第3章剛體力學

1、主要內容主要內容:1.基本概念基本概念:剛體剛體,角速度角速度,角加速度角加速度,轉動轉動慣量慣量,力矩力矩,轉動動能轉動動能,角動量。角動量。2.基本定律基本定律:轉動定律轉動定律,定軸轉動動能定定軸轉動動能定理理,角動量定理角動量定理,角動量守恒定律角動量守恒定律.教學要求教學要求:1.掌握轉動定律掌握轉動定律,理解轉動慣量的概念理解轉動慣量的概念;2.理解角動量理解角動量,角動量守恒定律及適用條角動量守恒定律及適用條件件,能運用角動量守恒定律分析計算簡能運用角動量守恒定律分析計算簡單的力學問題單的力學問題;3.了解剛體的平面運動了解剛體的平面運動5-1 5-1 剛體剛體 剛體運動學剛體運

2、動學一一. .剛體模型剛體模型 說明說明:1):1)理想模型理想模型; ; 2) 2)在外力的作用下在外力的作用下, ,任意兩任意兩點均不發(fā)生相對位移點均不發(fā)生相對位移; ; 3) 3)內力無窮大的特殊質點系內力無窮大的特殊質點系 剛體力學是牛頓力學的應用和發(fā)展剛體力學是牛頓力學的應用和發(fā)展, ,所所有研究質點、質點系的方法均可挪用。有研究質點、質點系的方法均可挪用。學習方法學習方法: :類比法類比法在任何外力作用下在任何外力作用下, ,形狀形狀大小均不發(fā)生改變的物體大小均不發(fā)生改變的物體. .二二. .剛體運動學剛體運動學1.1.剛體的平動剛體的平動剛體上所有點的運動軌跡都相同剛體上所有點的

3、運動軌跡都相同, ,可當作質點來處理可當作質點來處理. .剛體上各點都繞同一轉軸作剛體上各點都繞同一轉軸作不同半徑的園周運動不同半徑的園周運動, ,且在相且在相同時間內轉過相同的角度同時間內轉過相同的角度. .2.2.剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動3.3.剛體的一般運動剛體的一般運動可視為平動與轉動的合成可視為平動與轉動的合成. .三三. .描述剛體定軸轉動的物理量描述剛體定軸轉動的物理量1.1.參考平面參考平面2.2.角坐標、角位移角坐標、角位移)(t d 是標量是標量, ,規(guī)定徑矢規(guī)定徑矢從從OXOX軸沿逆時針方向轉動軸沿逆時針方向轉動時時, ,角坐標為正。角坐標為正。)(t dP(t+dt

4、P(t+dt) ) P(tP(t) )XOz z3.3.角速度：角速度：dtd 對于定軸轉動對于定軸轉動,可用正負號表示其方向可用正負號表示其方向.22dtddtd rv vrdtd ra 2 ran FrM sinFrFdM FrM (2)(2)幾個力同時作用幾個力同時作用, ,合力矩為合力矩為333222111sinsinsin FrFrFrMr1r1F1F1r2r2F2F2r3r3F3F3132合力矩的大小等合力矩的大小等于各力矩的代數和于各力矩的代數和. .思考思考: :力力F F不在參考不在參考平面內平面內,M=?,M=?剛體內各剛體內各質點間的內力力矩質點間的內力力矩? ?討論討論

5、：FrM 21MMM(3)(3)內力對轉軸的力矩內力對轉軸的力矩考察任意兩個質點考察任意兩個質點1 1、2 2 2112ff 22121121sinsin frfr drr 2211sinsin 02112 dfdfM討論討論：2112MMM FrM 1r2r12f21f12d二二. .剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律剛體上任意質元：剛體上任意質元： ,iirm) 1 (iiiiamfF 自然坐標系中分量形式：自然坐標系中分量形式：）運運動動（力力質質點點amF ？外外力力矩矩剛剛體體 M)2(coscos:iniiiiiamfFn )3(sinsin: iiiiiiamfFi i iFifi

6、rzim在在 和和 的作用下作的作用下作圓周運動圓周運動, ,由牛頓定律由牛頓定律: :iiFfim法向分力產生的力矩為零法向分力產生的力矩為零. .:)3(ir 2sinsiniiiiiiiiiiirmramfrFr 對組成剛體的質點系來說：對組成剛體的質點系來說：)4(2 iiiinrara)3(sinsin: iiiiiiamfF)sinsin(iiiiiifrFr 2iirm內力力矩為零內力力矩為零,故總力矩：故總力矩： iiimrM2i i iFifirzim總力矩總力矩： iiimrM2令令 iiimrJ2剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 JMJM討論討論： , JM(1) (1)

