幾何畫板迭代詳解之：迭代與分形幾何

1、幾何畫板迭代詳解之：迭代與分形幾何佛山市南海區(qū)石門中學(xué)謝輔炬分形的特點是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結(jié)構(gòu)。分形圖片具有無可爭議的美學(xué)感召力，特別是對于從事分形研究的科學(xué)家來說。欣賞分形之美當(dāng)然也要求具有一定的科學(xué)文化知識，但相對而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我們身邊，我們身體中的血液循環(huán)管道系統(tǒng)、肺臟氣管分岔過程、大腦皮層、消化道小腸絨毛等等都是分形，參天大樹、連綿的山脈、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人們對這些東西太熟悉了，當(dāng)然熟悉不等于真正理解。分形的確貼近人們的生活，因而由分形而來的分形藝術(shù)也并不遙遠，普通人也能體驗分形之美。因為分形幾何的迭代的原像一

2、般不止一個，而且均為多映射迭代，為了敘述的方便，我們先作以下兩個約定。1 .用(A,B,C)表示有順序的兩點AB和C。2 .(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D,B映射到D,C映射到F,然后添加映射A映射到GB映射到H,C映射到I,如此類推。Sierpinski三角形】波蘭著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915-1916年期間，為實變函數(shù)理論構(gòu)造了幾個典型的例子，這些怪物常稱作謝氏地毯"、謝氏三角"、謝氏海綿"、謝氏墓垛”。如今，幾乎任何一本講分形的書都要提到這些例子。它們不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的Sierpinski三角形，它是很

3、有代表性的線性分形，具有嚴(yán)格的自相似特點。不斷連接等邊三角形的中點，挖去中間新的小三角形進行分割-隨著分割不斷進行Sierpinski三角形總面積趨于零，總長度趨于無窮。Sierpinski三角形在力學(xué)上也有實用價值，Sierpinski三角形結(jié)構(gòu)節(jié)省材料，強度高，例如埃菲爾鐵塔的結(jié)構(gòu)與它就很相似?！静襟E】1 .在平面上任意畫一個三角形ABC取三邊中點為DE、F,連接DEF2 .新建參數(shù)n=33 .順次選擇B,C,A三點和參數(shù)n,作深度迭代，(B,C,A)(D,F,A)。4.添加新的映射,(B,C,A)(B,E,D)第3步5 .繼續(xù)添加映射。(B,C,A)(E,C,F)6 .改變參數(shù)n可觀察圖

4、形變化第5步第6步Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步驟多了一些。取正方形將其9等分，得到9個小正方形，舍去中央的小正方形，保留周圍8個小正方形。然后對每個小正方形再9等分，并同樣舍去中央正方形。按此規(guī)則不斷細(xì)分與舍去，直至無窮。謝爾賓斯基地毯的極限圖形面積趨于零，小正方形個數(shù)與其邊的線段數(shù)目趨于無窮多，它是一個線集，圖形具有嚴(yán)格的自相似性?！静襟E】1 .平面上任取線段AB,以線段AB構(gòu)造正方形ABCD2 .以A為縮放中心，B、D縮放為1/3，得到E、F;以D為縮放中心，A、C縮放為1/3得到GH。同理得到I、J、K、L。連接各點，將正方形九等分；3 .并填充中間的

5、正方形MNO尸度量MNO的面積，選擇改度量結(jié)果和填充的正方形，單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】，單擊確定。則該MNO的顏色隨它的面積變化而變化。目畫就S1Q，胃一手同iHlB星-3E高手Ji曲野'r!'.:L.H就L&E謂再teiL直衰更-芭莖叵三餐手屋足皆一蓬和靛5S4 .新建參數(shù)n=4,順次選擇A、B兩點和參數(shù)n,作深度迭代，（A,B）(G,P)；(P,Q；(O,J);(F,M;(MN);(N,K);(A,E);(E,L);（L,B）。注意迭代中點的對應(yīng)，當(dāng)?shù)蛘谧D像的時候可用鼠標(biāo)選中拖動開。單擊迭代，隱臧不必要的點如果我們制作任意三角形的Sierpinski三角形

