2020屆廣東省六校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

1、2020屆廣東六校高三第二次聯(lián)考試題、選擇題：本題 12小題，每小題5分，共60分。設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R, M = x 1og2 x 1,N(CuM )A.C.復(fù)數(shù)z滿足23izi （其中i是虛數(shù)單位）z的虛部為A.C.在 ABC中,AB73, ac 130°,貝U AA.60B . 30 或90C. 60 或 120D. 90r設(shè)平面向量a2,1,2,若a與b的夾角為銳角,的取值范圍是A.4,1B.2,2U 2,C.1,1若 a 0, b0,則“8”ab 16” 的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件10g3 0.4A.abc.ab7.已知函

2、數(shù)fA.1,1,設(shè)等差數(shù)列anA. 18C.f 2x 31,4則實(shí)數(shù)x的取值范圍前n項(xiàng)和為Sn ,若a%S5S714 ,則 a.C. 149 .某幾何體的三視圖如圖所示， 則該幾何體的體積為（7A.6C. 210 .函數(shù) f (x)B.D .431361 sin x圖象的大致形狀是D.PA m PB| ,當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)A.B.C.12.若存在唯一的正整數(shù)Xo ,使得不等式2xxeax a 0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.0,5B.4 1c 2 , 一3e e1C. 0,-e4 1D. -r -3e e二、填空題，本題4個(gè)小題，每小題5分，共20分。211 .己知點(diǎn)A是拋物線x 4 y的對(duì)

3、稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn) B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足P恰好在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為r13 . a為單位向量,14 .若 tan 2 ,則 tan2_41 31 ,21.、15 .若fx -x - f 1 x x 則曲線y f x在點(diǎn)(1,f 1 )處的切線方程是 32216 .已知三棱錐P ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上， 底面 ABC滿足BA BC J6 , ABC 一，2若該三棱錐體積的最大值為 3,則其外接球的體積為 L三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 17至21題為必做題，每小題 12分；第22、23題為選做題，每小題 1

4、0分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。(一)必做部分17 .(本小題 12 分)已知函數(shù) f(x) (，3cosx sin x)2 2j3sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小值，并寫(xiě)出f(x)取得最小值時(shí)自變量 x的取值集合；2& 9, n N*, 6 1,(2)若x , -2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.18 .(本小題12分)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和記為Sn , a1 9 , an 1bn 1 bnlOg3an.(1 )求an的通項(xiàng)公式;(2)求證：對(duì)n N* ,總有1b1b21 bn19 .(本小題12分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，平面A

5、BCD 平面PAD , AD/BC,1AB BC AP -AD , ADP 30 BAD 90 . 2(1)證明：PD PB ;_ 1 _(2)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且PM PC ,若 MBC的面積為 3翼7,求四棱錐P ABCD的體積.320 .(本小題12分)在直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F (1,0)的距離和它到定直線 x 4的距離之比1是一，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E . 2_2|CD |2E的弦為CD ,若CD/AB ,求證：JL |AB|(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)設(shè)過(guò)F的直線交軌跡 E的弦為AB ,過(guò)原點(diǎn)的直線交軌跡為定值.221 .(本小題12分)已知函數(shù) fx lnxx1,

6、gx x 2x .(1)求函數(shù)y f x g x的極值；(2)若實(shí)數(shù)m為整數(shù)，且對(duì)任意的 x 0時(shí)，都有f x mg x 0恒成立，求實(shí)數(shù) m的最小值.x22.在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，曲線c的參數(shù)方程為 y軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為 sin(二)選做部分(二選一，本小題 10分)3cos.(為參數(shù))，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半sin2(1)求曲線c的普通方程和直線l的傾斜角;(2)設(shè)點(diǎn)P(0,2),直線l和曲線c交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|.23 .已知 f x2x2 2x 1 a.2(1)當(dāng)a 3時(shí)，求不等式f x x x的解集；(2)若不等式f x 0的解集為實(shí)數(shù)集

7、 r,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2020屆tWj二第二次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案、選擇題CDBAB BCCAD AD、填空題13、叵 14、315、3x 3y 1 016、32243三、解答題17、解:1) f(x)3cos2 x sin2 x 2、3sinxcosx 2、3sin2x=2cos2x 1.3 sin 2x =cos2x .3 sin 2x 2=2cos(2 x -) 2當(dāng)2x 一 32k ，即 x k (k3Z)時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值為0。(2)由 2k 2x - 32k ,得：一k x - k ,k Z，63因?yàn)閤 £7，所以，k 0,x即x 一,T,函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)