7、 均對同一轉軸均對同一轉軸, ,具有瞬時性。具有瞬時性。 JM(2)(2)比較比較 aMF 和和對質量連續(xù)分布的剛體對質量連續(xù)分布的剛體 dmrJ2表明表明: :改變剛體轉動狀態(tài)的是力矩改變剛體轉動狀態(tài)的是力矩M M 剛體的轉動慣性剛體的轉動慣性 iiimrJ2(3)dxlmdm 22222121mldxlmxdmrJll dxdxdmX XO Odmmldx X XO O202231mldxlmxdmrJl dxdxdm轉軸過圓心與環(huán)面垂直轉軸過圓心與環(huán)面垂直R Ro om m解解: :質元質元dldm 22022RmdlRdmRJR Rm 2可見可見: :J J與剛體質量分布與剛體質量分布

8、, ,形狀形狀, ,大大小小, ,密度密度, ,轉軸位置有關。轉軸位置有關。dmdm2mdJJc C Cd dZ ZC CZ ZC CcJZcZ(2)(2)正交軸定律：正交軸定律：ZXYyxzJJJ ? J可用于以下情況的計算：可用于以下情況的計算：241mRJ 質量為質量為 的物體的物體A A靜止在光滑的水靜止在光滑的水平面上平面上, ,它和一輕繩相連接它和一輕繩相連接, ,此繩跨過一半此繩跨過一半徑為徑為R R、質量為、質量為 的園柱形滑輪的園柱形滑輪C,C,并系在并系在另一質量為另一質量為 的物體的物體B B上上, ,滑輪與軸承間滑輪與軸承間的摩擦力不計的摩擦力不計. .問：問：(1)(

9、1)兩物體的線加兩物體的線加 速度速度? ? 水平和鉛直水平和鉛直 兩段繩的張力？兩段繩的張力？(2)B(2)B由靜止下落距離由靜止下落距離y y時速率？時速率？(3)(3)若滑輪與軸承間的摩擦力矩為若滑輪與軸承間的摩擦力矩為 , ,再再求線加速度及繩的張力求線加速度及繩的張力. .AmCmBm MABC)1(1amTA )2(:2amTgmBBB 物物體體T1T2PBT2T1)3(:12 JRTRTC物物體體分別根據牛頓第二定律和轉動定律列方程：分別根據牛頓第二定律和轉動定律列方程： RaRmJC,212A AB BC C解解(1)(2)(3)(1)(2)(3)得：得：CBABmmmgma2

10、1 CBABAmmmgmmT211 CBABCAmmmgmmmT21)21(2 vaym gymmmBABC 2212 JMRTRT 12解解(1)(2)(4),(1)(2)(4),即可得即可得 a,Ta,T)4(21212RamRaRmCC 例例2 2: :一長為一長為l,l,質量為質量為m m的勻質細桿豎直放的勻質細桿豎直放置置, ,其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈o o相連相連, ,并可繞其并可繞其轉動轉動. .當其受到微小擾動時當其受到微小擾動時, ,細桿將在重力細桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈的作用下由靜止開始繞鉸鏈o o轉動轉動. .試計算試計算細桿轉到與鉛直線呈細桿轉到與

11、鉛直線呈 角時的角加速度和角時的角加速度和角速度角速度. . P PO O取任一狀態(tài)取任一狀態(tài), ,由轉動定律由轉動定律 JmglMsin21外外231mlJ sin23lg又又: : sin23lgdtddddtd dgld 32sin:0, 0,0:00得得時時由由初初始始條條件件 t sin23lg)cos1(23 lg 00sin23dlgd1.1.剛體受力分析，確定各力的力剛體受力分析，確定各力的力矩及方向，若為定軸轉動則用矩及方向，若為定軸轉動則用正負表示之。正負表示之。2.2.求出合外力矩，據轉動定律求出合外力矩，據轉動定律 列方程。列方程。 JMo o 研究力矩的空間累積效應研

12、究力矩的空間累積效應FMrF ？力力矩矩剛剛體體角角位位移移 WMd MdW力矩功的表達式：力矩功的表達式：由功的定義式由功的定義式: : rdFdsFsdFdW MddWsdFWFsd 功功力力質質點點位位移移r r d1)M1)M恒定時恒定時, , dMW(2)(2)幾個力矩同時作用時幾個力矩同時作用時, , iMM dMWi(3)(3)內力矩做功為零內力矩做功為零證明證明: :dWfdr121212 ,dWfdr212121 )(:2112122112rdrdfdWdW 求求和和因為因為1,21,2之間沒有相對運動之間沒有相對運動0)()(21122112 rrdr dr d02112