6、和任意四邊形的Sierpinski地毯（即三角形和四邊形的頂點都是自由點），然后按照多面體的側(cè)面數(shù)將他們復(fù)制。利用畫板合并點的功能，將它們“粘貼”到三棱錐和正方體的各個側(cè)面上,（如下圖）可以制作空間的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢?【搖曳的PythagoreanTree（畢達哥拉斯樹）*71收:季畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)勾股定理（西方叫做畢達哥拉斯定理）聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。1988年，勞威爾通過數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)畢達哥拉斯樹花是一迭代函數(shù)系的J集半圓弧OCD,在該弧上任取一點E,連接CE,DE隱藏不必要的對象示】【顏色】【參數(shù)】。則四邊形的顏色會隨它的面積變化而變化面積

7、ABCD=7.72配籽效果。當(dāng)E點在OCD的中點時，整個樹顯出對稱美t，：；妒*|面租怦款）n聃1.在屏幕上以任取兩點A和B,作正方形ABCD以CD為直徑作圓0,取2.填充四邊形ABCD度量ABCD勺面積。選擇四邊形和度量結(jié)果，單擊【顯3.新建參數(shù)n=4,選擇A、B和n,作深度迭代，（A,B）（D,E）,（E,C）第2步第3步4.選才¥E點，單擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，E點變動，很漂亮的【分形樹】【分析】和畢達哥拉斯樹類似，樹枝按一定的規(guī)律生長?！具^程】1.在垂直方向上畫線段AB,在AB左上區(qū)域任取一點C。2.3.度量CB,BA的長度，計算CB/BA度量CBA的大小。雙擊C點

8、作為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為CBA,旋轉(zhuǎn)B得到點E;繼續(xù)以CB/BA為縮放比例，E點縮為F點；雙擊線段CB作為標(biāo)記鏡面，得到F點關(guān)于線段CB的對稱點G連接GCFC4.雙擊線段AB作為標(biāo)記鏡面,I,連接BD.HDID。得到GF、G關(guān)于線段AB的對稱點DH、mZCBA=150J3-mce=o.s«厘米inBA=1.24哩米tnCB=0.69EFmBAin/CBA=153.63*inCB=1.10m麗=1M4理來inCB=0.76mBAi)=：3.005.新建參數(shù)n=3。順次選擇A、C三點和參數(shù)n,作深度迭代，（A,B,C）(B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)mBAn

9、=3.00mZCBA=153.6臚=國米m戢=1.44厘米6.移動C點的位置，改變樹枝的形狀J【KOCFffl線】瑞典數(shù)學(xué)家柯赫于1904年構(gòu)造了如今稱之為柯赫曲線"(Kochcurve)的幾何對象，這一年他一共發(fā)表了兩篇論文描述這種曲線，他畫出了此曲線的圖形，給出了生成步驟。它的構(gòu)造過程如下：取一條長度為L的直線段，與構(gòu)造三分康托爾點集那樣先將它三等分，然后保留兩側(cè)的兩段，將中間的一段改成夾角為60°的兩個等長的直線，每段長度均為L/3,這是n=1的第一次操作。類似地，第二次操作是將上次所得的四段邊長為L/3的線段都進行三等分，現(xiàn)在每段長度為L/9,并將它們中間的一段改成

10、夾角為60°的兩個長度為L/9的直線。如果將上述操作一直進行下去，最終得到一條具有自相似結(jié)構(gòu)的曲線，稱為三次科赫曲線。【步驟】1 .畫線段AR以A為縮放中心，B縮短為1/3，得到C點；同理以B為縮放中心，A縮短為1/3,得到D點。以C點為旋轉(zhuǎn)中心，D點順時針旋轉(zhuǎn)60度，得到E點。2 .隱藏線段AB,連接線段AGCEEDDB3 .新建參數(shù)n=3,順次選擇A、B兩點和n,作深度迭代。(A,B)(A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。(如下圖所示)n=3,004 .單擊迭代框的“顯示”按鈕，選擇”顯示最終迭代”。隱藏線段AGCEEDDB(如下圖所示)。5.【KOC用花】因為它酷似雪

