第3章剛體力學(xué)

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容:1.基本概念基本概念:剛體剛體,角速度角速度,角加速度角加速度,轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量,力矩力矩,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,角動(dòng)量。角動(dòng)量。2.基本定律基本定律:轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理理,角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理,角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律.教學(xué)要求教學(xué)要求:1.掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律,理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念;2.理解角動(dòng)量理解角動(dòng)量,角動(dòng)量守恒定律及適用條角動(dòng)量守恒定律及適用條件件,能運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律分析計(jì)算簡(jiǎn)能運(yùn)用角動(dòng)量守恒定律分析計(jì)算簡(jiǎn)單的力學(xué)問題單的力學(xué)問題;3.了解剛體的平面運(yùn)動(dòng)了解剛體的平面運(yùn)動(dòng)5-1 5-1 剛體剛體 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)

2、動(dòng)學(xué)一一. .剛體模型剛體模型 說(shuō)明說(shuō)明:1):1)理想模型理想模型; ; 2) 2)在外力的作用下在外力的作用下, ,任意兩任意兩點(diǎn)均不發(fā)生相對(duì)位移點(diǎn)均不發(fā)生相對(duì)位移; ; 3) 3)內(nèi)力無(wú)窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力無(wú)窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系 剛體力學(xué)是牛頓力學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展剛體力學(xué)是牛頓力學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展, ,所所有研究質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的方法均可挪用。有研究質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的方法均可挪用。學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法: :類比法類比法在任何外力作用下在任何外力作用下, ,形狀形狀大小均不發(fā)生改變的物體大小均不發(fā)生改變的物體. .二二. .剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)1.1.剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng)剛體上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都相同剛體上所有點(diǎn)的

3、運(yùn)動(dòng)軌跡都相同, ,可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理. .剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的園周運(yùn)動(dòng)不同半徑的園周運(yùn)動(dòng), ,且在相且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度. .2.2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3.3.剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)可視為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成可視為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成. .三三. .描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量1.1.參考平面參考平面2.2.角坐標(biāo)、角位移角坐標(biāo)、角位移)(t d 是標(biāo)量是標(biāo)量, ,規(guī)定徑矢規(guī)定徑矢從從OXOX軸沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)軸沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)時(shí), ,角坐標(biāo)為正。角坐標(biāo)為正。)(t dP(t+dt

4、P(t+dt) ) P(tP(t) )XOz z3.3.角速度：角速度：dtd 對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng),可用正負(fù)號(hào)表示其方向可用正負(fù)號(hào)表示其方向.22dtddtd rv vrdtd ra 2 ran FrM sinFrFdM FrM (2)(2)幾個(gè)力同時(shí)作用幾個(gè)力同時(shí)作用, ,合力矩為合力矩為333222111sinsinsin FrFrFrMr1r1F1F1r2r2F2F2r3r3F3F3132合力矩的大小等合力矩的大小等于各力矩的代數(shù)和于各力矩的代數(shù)和. .思考思考: :力力F F不在參考不在參考平面內(nèi)平面內(nèi),M=?,M=?剛體內(nèi)各剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力力矩質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力力矩? ?討論討論

5、：FrM 21MMM(3)(3)內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩考察任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)考察任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1 1、2 2 2112ff 22121121sinsin frfr drr 2211sinsin 02112 dfdfM討論討論：2112MMM FrM 1r2r12f21f12d二二. .剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體上任意質(zhì)元：剛體上任意質(zhì)元： ,iirm) 1 (iiiiamfF 自然坐標(biāo)系中分量形式：自然坐標(biāo)系中分量形式：）運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)（力力質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)amF ？外外力力矩矩剛剛體體 M)2(coscos:iniiiiiamfFn )3(sinsin: iiiiiiamfFi i iFifi

6、rzim在在 和和 的作用下作的作用下作圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng), ,由牛頓定律由牛頓定律: :iiFfim法向分力產(chǎn)生的力矩為零法向分力產(chǎn)生的力矩為零. .:)3(ir 2sinsiniiiiiiiiiiirmramfrFr 對(duì)組成剛體的質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)：對(duì)組成剛體的質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)：)4(2 iiiinrara)3(sinsin: iiiiiiamfF)sinsin(iiiiiifrFr 2iirm內(nèi)力力矩為零內(nèi)力力矩為零,故總力矩：故總力矩： iiimrM2i i iFifirzim總力矩總力矩： iiimrM2令令 iiimrJ2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JMJM討論討論： , JM(1) (1)

7、 均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸, ,具有瞬時(shí)性。具有瞬時(shí)性。 JM(2)(2)比較比較 aMF 和和對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體 dmrJ2表明表明: :改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩M M 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性 iiimrJ2(3)dxlmdm 22222121mldxlmxdmrJll dxdxdmX XO Odmmldx X XO O202231mldxlmxdmrJl dxdxdm轉(zhuǎn)軸過(guò)圓心與環(huán)面垂直轉(zhuǎn)軸過(guò)圓心與環(huán)面垂直R Ro om m解解: :質(zhì)元質(zhì)元dldm 22022RmdlRdmRJR Rm 2可見可見: :J J與剛體質(zhì)量分布與剛體質(zhì)量分布

