數(shù)學(xué)分析14-7隱含數(shù)的幾何應(yīng)用ppt課件

1、2021041714.7 14.7 隱函數(shù)定理的幾何應(yīng)用隱函數(shù)定理的幾何應(yīng)用一、平面曲線的切線與法線一、平面曲線的切線與法線設(shè)平面曲線的方程設(shè)平面曲線的方程. 0),( yxF)(xfy :切線方程切線方程)( 000 xxxfyy :法線方程法線方程)()( 1000 xxxfyy 而而,)( yxFFxf 所以所以 :切線切線 :法線法線0)(,()(,(000000 yyyxFxxyxFyx0)(,()(,(000000 yyyxFxxyxFxy設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tzztyytxxozyx二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面M.),(00

2、00tttzzyyxxM 對對應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對對應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M (1)式中的三個函數(shù)均在式中的三個函數(shù)均在0tt 處可導(dǎo)處可導(dǎo). 0)( )( )( 202020 tztytx且且考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx ,0,時時即即當當 tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)( )( )( 000000tzzztyyytxxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱

3、為曲線的切向量. )( ),( ),( 000tztytxT 法平面：過法平面：過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)( )( )( 000000 zztzyytyxxtx例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當當0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空間曲

4、線方程為空間曲線方程為,)()( zyyzxx,),(000處處在在zyxM,1)( )( 00000zzzyyyzxxx . 0)()( )( 00000 zzyyzyxxzx法平面方程為法平面方程為切切線線方方程程為為特殊地：特殊地：2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF, 0),(),(0 MyxGF),(),( zyzx ),(),(0000zyzx 使使得得且且 dzdx, ),(),(),(),(yxGFyzGF dzdy),(),(),(),(yxGFzxGF 切線方程為切線方程為,000000MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyG

5、GFFxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy,100000zzdzdyyydzdxxxMM :即即例例 2 2 求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點點)1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)并移項，得求導(dǎo)并移項，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211

6、 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF),( ),( ),( 000tztytxT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點M的曲線的曲線,)()()(: tzztyytxx 三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令那那么么,Tn 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxx

7、zyxFzyx(Tangent Plane) 通通過過點點),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點點的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量(Normal vector)即即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.(Normal Line)特殊地：空間曲面方程形為特殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面

8、方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它與與z軸軸的的正正向向所所成成的的角角 是是銳銳角角，則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3

9、3 求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面122 yxz在在點點)4 , 1 , 2(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx例例 4 4 求求曲曲面面32 xyezz在在點點)0 , 2 , 1(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0

10、,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程.解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)空間曲線的切