11、花，所以叫“雪花曲線”(snowflakecurve),也很像海岸線?？潞涨€的生成過程很簡單，以一個三角形作為源多邊形，即初始元，將三角形的每一邊做三等分，舍去中間的1/3,然后按科赫曲線的規(guī)則產(chǎn)生生成元。從源多邊形開始，第一步形成一個六角星形，第二步將六角星形的12條邊然后按科赫曲線的生成規(guī)則進行同樣的操作得48條邊星形，如圖4-5,以后依此進行同樣得操作，直至無窮，生成稱為科赫雪花的圖形。在極限的情況下，科赫雪花的上的折線演變成為曲線。由于科赫曲線生成中的每一步操作都會使折線的長度增加，所以在極限的情況下，科赫雪花邊的總長度將趨于無窮。柯赫曲線是很復(fù)雜的，首先它有許多折點，到處都是“尖端

12、”，用數(shù)學(xué)的語言講，曲線雖然連續(xù)，但處處不可微，即沒有切線?！静襟E】1 .在平面上取AB做一個KOCHI線，然后在A的左端任取一點G,在B的右邊任取一點F,分別在AG和BF上做KOCK花，注意三個迭代深度都必須為n。2 .以B點為旋轉(zhuǎn)中心，A順時針旋轉(zhuǎn)60度得到H點。選擇GH兩點，單擊【編輯】【合并點】，則G點與H點合并。同理，再合并HF兩點。KOCHJ花完成了。【數(shù)學(xué)之美】【步驟】1 .任取兩點A、B,并作正方形ABCD2 .在AB上任取一點E,連接BE,度量線段BE的長度并計算BE/AR3 .雙擊A點作為縮放中心，選擇D點，單擊【變換】【縮放】以計算結(jié)果'AE/AB為比例縮放，得到

13、點F;同理以D點為中心，縮放C點得到點G;以C點為縮放中心，縮放B點得到點H。連接正方形EFGH4.mEB=1.63厘米mAB=4,63厘米mEB_-0*35inAB新建參數(shù)n=5,順次選擇A、B兩點，和參數(shù)n,按下shift鍵不放,作深度迭代，(A,B)(F,E)o如下圖所示:DmEB=1.63M米mAB=4w«3厘米mEB=0J5mABn=SJOAEE5.選才¥E點，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】。E點變動，產(chǎn)生夢幻般的效果?！綡迭代】【步驟】1 .在水平直線上取兩點A和B,連接AR以A點為旋轉(zhuǎn)中心，B點順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到C點，再取AC中點Db2 .以D為旋轉(zhuǎn)中心，C點順時針旋轉(zhuǎn)90度得到E點，取DE中點F。以D為旋轉(zhuǎn)中心，F(xiàn)點再旋轉(zhuǎn)180度得到G點。連接FG3 .同理再畫出HI兩點。以AB為標(biāo)記鏡面，得到F、GH、I關(guān)于AB的對稱點J、K、L、M,連接線段JK,LM(如下圖所示)EFDGK4 .隱藏不必要的點，新建參數(shù)n=4。順次選擇A、B兩點、參數(shù)n,作深度迭代,(A,B)(F,G),(H,I),(J,K),(L,M)n=4.005 .單擊迭代，隱藏各點的標(biāo)簽【蜂巢】蜜蜂地巢你觀察過沒有？是什么形狀呢？聰明的蜜蜂選擇了正六邊形，因為這樣可以填充整個空間，而且正六邊形是最省材料的一中結(jié)構(gòu)。從蜂巢中我