8、, ,形狀形狀, ,大大小小, ,密度密度, ,轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。dmdm2mdJJc C Cd dZ ZC CZ ZC CcJZcZ(2)(2)正交軸定律：正交軸定律：ZXYyxzJJJ ? J可用于以下情況的計(jì)算：可用于以下情況的計(jì)算：241mRJ 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體的物體A A靜止在光滑的水靜止在光滑的水平面上平面上, ,它和一輕繩相連接它和一輕繩相連接, ,此繩跨過(guò)一半此繩跨過(guò)一半徑為徑為R R、質(zhì)量為、質(zhì)量為 的園柱形滑輪的園柱形滑輪C,C,并系在并系在另一質(zhì)量為另一質(zhì)量為 的物體的物體B B上上, ,滑輪與軸承間滑輪與軸承間的摩擦力不計(jì)的摩擦力不計(jì). .問：?jiǎn)枺?1)(

9、1)兩物體的線加兩物體的線加 速度速度? ? 水平和鉛直水平和鉛直 兩段繩的張力？?jī)啥卫K的張力？(2)B(2)B由靜止下落距離由靜止下落距離y y時(shí)速率？時(shí)速率？(3)(3)若滑輪與軸承間的摩擦力矩為若滑輪與軸承間的摩擦力矩為 , ,再再求線加速度及繩的張力求線加速度及繩的張力. .AmCmBm MABC)1(1amTA )2(:2amTgmBBB 物物體體T1T2PBT2T1)3(:12 JRTRTC物物體體分別根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：分別根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程： RaRmJC,212A AB BC C解解(1)(2)(3)(1)(2)(3)得：得：CBABmmmgma2

10、1 CBABAmmmgmmT211 CBABCAmmmgmmmT21)21(2 vaym gymmmBABC 2212 JMRTRT 12解解(1)(2)(4),(1)(2)(4),即可得即可得 a,Ta,T)4(21212RamRaRmCC 例例2 2: :一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l,l,質(zhì)量為質(zhì)量為m m的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置置, ,其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈o o相連相連, ,并可繞其并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng). .當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí), ,細(xì)桿將在重力細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈的作用下由靜止開始繞鉸鏈o o轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng). .試計(jì)算試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈細(xì)桿轉(zhuǎn)到與

11、鉛直線呈 角時(shí)的角加速度和角時(shí)的角加速度和角速度角速度. . P PO O取任一狀態(tài)取任一狀態(tài), ,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JmglMsin21外外231mlJ sin23lg又又: : sin23lgdtddddtd dgld 32sin:0, 0,0:00得得時(shí)時(shí)由由初初始始條條件件 t sin23lg)cos1(23 lg 00sin23dlgd1.1.剛體受力分析，確定各力的力剛體受力分析，確定各力的力矩及方向，若為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)則用矩及方向，若為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)則用正負(fù)表示之。正負(fù)表示之。2.2.求出合外力矩，據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律求出合外力矩，據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 列方程。列方程。 JMo o 研究力矩的空間累積效應(yīng)研

12、究力矩的空間累積效應(yīng)FMrF ？力力矩矩剛剛體體角角位位移移 WMd MdW力矩功的表達(dá)式：力矩功的表達(dá)式：由功的定義式由功的定義式: : rdFdsFsdFdW MddWsdFWFsd 功功力力質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位位移移r r d1)M1)M恒定時(shí)恒定時(shí), , dMW(2)(2)幾個(gè)力矩同時(shí)作用時(shí)幾個(gè)力矩同時(shí)作用時(shí), , iMM dMWi(3)(3)內(nèi)力矩做功為零內(nèi)力矩做功為零證明證明: :dWfdr121212 ,dWfdr212121 )(:2112122112rdrdfdWdW 求求和和因?yàn)橐驗(yàn)?,21,2之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)0)()(21122112 rrdr dr d02112

13、dWdW內(nèi)力矩作功之和為零內(nèi)力矩作功之和為零d1r2r12f21f1 2 二二. .力矩的功率力矩的功率 MdtdMdtdWN三三. .剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體分為剛體分為,21immm對(duì)應(yīng)位置對(duì)應(yīng)位置 ,21irrr動(dòng)能為動(dòng)能為,21kikkEEE剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), ,各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：2222121 iiiikirmvmE2222121 JrmEiiik剛體的動(dòng)能為各質(zhì)元?jiǎng)幽艿目偤停簞傮w的動(dòng)能為各質(zhì)元?jiǎng)幽艿目偤停河赊D(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM 21MdW研究力矩作功和剛體動(dòng)能變化關(guān)系。研究力矩作功和剛體動(dòng)能變化關(guān)系。 dJMd dJddtdJ2122212121 JJ

