不同的參考輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。參考輸入為rr 門ess01 Kp 1：參考輸入為rt 1(t)，即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為rress :KvK參考輸入為rt21(t)，即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2r2r -=oO0解畢。例3-20單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為10G(S)s(1+T£)(1+T2S)輸入信號為r (t) =A+3t, A為常量，3=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 實際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號 的組合。此時，輸入信號的一般形式可表示為1 2r(t)二 r° nt -r2t系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起 的誤差的總和。所