8、間為一,一。2 26 312分18、解：(1 )由 an 12Sn 9(n 1) .可得 an2Sn 1 9(n 2),兩式相減得an 1an又22 2sl 927, a2 3a1.n 1*故an是首項(xiàng)為9,公比為3的等比數(shù)列，an 3 ,n N。 5分n 1(2) bn 1bnlog3 3 n 1當(dāng)n 2時(shí)，bn(bnbn 1) (bn 1 bn 2) L(b2 b1) b1 n L(2 1) 1(1 n)n(1 n)n *1符合上式，bn -)-,n N .bnn(n2-,n1)1則rb12(1b1b2bn2(119、解:ABb22(110分2,2(1平面在APAD中,廣2(11Lbn2Q

9、平面ABCD平面PADBAD=9012分Q AP由正弦定理可得:APD 90 , PD 平面 PAB(2)取AD的中點(diǎn)F ,AB1 -AD 2APsin ADPPD PA ,ADP 30 ,ADsin APD又PAABPD PB .連結(jié)CF、PF ,設(shè)AD2aPB PC J2a,，APBC為等腰三角形，且底邊Q PMAMBC的面積為APBC的面積為J7,工 a a 71 解得：a 2 ,22四梭錐P ABCD的體積為1 1 2 4 2 .3 2 3 .3 2BCAB,則AP a, PD J3a,則12分20、解：（1）設(shè)點(diǎn)Px,y ,由題意得近1）|x 4|1。， L-,將兩邊平方，并簡(jiǎn)化得2

10、2匕1.32 x故軌跡C1的方程是4（2）證明：當(dāng)直線 AB的斜率不存在時(shí)，易求|AB|2|CD |2,貝UL 4 .|AB|當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB的斜率為k ,依題意k 0,則直線AB的方程為y k（x 1）,直線CD的方程為y kx.設(shè) A x1, y1B x2,y2C x3, y3D x4,y42y3 k(x1 八.得3 4k1)22x 8kx4k2 12 0則x1x28k23 4k22_4k2 123 4k2 '|AB|1 k2 x1x2E424k2 123 4k212 1 k23 4k22 x由 4y2L 13 整理得xkx122 ,則治3 4k2x44.33

11、4k2|CD|. 1k2 X3x43 1 k24 ' 3 4k210分|CD |2|AB|48 1 k2- 23 4k23 4k2 F 4.12 1 k4為定值.12分|CD |2綜合知：L| AB|21、解:設(shè)f x g x ln xX 1,X極大(2)由0,0,2x2x 1 x 10,.mln x2X顯然1-上單調(diào)遞增, 21 2,上單調(diào)遞減,ln 2無(wú)極小值.mg2xln x x 1m x2 2x0,0,上恒成立,ln x x 10,2x2lnx 2ln x22x0, t由零點(diǎn)定理得Xq且 X0,Xq時(shí),Xq,時(shí),h0,Xq.hXmax又由22x12,10,0,上單調(diào)遞減1 2l

12、n2使得t Xq2lnq,0,即Xq2ln Xq0.則h上單調(diào)遞增，在h Xqln XqXq12Xq2xqXq 2ln Xqq,Xq2,1Xq,上單調(diào)遞減XqIn XqXq 1.由m h x恒成立,m為整數(shù)，可得2Xq 2Xq2Xq1一，12m的最小值為1.12分22、解：（1）x 3cos , y sin ,消去參數(shù)y1 2 1，2即c的普通方程為y1.9由 sin 亞，得 sin cos 2, （ *）xcos將.，代入（*）,化簡(jiǎn)得y x+2 ,ysin所以直線l的傾斜角為一 4（2）由（1 ）,知點(diǎn)P（0, 2）在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為22 ?tx t cos 一（t為參數(shù)），4，/一 r（t為參數(shù)），即y 2 tsin 42代入x- y2 1并化簡(jiǎn)，得5t2 18j2t 27 0, 9（18 回2 4 5 27 108 0,設(shè)A , B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t , t2 ,則t1 t218 252750,10分所以 t1 0, t2 0,所以 | PA | |PB| t1 t223、解：（1）當(dāng) a3時(shí)，f x 2x2 2x 1 3,1,或x 2,所以x 1.x ,得 x2 x 2 0 ,解得：x22x x 得 x2 3x 2 0,3.17317 .所以x ,2x ，得 x2 x 4 0,_2當(dāng)x 0時(shí)，由f x x-1.當(dāng)0 x 一時(shí)，