14、dJcpmghE CmghJEc 22121EE o om mh hM M. .一質(zhì)量為一質(zhì)量為M,M,半徑為半徑為R R的圓盤繞一無(wú)摩的圓盤繞一無(wú)摩擦軸轉(zhuǎn)動(dòng)擦軸轉(zhuǎn)動(dòng), ,盤上繞有輕繩盤上繞有輕繩, ,下端掛物體下端掛物體m.m.求求當(dāng)當(dāng)m m由靜止下落高度由靜止下落高度h h時(shí)速度時(shí)速度v v？N NT TG G解解: :對(duì)對(duì)m m：2022121 JJTR2022121mvmvThmgh 0000 ，且且v可得可得: :mMmghv22 亦可用機(jī)械能守恒解亦可用機(jī)械能守恒解比比較較？與與的的大大小小討討論論ghv2, RvRh，又又對(duì)剛體對(duì)剛體: :p pT Tm m回顧質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及動(dòng)量定

15、理回顧質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及動(dòng)量定理: :vmP PdvmddtF )()(:vmrddtM 即即)()(vmrddtFr vmrPrL 方向由右手定則確定方向由右手定則確定單位單位: :skgm /2量綱量綱: :12 MTLLrvm OABSmrvL 2sin: : 2mrmrvLO OvvO O0 L? LvmrPrL )(vmrdtd 又又)()(vmdtrddtvmdr dtvmdF)( dtvmdrFr)( 0, vvvdtrddtvmdrvmrdtd)()( )(PrdtdFr dtLdM LddtM 或或 2112ttLLdtM2)2)若若 00LdM則則dtM沖量矩沖量矩 vmrLM0

16、恒矢量恒矢量0 FF例例4 4. .一小球沿豎直的光滑圓軌道由靜止一小球沿豎直的光滑圓軌道由靜止開始下滑開始下滑. .求小球在求小球在B B點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)心的角動(dòng)點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)心的角動(dòng)量和角速度量和角速度. .解解: :力矩分析力矩分析用角動(dòng)量定理：用角動(dòng)量定理： cosmgRMdtdLM dtmgRdL cos dgRmLdLcos32 0320cos dgRmLdLL sin2:23gmRL得得dtdmRmRL 22又又B BA AR R 2mrLJL iiiirvmL JrmrvmLiiiii2方向均相同方向均相同 JL矢量式：矢量式：剛體對(duì)剛體對(duì)Z Z軸的角動(dòng)量為軸的角動(dòng)量為：imo oirimi

17、v Z ZiL)(2 iiiirmdtddtdLM iiiiiiirmdtdLdtdMM)()(2外外dtdLJdtdM )( 2112ttJJMdt0 內(nèi)內(nèi)iMLddtM im當(dāng)當(dāng)恒恒矢矢量量時(shí)時(shí)外外 JLM,0北北南南北北南南角動(dòng)量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在角動(dòng)量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在空間保持不變空間保持不變, ,因而產(chǎn)生了季節(jié)變化因而產(chǎn)生了季節(jié)變化. .例例5 5. .一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l,l,質(zhì)量為質(zhì)量為M M的桿可繞支點(diǎn)的桿可繞支點(diǎn)O O自自由轉(zhuǎn)動(dòng)由轉(zhuǎn)動(dòng). .一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m、速率為、速率為v v的子彈射入的子彈射入距支點(diǎn)距支點(diǎn)a a的棒內(nèi)的棒內(nèi), ,若桿的偏轉(zhuǎn)角為若桿的偏轉(zhuǎn)角為 ,

18、 ,子彈子彈的初速率為多少的初速率為多少? ?030碰撞分為兩過(guò)程碰撞分為兩過(guò)程: :(1)(1)碰撞瞬間角動(dòng)量守恒碰撞瞬間角動(dòng)量守恒)1()31(22 maMlmvaa aL LV Vm mM M(2)(2)子彈入桿后向上擺動(dòng)子彈入桿后向上擺動(dòng), ,系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒)2()30cos1 (2)30cos1 (00 lMgmga解解(1)2)(1)2)得得: :)3)(2)(32(6122maMlmaMlgmav (2)(2)子彈入桿后向上擺動(dòng)子彈入桿后向上擺動(dòng), ,系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒222)31(21 maml(1)(1)碰撞瞬間角動(dòng)量守恒碰撞瞬間角動(dòng)量守恒) 1 ()31(22 maMlmvaa aL Lo o0300 pE例例6 6. .兩個(gè)均質(zhì)園盤兩個(gè)均質(zhì)園盤A A、B,B,質(zhì)量為質(zhì)量為21,mm分別裝在通過(guò)其自身軸線的豎直軸上分別