八年級(jí)上培優(yōu)專題三全等三角形輔助線作法

1、專題三全等三角形輔助線作法、“三線合一”法：等腰三角形底邊上的高、中線、頂角的角平分線三線合一.遇到等腰三角形,可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題注意：有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形一定是等邊三角形倍長(zhǎng)中線法:遇到三角形的中線,造全等三角形。倍長(zhǎng)中線，即延長(zhǎng)中線使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)例1、已知，如圖ABC中,例1圖AB=5,AC=3則中線AD的取值范圍是A例2圖例2、如圖，ABC中，E、F分別在ABAC上，DELDF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/BAE.三、角平分線構(gòu)造全等法：即利用角平分線構(gòu)

2、造全等三角形法。遇到角平分線有三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，形成一對(duì)全等三角形。所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.（2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。（一）角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等1、如圖，已知在ABC中，/B=60°,4ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=ODAC圖2-1E求證2-1AB>AD,/BAC=FAC,CD=BCADC+B=180分

3、析可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ADCf/B之和為平角2-2,在ABC中，/A=90,AB=AC/ABDWCBD求證BC=AB+AD圖2-2BC中點(diǎn)是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高邊相交）3-1,/BAD=DACAB>AC,CD_AD于D,1一一求證：DH=2(AB-AQD.E.H圖示3-1例2.已知：如圖3-2,AB=AC/BAC=90,AD為/ABC的平分線，CHBE.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。（三）、以角分

4、線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1圖4-2例5如圖，AB/CDAEDE分另I平分/BA略/ADE求證：AD=AB+GD（四）截取構(gòu)全等可以在該角的兩邊上,距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn),然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。例8已知：如圖1-3,AB=2AC/BADWCADDA=DB求證DC!AC分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明

5、AA例9已知：如圖1-4,在ABC,/C=2ZB,AD平分/BAG求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？四、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法：具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.（一）截長(zhǎng)在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2.已知:如圖,1.已知：如圖，ABC,AD平分/B

6、AC若/C=2/B,證明：AB=AC+CD.ABC中，/A=60°,/B與/C的平分線BE,CF交于點(diǎn)I,求證：BC=BF+CE.A（二）補(bǔ)短將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段3 .已知：如圖，在正方形ABCM,E為AD上一點(diǎn)，BF平分/CBE交CD于F,求證：BE=CF+AE.AED4 .已知：如圖，在ABC中，AB=AQD為ABC外一點(diǎn)，/ABD=60,AB=BD+DC求證：/ACD=60.5 .已知：如圖，四邊形ABCD43,AB=AD/BAD=60,/BCD=120,求證：BC+DC=AC.五、中垂線法：已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直

7、平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。例1、如圖，ABC中,AD平分/BACDGLBC且平分BCDHAB于E,DFLAC于F.(1)說(shuō)明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的長(zhǎng).注意：作平行線、作垂線、作中位線是三角形問(wèn)題中最常見的輔助線作法（一）作平行線1、如圖，ABCD和CEFG是兩個(gè)正方形，AB=a,CE=b,則4BDF的面積是2、已知：如圖，在ABC中，AB=AC,D點(diǎn)在AB邊上，E在AC邊的延長(zhǎng)線上，DE交BC于點(diǎn)F,BD=CE,求證：DF=EF.（二）作垂線3、如圖，已知OP平分/AOB,C,D分別在OA、OB上，若/PCO+/PDO=1

8、80求證：PC=PD.4、已知：如圖，在ABC中，AB=2AC,/1=/2,AD=BD,求證：CDXAC.5、已知：如圖，ABC中，AB=AC,AB±AC,BM是AC邊上的中線，AD±BM,分別交BC、BM于D、E,求證：/CMD=ZAMB.MBC（三）構(gòu)造中位線6 .如圖，在ABC中，D是BC上的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，直線AC與DE交于點(diǎn)F,求證：EF=3DE.7 .在ABC中，/B=2/C,M為BC的中點(diǎn)，AD±BC,求證：DM=1/2AB.8 .在正方形ABCD43,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,/CAB的平分線交BD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G求證：C

9、G=2OF.全等三角形輔助線的作法一、遇三角形中線常見輔助線若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的旋轉(zhuǎn)”。二、角平分線常見輔助線1、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題2、截取構(gòu)全等如圖，/AOC=/BOC,如取OE=OF,并連接DE、DF,則有OEDOFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件3、延長(zhǎng)垂線段遇到垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形4、作平行線、以角平分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形、通過(guò)一邊上的

10、點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形三、等腰三角形的主線合一”性質(zhì)的逆定理三線合一”性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理：、如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的中線重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。【簡(jiǎn)言之】：三角形中任意兩線合一，必能推導(dǎo)出它是一個(gè)等腰三角形。四、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。、對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