13、dWdW內力矩作功之和為零內力矩作功之和為零d1r2r12f21f1 2 二二. .力矩的功率力矩的功率 MdtdMdtdWN三三. .剛體轉動動能剛體轉動動能剛體分為剛體分為,21immm對應位置對應位置 ,21irrr動能為動能為,21kikkEEE剛體定軸轉動時剛體定軸轉動時, ,各質點的動能：各質點的動能：2222121 iiiikirmvmE2222121 JrmEiiik剛體的動能為各質元動能的總和：剛體的動能為各質元動能的總和：由轉動定律由轉動定律 JM 21MdW研究力矩作功和剛體動能變化關系。研究力矩作功和剛體動能變化關系。 dJMd dJddtdJ2122212121 JJ

14、dJcpmghE CmghJEc 22121EE o om mh hM M. .一質量為一質量為M,M,半徑為半徑為R R的圓盤繞一無摩的圓盤繞一無摩擦軸轉動擦軸轉動, ,盤上繞有輕繩盤上繞有輕繩, ,下端掛物體下端掛物體m.m.求求當當m m由靜止下落高度由靜止下落高度h h時速度時速度v v？N NT TG G解解: :對對m m：2022121 JJTR2022121mvmvThmgh 0000 ，且且v可得可得: :mMmghv22 亦可用機械能守恒解亦可用機械能守恒解比比較較？與與的的大大小小討討論論ghv2, RvRh，又又對剛體對剛體: :p pT Tm m回顧質點的動量及動量定

15、理回顧質點的動量及動量定理: :vmP PdvmddtF )()(:vmrddtM 即即)()(vmrddtFr vmrPrL 方向由右手定則確定方向由右手定則確定單位單位: :skgm /2量綱量綱: :12 MTLLrvm OABSmrvL 2sin: : 2mrmrvLO OvvO O0 L? LvmrPrL )(vmrdtd 又又)()(vmdtrddtvmdr dtvmdF)( dtvmdrFr)( 0, vvvdtrddtvmdrvmrdtd)()( )(PrdtdFr dtLdM LddtM 或或 2112ttLLdtM2)2)若若 00LdM則則dtM沖量矩沖量矩 vmrLM0

16、恒矢量恒矢量0 FF例例4 4. .一小球沿豎直的光滑圓軌道由靜止一小球沿豎直的光滑圓軌道由靜止開始下滑開始下滑. .求小球在求小球在B B點時對環(huán)心的角動點時對環(huán)心的角動量和角速度量和角速度. .解解: :力矩分析力矩分析用角動量定理：用角動量定理： cosmgRMdtdLM dtmgRdL cos dgRmLdLcos32 0320cos dgRmLdLL sin2:23gmRL得得dtdmRmRL 22又又B BA AR R 2mrLJL iiiirvmL JrmrvmLiiiii2方向均相同方向均相同 JL矢量式：矢量式：剛體對剛體對Z Z軸的角動量為軸的角動量為：imo oirimi

17、v Z ZiL)(2 iiiirmdtddtdLM iiiiiiirmdtdLdtdMM)()(2外外dtdLJdtdM )( 2112ttJJMdt0 內內iMLddtM im當當恒恒矢矢量量時時外外 JLM,0北北南南北北南南角動量守恒使地球自轉軸的方向在角動量守恒使地球自轉軸的方向在空間保持不變空間保持不變, ,因而產生了季節(jié)變化因而產生了季節(jié)變化. .例例5 5. .一長為一長為l,l,質量為質量為M M的桿可繞支點的桿可繞支點O O自自由轉動由轉動. .一質量為一質量為m m、速率為、速率為v v的子彈射入的子彈射入距支點距支點a a的棒內的棒內, ,若桿的偏轉角為若桿的偏轉角為 ,

18、 ,子彈子彈的初速率為多少的初速率為多少? ?030碰撞分為兩過程碰撞分為兩過程: :(1)(1)碰撞瞬間角動量守恒碰撞瞬間角動量守恒)1()31(22 maMlmvaa aL LV Vm mM M(2)(2)子彈入桿后向上擺動子彈入桿后向上擺動, ,系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒)2()30cos1 (2)30cos1 (00 lMgmga解解(1)2)(1)2)得得: :)3)(2)(32(6122maMlmaMlgmav (2)(2)子彈入桿后向上擺動子彈入桿后向上擺動, ,系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒222)31(21 maml(1)(1)碰撞瞬間角動量守恒碰撞瞬間角動量守恒) 1 ()31(22 maMlmvaa aL Lo o0300 pE例例6 6. .兩個均質園盤兩個均質園盤A A、B,B,質量為質量為21,mm分別裝在通過其自身軸線的豎直軸上分別